Theorem eldifsni 3841

Description: Membership in a set with an element removed. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eldifsni	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) → 𝐴 ≠ 𝐶)

Proof of Theorem eldifsni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 3839	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
2	1	simprbi 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) → 𝐴 ≠ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∖ cdif 3217  {csn 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-sn 3714

This theorem is referenced by:  neldifsn  3842  suppssov1  6293  suppssfvg  6497  elfi2  7300  fiuni  7306  fifo  7308  en2other2  7542  oddprm  13021  ringelnzr  14477  lgslem1  16102  lgseisenlem2  16173  lgseisenlem4  16175  lgseisen  16176  lgsquadlem1  16179  lgsquad2  16185  m1lgs  16187