Theorem elfi2 7074

Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfi2	|- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Proof of Theorem elfi2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2783	. . 3 |- ( A e. ( fi ` B ) -> A e. _V )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) -> A e. _V ) )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> A = |^| x )
4		eldifsni 3762	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x =/= (/) )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> x =/= (/) )
6		eldifi 3295	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x e. ( ~P B i^i Fin ) )
7	6	elin2d 3363	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x e. Fin )
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> x e. Fin )
9		fin0 6982	. . . . . . . 8 |- ( x e. Fin -> ( x =/= (/) <-> E. z z e. x ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> ( x =/= (/) <-> E. z z e. x ) )
11	5, 10	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> E. z z e. x )
12		inteximm 4193	. . . . . 6 |- ( E. z z e. x -> |^| x e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> |^| x e. _V )
14	3, 13	eqeltrd 2282	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> A e. _V )
15	14	rexlimiva 2618	. . 3 |- ( E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x -> A e. _V )
16	15	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x -> A e. _V ) )
17		elfi 7073	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )
18		vprc 4176	. . . . . . . . . . 11 |- -. _V e. _V
19		elsni 3651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
20	19	inteqd 3890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { (/) } -> |^| x = |^| (/) )
21		int0 3899	. . . . . . . . . . . . 13 |- |^| (/) = _V
22	20, 21	eqtrdi 2254	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> |^| x = _V )
23	22	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { (/) } -> ( |^| x e. _V <-> _V e. _V ) )
24	18, 23	mtbiri 677	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { (/) } -> -. |^| x e. _V )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> A = |^| x )
26		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> A e. _V )
27	25, 26	eqeltrrd 2283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> |^| x e. _V )
28	24, 27	nsyl3 627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> -. x e. { (/) } )
29	28	biantrud 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) <-> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ -. x e. { (/) } ) ) )
30		eldif 3175	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ -. x e. { (/) } ) )
31	29, 30	bitr4di 198	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) <-> x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
32	31	pm5.32da 452	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( ( A = |^| x /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) ) )
33		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A = |^| x ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) )
34		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
35	32, 33, 34	3bitr4g 223	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A = |^| x ) <-> ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) ) )
36	35	rexbidv2 2509	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )
37	17, 36	bitrd 188	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )
38	37	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. _V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) ) )
39	2, 16, 38	pm5.21ndd 707	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   =/= wne 2376   E.wrex 2485   _Vcvv 2772   \ cdif 3163   i^i cin 3165   (/)c0 3460   ~Pcpw 3616   {csn 3633   |^|cint 3885   ` cfv 5271   Fincfn 6827   ficfi 7070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830  df-fi 7071

This theorem is referenced by:  fiuni  7080  fifo  7082