Theorem elfi2 7259

Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfi2	|- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Proof of Theorem elfi2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2825	. . 3 |- ( A e. ( fi ` B ) -> A e. _V )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) -> A e. _V ) )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> A = |^| x )
4		eldifsni 3822	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x =/= (/) )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> x =/= (/) )
6		eldifi 3341	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x e. ( ~P B i^i Fin ) )
7	6	elin2d 3409	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x e. Fin )
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> x e. Fin )
9		fin0 7142	. . . . . . . 8 |- ( x e. Fin -> ( x =/= (/) <-> E. z z e. x ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> ( x =/= (/) <-> E. z z e. x ) )
11	5, 10	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> E. z z e. x )
12		inteximm 4261	. . . . . 6 |- ( E. z z e. x -> |^| x e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> |^| x e. _V )
14	3, 13	eqeltrd 2309	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> A e. _V )
15	14	rexlimiva 2655	. . 3 |- ( E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x -> A e. _V )
16	15	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x -> A e. _V ) )
17		elfi 7258	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )
18		vprc 4242	. . . . . . . . . . 11 |- -. _V e. _V
19		elsni 3707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
20	19	inteqd 3954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { (/) } -> |^| x = |^| (/) )
21		int0 3963	. . . . . . . . . . . . 13 |- |^| (/) = _V
22	20, 21	eqtrdi 2281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> |^| x = _V )
23	22	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { (/) } -> ( |^| x e. _V <-> _V e. _V ) )
24	18, 23	mtbiri 682	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { (/) } -> -. |^| x e. _V )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> A = |^| x )
26		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> A e. _V )
27	25, 26	eqeltrrd 2310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> |^| x e. _V )
28	24, 27	nsyl3 631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> -. x e. { (/) } )
29	28	biantrud 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) <-> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ -. x e. { (/) } ) ) )
30		eldif 3220	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ -. x e. { (/) } ) )
31	29, 30	bitr4di 198	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) <-> x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
32	31	pm5.32da 452	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( ( A = |^| x /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) ) )
33		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A = |^| x ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) )
34		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
35	32, 33, 34	3bitr4g 223	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A = |^| x ) <-> ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) ) )
36	35	rexbidv2 2545	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )
37	17, 36	bitrd 188	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )
38	37	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. _V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) ) )
39	2, 16, 38	pm5.21ndd 713	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   =/= wne 2412   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   \ cdif 3208   i^i cin 3210   (/)c0 3508   ~Pcpw 3669   {csn 3689   |^|cint 3949   ` cfv 5352   Fincfn 6975   ficfi 7255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-er 6767  df-en 6976  df-fin 6978  df-fi 7256

This theorem is referenced by:  fiuni  7265  fifo  7267