Theorem elfi2 7296

Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfi2	|- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Proof of Theorem elfi2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 |- ( A e. ( fi ` B ) -> A e. _V )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) -> A e. _V ) )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> A = |^| x )
4		eldifsni 3838	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x =/= (/) )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> x =/= (/) )
6		eldifi 3351	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x e. ( ~P B i^i Fin ) )
7	6	elin2d 3419	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x e. Fin )
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> x e. Fin )
9		fin0 7179	. . . . . . . 8 |- ( x e. Fin -> ( x =/= (/) <-> E. z z e. x ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> ( x =/= (/) <-> E. z z e. x ) )
11	5, 10	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> E. z z e. x )
12		inteximm 4280	. . . . . 6 |- ( E. z z e. x -> |^| x e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> |^| x e. _V )
14	3, 13	eqeltrd 2315	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> A e. _V )
15	14	rexlimiva 2663	. . 3 |- ( E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x -> A e. _V )
16	15	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x -> A e. _V ) )
17		elfi 7295	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )
18		vprc 4260	. . . . . . . . . . 11 |- -. _V e. _V
19		elsni 3723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
20	19	inteqd 3970	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { (/) } -> |^| x = |^| (/) )
21		int0 3979	. . . . . . . . . . . . 13 |- |^| (/) = _V
22	20, 21	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> |^| x = _V )
23	22	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { (/) } -> ( |^| x e. _V <-> _V e. _V ) )
24	18, 23	mtbiri 686	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { (/) } -> -. |^| x e. _V )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> A = |^| x )
26		simpll 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> A e. _V )
27	25, 26	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> |^| x e. _V )
28	24, 27	nsyl3 635	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> -. x e. { (/) } )
29	28	biantrud 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) <-> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ -. x e. { (/) } ) ) )
30		eldif 3229	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ -. x e. { (/) } ) )
31	29, 30	bitr4di 198	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) <-> x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
32	31	pm5.32da 456	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( ( A = |^| x /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) ) )
33		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A = |^| x ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) )
34		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
35	32, 33, 34	3bitr4g 223	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A = |^| x ) <-> ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) ) )
36	35	rexbidv2 2553	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )
37	17, 36	bitrd 188	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )
38	37	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. _V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) ) )
39	2, 16, 38	pm5.21ndd 717	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   i^i cin 3219   (/)c0 3520   ~Pcpw 3685   {csn 3705   |^|cint 3965   ` cfv 5372   Fincfn 7012   ficfi 7292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015  df-fi 7293

This theorem is referenced by:  fiuni  7302  fifo  7304