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Theorem elfi2 6826
Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfi2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( fi `  B )  <->  E. x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) A  = 
|^| x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, V

Proof of Theorem elfi2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2669 . . 3  |-  ( A  e.  ( fi `  B )  ->  A  e.  _V )
21a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( fi `  B )  ->  A  e.  _V ) )
3 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  A  =  |^| x )  ->  A  =  |^| x )
4 eldifsni 3620 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  x  =/=  (/) )
54adantr 272 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  A  =  |^| x )  ->  x  =/=  (/) )
6 eldifi 3166 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
76elin2d 3234 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ->  x  e.  Fin )
87adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  A  =  |^| x )  ->  x  e.  Fin )
9 fin0 6745 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
x  =/=  (/)  <->  E. z 
z  e.  x ) )
108, 9syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  A  =  |^| x )  ->  (
x  =/=  (/)  <->  E. z 
z  e.  x ) )
115, 10mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  A  =  |^| x )  ->  E. z 
z  e.  x )
12 inteximm 4042 . . . . . 6  |-  ( E. z  z  e.  x  ->  |^| x  e.  _V )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  A  =  |^| x )  ->  |^| x  e.  _V )
143, 13eqeltrd 2192 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  A  =  |^| x )  ->  A  e.  _V )
1514rexlimiva 2519 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } ) A  =  |^| x  ->  A  e.  _V )
1615a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. x  e.  (
( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } ) A  =  |^| x  ->  A  e.  _V ) )
17 elfi 6825 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  e.  ( fi `  B )  <->  E. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  =  |^| x ) )
18 vprc 4028 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  _V  e.  _V
19 elsni 3513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
2019inteqd 3744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  |^| x  =  |^| (/) )
21 int0 3753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^| (/)  =  _V
2220, 21syl6eq 2164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  |^| x  =  _V )
2322eleq1d 2184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  (
|^| x  e.  _V  <->  _V  e.  _V ) )
2418, 23mtbiri 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  -. 
|^| x  e.  _V )
25 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  /\  A  =  |^| x )  ->  A  =  |^| x )
26 simpll 501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  /\  A  =  |^| x )  ->  A  e.  _V )
2725, 26eqeltrrd 2193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  /\  A  =  |^| x )  ->  |^| x  e.  _V )
2824, 27nsyl3 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  /\  A  =  |^| x )  ->  -.  x  e.  { (/) } )
2928biantrud 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  /\  A  =  |^| x )  ->  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  -.  x  e.  { (/)
} ) ) )
30 eldif 3048 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  -.  x  e.  { (/) } ) )
3129, 30syl6bbr 197 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  /\  A  =  |^| x )  ->  (
x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } ) ) )
3231pm5.32da 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( A  = 
|^| x  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )  <->  ( A  =  |^| x  /\  x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) ) )
33 ancom 264 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| x )  <->  ( A  =  |^| x  /\  x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) ) )
34 ancom 264 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  A  =  |^| x )  <->  ( A  =  |^| x  /\  x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
3532, 33, 343bitr4g 222 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( ( x  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  A  = 
|^| x )  <->  ( x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  /\  A  =  |^| x ) ) )
3635rexbidv2 2415 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( E. x  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  =  |^| x 
<->  E. x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } ) A  =  |^| x ) )
3717, 36bitrd 187 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  e.  ( fi `  B )  <->  E. x  e.  (
( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/) } ) A  =  |^| x ) )
3837expcom 115 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ( fi
`  B )  <->  E. x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) A  = 
|^| x ) ) )
392, 16, 38pm5.21ndd 677 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( fi `  B )  <->  E. x  e.  ( ( ~P B  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) A  = 
|^| x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463    =/= wne 2283   E.wrex 2392   _Vcvv 2658    \ cdif 3036    i^i cin 3038   (/)c0 3331   ~Pcpw 3478   {csn 3495   |^|cint 3739   ` cfv 5091   Fincfn 6600   ficfi 6822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603  df-fi 6823
This theorem is referenced by:  fiuni  6832  fifo  6834
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