Theorem elfi2 7162

Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfi2	|- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Proof of Theorem elfi2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2812	. . 3 |- ( A e. ( fi ` B ) -> A e. _V )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) -> A e. _V ) )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> A = |^| x )
4		eldifsni 3800	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x =/= (/) )
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> x =/= (/) )
6		eldifi 3327	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x e. ( ~P B i^i Fin ) )
7	6	elin2d 3395	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x e. Fin )
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> x e. Fin )
9		fin0 7067	. . . . . . . 8 |- ( x e. Fin -> ( x =/= (/) <-> E. z z e. x ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> ( x =/= (/) <-> E. z z e. x ) )
11	5, 10	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> E. z z e. x )
12		inteximm 4237	. . . . . 6 |- ( E. z z e. x -> |^| x e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> |^| x e. _V )
14	3, 13	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> A e. _V )
15	14	rexlimiva 2643	. . 3 |- ( E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x -> A e. _V )
16	15	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x -> A e. _V ) )
17		elfi 7161	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )
18		vprc 4219	. . . . . . . . . . 11 |- -. _V e. _V
19		elsni 3685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
20	19	inteqd 3931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { (/) } -> |^| x = |^| (/) )
21		int0 3940	. . . . . . . . . . . . 13 |- |^| (/) = _V
22	20, 21	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> |^| x = _V )
23	22	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { (/) } -> ( |^| x e. _V <-> _V e. _V ) )
24	18, 23	mtbiri 679	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { (/) } -> -. |^| x e. _V )
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> A = |^| x )
26		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> A e. _V )
27	25, 26	eqeltrrd 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> |^| x e. _V )
28	24, 27	nsyl3 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> -. x e. { (/) } )
29	28	biantrud 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) <-> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ -. x e. { (/) } ) ) )
30		eldif 3207	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ -. x e. { (/) } ) )
31	29, 30	bitr4di 198	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) <-> x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
32	31	pm5.32da 452	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( ( A = |^| x /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) ) )
33		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A = |^| x ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) )
34		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
35	32, 33, 34	3bitr4g 223	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A = |^| x ) <-> ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) ) )
36	35	rexbidv2 2533	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )
37	17, 36	bitrd 188	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )
38	37	expcom 116	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. _V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) ) )
39	2, 16, 38	pm5.21ndd 710	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   =/= wne 2400   E.wrex 2509   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   i^i cin 3197   (/)c0 3492   ~Pcpw 3650   {csn 3667   |^|cint 3926   ` cfv 5324   Fincfn 6904   ficfi 7158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-fi 7159

This theorem is referenced by:  fiuni  7168  fifo  7170