Theorem elfi2 6860

Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfi2	|- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, V

Proof of Theorem elfi2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2697	. . 3 |- ( A e. ( fi ` B ) -> A e. _V )
2	1	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) -> A e. _V ) )
3		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> A = |^| x )
4		eldifsni 3652	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x =/= (/) )
5	4	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> x =/= (/) )
6		eldifi 3198	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x e. ( ~P B i^i Fin ) )
7	6	elin2d 3266	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) -> x e. Fin )
8	7	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> x e. Fin )
9		fin0 6779	. . . . . . . 8 |- ( x e. Fin -> ( x =/= (/) <-> E. z z e. x ) )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> ( x =/= (/) <-> E. z z e. x ) )
11	5, 10	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> E. z z e. x )
12		inteximm 4074	. . . . . 6 |- ( E. z z e. x -> |^| x e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> |^| x e. _V )
14	3, 13	eqeltrd 2216	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) -> A e. _V )
15	14	rexlimiva 2544	. . 3 |- ( E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x -> A e. _V )
16	15	a1i 9	. 2 |- ( B e. V -> ( E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x -> A e. _V ) )
17		elfi 6859	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x ) )
18		vprc 4060	. . . . . . . . . . 11 |- -. _V e. _V
19		elsni 3545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
20	19	inteqd 3776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { (/) } -> |^| x = |^| (/) )
21		int0 3785	. . . . . . . . . . . . 13 |- |^| (/) = _V
22	20, 21	syl6eq 2188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { (/) } -> |^| x = _V )
23	22	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { (/) } -> ( |^| x e. _V <-> _V e. _V ) )
24	18, 23	mtbiri 664	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { (/) } -> -. |^| x e. _V )
25		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> A = |^| x )
26		simpll 518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> A e. _V )
27	25, 26	eqeltrrd 2217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> |^| x e. _V )
28	24, 27	nsyl3 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> -. x e. { (/) } )
29	28	biantrud 302	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) <-> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ -. x e. { (/) } ) ) )
30		eldif 3080	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) <-> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ -. x e. { (/) } ) )
31	29, 30	syl6bbr 197	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. _V /\ B e. V ) /\ A = |^| x ) -> ( x e. ( ~P B i^i Fin ) <-> x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
32	31	pm5.32da 447	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( ( A = |^| x /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) ) )
33		ancom 264	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A = |^| x ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ~P B i^i Fin ) ) )
34		ancom 264	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) <-> ( A = |^| x /\ x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
35	32, 33, 34	3bitr4g 222	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( ( x e. ( ~P B i^i Fin ) /\ A = |^| x ) <-> ( x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ A = |^| x ) ) )
36	35	rexbidv2 2440	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( E. x e. ( ~P B i^i Fin ) A = |^| x <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )
37	17, 36	bitrd 187	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V ) -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )
38	37	expcom 115	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. _V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) ) )
39	2, 16, 38	pm5.21ndd 694	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( fi ` B ) <-> E. x e. ( ( ~P B i^i Fin ) \ { (/) } ) A = |^| x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   =/= wne 2308   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   \ cdif 3068   i^i cin 3070   (/)c0 3363   ~Pcpw 3510   {csn 3527   |^|cint 3771   ` cfv 5123   Fincfn 6634   ficfi 6856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-fi 6857

This theorem is referenced by:  fiuni  6866  fifo  6868