Theorem ringelnzr 13819

Description: A ring is nonzero if it has a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringelnzr.z	|- .0. = ( 0g ` R )
ringelnzr.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringelnzr	|- ( ( R e. Ring /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> R e. NzRing )

Proof of Theorem ringelnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> R e. Ring )
2		eldifsni 3752	. . . 4 |- ( X e. ( B \ { .0. } ) -> X =/= .0. )
3	2	adantl 277	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> X =/= .0. )
4		eldifi 3286	. . . . . 6 |- ( X e. ( B \ { .0. } ) -> X e. B )
5	4	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> X e. B )
6		ringelnzr.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
7		ringelnzr.z	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` R )
8	6, 7	ring0cl 13653	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )
9	8	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> .0. e. B )
10		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
11	6, 10, 7	ring1eq0 13680	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ .0. e. B ) -> ( ( 1r ` R ) = .0. -> X = .0. ) )
12	1, 5, 9, 11	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( ( 1r ` R ) = .0. -> X = .0. ) )
13	12	necon3d 2411	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( X =/= .0. -> ( 1r ` R ) =/= .0. ) )
14	3, 13	mpd 13	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( 1r ` R ) =/= .0. )
15	10, 7	isnzr 13813	. 2 |- ( R e. NzRing <-> ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) =/= .0. ) )
16	1, 14, 15	sylanbrc 417	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( B \ { .0. } ) ) -> R e. NzRing )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   {csn 3623   ` cfv 5259   Basecbs 12703   0gc0g 12958   1rcur 13591   Ringcrg 13628  NzRingcnzr 13811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630  df-nzr 13812

This theorem is referenced by: (None)