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Theorem m1lgs 15804
Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime P iff P == 1 (mod 4). See first case of theorem 9.4 in [ApostolNT] p. 181. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )
Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 9501 . . . . . . . . 9 |- -u 1 e. ZZ
2 oddprm 12822 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
32nnnn0d 9445 . . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
4 zexpcl 10806 . . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
51, 3, 4sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
65peano2zd 9595 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
7 eldifi 3327 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8 prmnn 12672 . . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
97, 8syl 14 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
106, 9zmodcld 10597 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 )
1110nn0cnd 9447 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. CC )
12 1cnd 8185 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. CC )
1311, 12, 12subaddd 8498 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
14 2z 9497 . . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
15 zq 9850 . . . . . . . . 9 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- 2 e. QQ
1716a1i 9 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. QQ )
18 prmz 12673 . . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
19 zq 9850 . . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
207, 18, 193syl 17 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. QQ )
21 0le2 9223 . . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
2221a1i 9 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 <_ 2 )
23 oddprmgt2 12696 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
24 modqid 10601 . . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < P ) ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
2517, 20, 22, 23, 24syl22anc 1272 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
26 df-2 9192 . . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
2725, 26eqtrdi 2278 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = ( 1 + 1 ) )
2827eqeq1d 2238 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
29 2nn 9295 . . . . . . . 8 |- 2 e. NN
302nnzd 9591 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
31 dvdsdc 12349 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
3229, 30, 31sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> DECID 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
33 eldifsni 3800 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
3433neneqd 2421 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P = 2 )
35 prmuz2 12693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
37 2prm 12689 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
38 dvdsprm 12699 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. Prime ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
3936, 37, 38sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
4034, 39mtbird 677 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P || 2 )
4140adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || 2 )
42 1cnd 8185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 1 e. CC )
432adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
45 oexpneg 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
4743nnzd 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
48 1exp 10820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
5049negeqd 8364 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
5146, 50eqtrd 2262 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
5251oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
53 ax-1cn 8115 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
54 neg1cn 9238 . . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
55 1pneg1e0 9244 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
5653, 54, 55addcomli 8314 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
5752, 56eqtrdi 2278 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = 0 )
5857oveq2d 6029 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = ( 2 - 0 ) )
59 2cn 9204 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
6059subid1i 8441 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 0 ) = 2
6158, 60eqtrdi 2278 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = 2 )
6261breq2d 4098 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) <-> P || 2 ) )
6341, 62mtbird 677 . . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) )
6463ex 115 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
65 condc 858 . . . . . . 7 |- (DECID 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) -> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
6632, 64, 65sylc 62 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) -> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
6714a1i 9 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. ZZ )
68 moddvds 12350 . . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
699, 67, 6, 68syl3anc 1271 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
70 4z 9499 . . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
71 4ne0 9231 . . . . . . . . 9 |- 4 =/= 0
72 nnm1nn0 9433 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
739, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
7473nn0zd 9590 . . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
75 dvdsval2 12341 . . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 4 =/= 0 /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
7670, 71, 74, 75mp3an12i 1375 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
7773nn0cnd 9447 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. CC )
7859a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. CC )
7929a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. NN )
8079nnap0d 9179 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 # 0 )
8177, 78, 78, 80, 80divdivap1d 8992 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
82 2t2e4 9288 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 2 ) = 4
8382oveq2i 6024 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 4 )
8481, 83eqtrdi 2278 . . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / 4 ) )
8584eleq1d 2298 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
8676, 85bitr4d 191 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
87 2ne0 9225 . . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
88 dvdsval2 12341 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
8914, 87, 30, 88mp3an12i 1375 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
9086, 89bitr4d 191 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
9166, 69, 903imtr4d 203 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) -> 4 || ( P - 1 ) ) )
9254a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 e. CC )
93 neg1ap0 9242 . . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 # 0
9493a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 # 0 )
9514a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 e. ZZ )
9686biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ )
97 expmulzap 10837 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
9892, 94, 95, 96, 97syl22anc 1272 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
992nncnd 9147 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. CC )
10099, 78, 80divcanap2d 8962 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
101100adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
102101oveq2d 6029 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
103 neg1sqe1 10886 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
104103oveq1i 6023 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) )
105 1exp 10820 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
10696, 105syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
107104, 106eqtrid 2274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
10898, 102, 1073eqtr3d 2270 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
109108oveq1d 6028 . . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
11026, 109eqtr4id 2281 . . . . . . 7 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 = ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
111110oveq1d 6028 . . . . . 6 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) )
112111ex 115 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
11391, 112impbid 129 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
11413, 28, 1133bitr2d 216 . . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
115 lgsval3 15737 . . . . 5 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
1161, 115mpan 424 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
117116eqeq1d 2238 . . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 ) )
118 4nn 9297 . . . . 5 |- 4 e. NN
119118a1i 9 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. NN )
1207, 18syl 14 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ZZ )
121 1zzd 9496 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. ZZ )
122 moddvds 12350 . . . 4 |- ( ( 4 e. NN /\ P e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
123119, 120, 121, 122syl3anc 1271 . . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
124114, 117, 1233bitr4d 220 . 2 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) ) )
125 1z 9495 . . . . 5 |- 1 e. ZZ
126 zq 9850 . . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
127125, 126ax-mp 5 . . . 4 |- 1 e. QQ
128 zq 9850 . . . . 5 |- ( 4 e. ZZ -> 4 e. QQ )
12970, 128ax-mp 5 . . . 4 |- 4 e. QQ
130 0le1 8651 . . . 4 |- 0 <_ 1
131 1lt4 9308 . . . 4 |- 1 < 4
132 modqid 10601 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. QQ /\ 4 e. QQ ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < 4 ) ) -> ( 1 mod 4 ) = 1 )
133127, 129, 130, 131, 132mp4an 427 . . 3 |- ( 1 mod 4 ) = 1
134133eqeq2i 2240 . 2 |- ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> ( P mod 4 ) = 1 )
135124, 134bitrdi 196 1 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   \ cdif 3195   {csn 3667   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   CCcc 8020   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   < clt 8204   <_ cle 8205   - cmin 8340   -ucneg 8341   # cap 8751   / cdiv 8842   NNcn 9133   2c2 9184   4c4 9186   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   QQcq 9843   mod cmo 10574   ^cexp 10790   || cdvds 12338   Primecprime 12669   /Lclgs 15716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-proddc 12102  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-prm 12670  df-phi 12773  df-pc 12848  df-lgs 15717
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