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Theorem m1lgs 16084
Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime P iff P == 1 (mod 4). See first case of theorem 9.4 in [ApostolNT] p. 181. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )
Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 9626 . . . . . . . . 9 |- -u 1 e. ZZ
2 oddprm 12982 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
32nnnn0d 9570 . . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
4 zexpcl 10940 . . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
51, 3, 4sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
65peano2zd 9721 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
7 eldifi 3345 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8 prmnn 12832 . . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
97, 8syl 14 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
106, 9zmodcld 10731 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 )
1110nn0cnd 9572 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. CC )
12 1cnd 8306 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. CC )
1311, 12, 12subaddd 8618 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
14 2z 9622 . . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
15 zq 9976 . . . . . . . . 9 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- 2 e. QQ
1716a1i 9 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. QQ )
18 prmz 12833 . . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
19 zq 9976 . . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
207, 18, 193syl 17 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. QQ )
21 0le2 9344 . . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
2221a1i 9 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 <_ 2 )
23 oddprmgt2 12856 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
24 modqid 10735 . . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < P ) ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
2517, 20, 22, 23, 24syl22anc 1275 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
26 df-2 9313 . . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
2725, 26eqtrdi 2283 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = ( 1 + 1 ) )
2827eqeq1d 2243 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
29 2nn 9416 . . . . . . . 8 |- 2 e. NN
302nnzd 9717 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
31 dvdsdc 12509 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
3229, 30, 31sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> DECID 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
33 eldifsni 3827 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
3433neneqd 2435 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P = 2 )
35 prmuz2 12853 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
37 2prm 12849 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
38 dvdsprm 12859 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. Prime ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
3936, 37, 38sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
4034, 39mtbird 680 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P || 2 )
4140adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || 2 )
42 1cnd 8306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 1 e. CC )
432adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
45 oexpneg 12588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1274 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
4743nnzd 9717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
48 1exp 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
5049negeqd 8484 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
5146, 50eqtrd 2267 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
5251oveq1d 6073 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
53 ax-1cn 8236 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
54 neg1cn 9359 . . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
55 1pneg1e0 9365 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
5653, 54, 55addcomli 8434 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
5752, 56eqtrdi 2283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = 0 )
5857oveq2d 6074 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = ( 2 - 0 ) )
59 2cn 9325 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
6059subid1i 8561 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 0 ) = 2
6158, 60eqtrdi 2283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = 2 )
6261breq2d 4126 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) <-> P || 2 ) )
6341, 62mtbird 680 . . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) )
6463ex 115 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
65 condc 861 . . . . . . 7 |- (DECID 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) -> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
6632, 64, 65sylc 62 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) -> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
6714a1i 9 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. ZZ )
68 moddvds 12510 . . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
699, 67, 6, 68syl3anc 1274 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
70 4z 9624 . . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
71 4ne0 9352 . . . . . . . . 9 |- 4 =/= 0
72 nnm1nn0 9554 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
739, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
7473nn0zd 9716 . . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
75 dvdsval2 12501 . . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 4 =/= 0 /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
7670, 71, 74, 75mp3an12i 1378 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
7773nn0cnd 9572 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. CC )
7859a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. CC )
7929a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. NN )
8079nnap0d 9300 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 # 0 )
8177, 78, 78, 80, 80divdivap1d 9113 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
82 2t2e4 9409 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 2 ) = 4
8382oveq2i 6069 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 4 )
8481, 83eqtrdi 2283 . . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / 4 ) )
8584eleq1d 2303 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
8676, 85bitr4d 191 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
87 2ne0 9346 . . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
88 dvdsval2 12501 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
8914, 87, 30, 88mp3an12i 1378 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
9086, 89bitr4d 191 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
9166, 69, 903imtr4d 203 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) -> 4 || ( P - 1 ) ) )
9254a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 e. CC )
93 neg1ap0 9363 . . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 # 0
9493a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 # 0 )
9514a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 e. ZZ )
9686biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ )
97 expmulzap 10971 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
9892, 94, 95, 96, 97syl22anc 1275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
992nncnd 9268 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. CC )
10099, 78, 80divcanap2d 9083 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
101100adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
102101oveq2d 6074 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
103 neg1sqe1 11020 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
104103oveq1i 6068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) )
105 1exp 10954 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
10696, 105syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
107104, 106eqtrid 2279 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
10898, 102, 1073eqtr3d 2275 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
109108oveq1d 6073 . . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
11026, 109eqtr4id 2286 . . . . . . 7 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 = ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
111110oveq1d 6073 . . . . . 6 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) )
112111ex 115 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
11391, 112impbid 129 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
11413, 28, 1133bitr2d 216 . . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
115 lgsval3 16017 . . . . 5 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
1161, 115mpan 424 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
117116eqeq1d 2243 . . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 ) )
118 4nn 9418 . . . . 5 |- 4 e. NN
119118a1i 9 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. NN )
1207, 18syl 14 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ZZ )
121 1zzd 9621 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. ZZ )
122 moddvds 12510 . . . 4 |- ( ( 4 e. NN /\ P e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
123119, 120, 121, 122syl3anc 1274 . . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
124114, 117, 1233bitr4d 220 . 2 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) ) )
125 1z 9620 . . . . 5 |- 1 e. ZZ
126 zq 9976 . . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
127125, 126ax-mp 5 . . . 4 |- 1 e. QQ
128 zq 9976 . . . . 5 |- ( 4 e. ZZ -> 4 e. QQ )
12970, 128ax-mp 5 . . . 4 |- 4 e. QQ
130 0le1 8772 . . . 4 |- 0 <_ 1
131 1lt4 9429 . . . 4 |- 1 < 4
132 modqid 10735 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. QQ /\ 4 e. QQ ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < 4 ) ) -> ( 1 mod 4 ) = 1 )
133127, 129, 130, 131, 132mp4an 427 . . 3 |- ( 1 mod 4 ) = 1
134133eqeq2i 2245 . 2 |- ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> ( P mod 4 ) = 1 )
135124, 134bitrdi 196 1 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   \ cdif 3211   {csn 3694   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   -ucneg 8461   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   4c4 9307   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   QQcq 9969   mod cmo 10708   ^cexp 10924   || cdvds 12498   Primecprime 12829   /Lclgs 15996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-proddc 12262  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-prm 12830  df-phi 12933  df-pc 13008  df-lgs 15997
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