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Theorem m1lgs 15904
Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime P iff P == 1 (mod 4). See first case of theorem 9.4 in [ApostolNT] p. 181. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )
Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 9572 . . . . . . . . 9 |- -u 1 e. ZZ
2 oddprm 12912 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
32nnnn0d 9516 . . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
4 zexpcl 10879 . . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
51, 3, 4sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
65peano2zd 9666 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ )
7 eldifi 3331 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
8 prmnn 12762 . . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
97, 8syl 14 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
106, 9zmodcld 10670 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. NN0 )
1110nn0cnd 9518 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) e. CC )
12 1cnd 8255 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. CC )
1311, 12, 12subaddd 8567 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
14 2z 9568 . . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
15 zq 9921 . . . . . . . . 9 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. QQ )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- 2 e. QQ
1716a1i 9 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. QQ )
18 prmz 12763 . . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
19 zq 9921 . . . . . . . 8 |- ( P e. ZZ -> P e. QQ )
207, 18, 193syl 17 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. QQ )
21 0le2 9292 . . . . . . . 8 |- 0 <_ 2
2221a1i 9 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 0 <_ 2 )
23 oddprmgt2 12786 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 < P )
24 modqid 10674 . . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < P ) ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
2517, 20, 22, 23, 24syl22anc 1275 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = 2 )
26 df-2 9261 . . . . . 6 |- 2 = ( 1 + 1 )
2725, 26eqtrdi 2280 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 mod P ) = ( 1 + 1 ) )
2827eqeq1d 2240 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> ( 1 + 1 ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
29 2nn 9364 . . . . . . . 8 |- 2 e. NN
302nnzd 9662 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
31 dvdsdc 12439 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
3229, 30, 31sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> DECID 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
33 eldifsni 3806 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
3433neneqd 2424 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P = 2 )
35 prmuz2 12783 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
37 2prm 12779 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
38 dvdsprm 12789 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. Prime ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
3936, 37, 38sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || 2 <-> P = 2 ) )
4034, 39mtbird 680 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> -. P || 2 )
4140adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || 2 )
42 1cnd 8255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> 1 e. CC )
432adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) )
45 oexpneg 12518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1274 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
4743nnzd 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
48 1exp 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
5049negeqd 8433 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -u ( 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
5146, 50eqtrd 2264 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = -u 1 )
5251oveq1d 6043 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 ) )
53 ax-1cn 8185 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
54 neg1cn 9307 . . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. CC
55 1pneg1e0 9313 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
5653, 54, 55addcomli 8383 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
5752, 56eqtrdi 2280 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = 0 )
5857oveq2d 6044 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = ( 2 - 0 ) )
59 2cn 9273 . . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. CC
6059subid1i 8510 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 - 0 ) = 2
6158, 60eqtrdi 2280 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) = 2 )
6261breq2d 4105 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) <-> P || 2 ) )
6341, 62mtbird 680 . . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) )
6463ex 115 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
65 condc 861 . . . . . . 7 |- (DECID 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> ( ( -. 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) -> -. P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) -> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
6632, 64, 65sylc 62 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) -> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
6714a1i 9 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. ZZ )
68 moddvds 12440 . . . . . . 7 |- ( ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
699, 67, 6, 68syl3anc 1274 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> P || ( 2 - ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) ) )
70 4z 9570 . . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
71 4ne0 9300 . . . . . . . . 9 |- 4 =/= 0
72 nnm1nn0 9502 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
739, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. NN0 )
7473nn0zd 9661 . . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. ZZ )
75 dvdsval2 12431 . . . . . . . . 9 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 4 =/= 0 /\ ( P - 1 ) e. ZZ ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
7670, 71, 74, 75mp3an12i 1378 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
7773nn0cnd 9518 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P - 1 ) e. CC )
7859a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. CC )
7929a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 e. NN )
8079nnap0d 9248 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 # 0 )
8177, 78, 78, 80, 80divdivap1d 9061 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
82 2t2e4 9357 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 2 ) = 4
8382oveq2i 6039 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P - 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 4 )
8481, 83eqtrdi 2280 . . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / 4 ) )
8584eleq1d 2300 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( P - 1 ) / 4 ) e. ZZ ) )
8676, 85bitr4d 191 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
87 2ne0 9294 . . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
88 dvdsval2 12431 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
8914, 87, 30, 88mp3an12i 1378 . . . . . . 7 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) <-> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
9086, 89bitr4d 191 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) <-> 2 || ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
9166, 69, 903imtr4d 203 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) -> 4 || ( P - 1 ) ) )
9254a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 e. CC )
93 neg1ap0 9311 . . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 # 0
9493a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> -u 1 # 0 )
9514a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 e. ZZ )
9686biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ )
97 expmulzap 10910 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 # 0 ) /\ ( 2 e. ZZ /\ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
9892, 94, 95, 96, 97syl22anc 1275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) )
992nncnd 9216 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. CC )
10099, 78, 80divcanap2d 9031 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
101100adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
102101oveq2d 6044 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( 2 x. ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
103 neg1sqe1 10959 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
104103oveq1i 6038 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) )
105 1exp 10893 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
10696, 105syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 1 ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
107104, 106eqtrid 2276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) / 2 ) ) = 1 )
10898, 102, 1073eqtr3d 2272 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = 1 )
109108oveq1d 6043 . . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
11026, 109eqtr4id 2283 . . . . . . 7 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> 2 = ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) )
111110oveq1d 6043 . . . . . 6 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ 4 || ( P - 1 ) ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) )
112111ex 115 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 4 || ( P - 1 ) -> ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) ) )
11391, 112impbid 129 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
11413, 28, 1133bitr2d 216 . . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
115 lgsval3 15837 . . . . 5 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
1161, 115mpan 424 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( -u 1 /L P ) = ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) )
117116eqeq1d 2240 . . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( ( ( ( -u 1 ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod P ) - 1 ) = 1 ) )
118 4nn 9366 . . . . 5 |- 4 e. NN
119118a1i 9 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 4 e. NN )
1207, 18syl 14 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ZZ )
121 1zzd 9567 . . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 e. ZZ )
122 moddvds 12440 . . . 4 |- ( ( 4 e. NN /\ P e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
123119, 120, 121, 122syl3anc 1274 . . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> 4 || ( P - 1 ) ) )
124114, 117, 1233bitr4d 220 . 2 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) ) )
125 1z 9566 . . . . 5 |- 1 e. ZZ
126 zq 9921 . . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
127125, 126ax-mp 5 . . . 4 |- 1 e. QQ
128 zq 9921 . . . . 5 |- ( 4 e. ZZ -> 4 e. QQ )
12970, 128ax-mp 5 . . . 4 |- 4 e. QQ
130 0le1 8720 . . . 4 |- 0 <_ 1
131 1lt4 9377 . . . 4 |- 1 < 4
132 modqid 10674 . . . 4 |- ( ( ( 1 e. QQ /\ 4 e. QQ ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < 4 ) ) -> ( 1 mod 4 ) = 1 )
133127, 129, 130, 131, 132mp4an 427 . . 3 |- ( 1 mod 4 ) = 1
134133eqeq2i 2242 . 2 |- ( ( P mod 4 ) = ( 1 mod 4 ) <-> ( P mod 4 ) = 1 )
135124, 134bitrdi 196 1 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 /L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   \ cdif 3198   {csn 3673   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   < clt 8273   <_ cle 8274   - cmin 8409   -ucneg 8410   # cap 8820   / cdiv 8911   NNcn 9202   2c2 9253   4c4 9255   NN0cn0 9461   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   QQcq 9914   mod cmo 10647   ^cexp 10863   || cdvds 12428   Primecprime 12759   /Lclgs 15816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919  df-proddc 12192  df-dvds 12429  df-gcd 12605  df-prm 12760  df-phi 12863  df-pc 12938  df-lgs 15817
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