Theorem lgseisenlem2 14834

Description: Lemma for Eisenstein's lemma. The function M is an injection (and hence a bijection by the pigeonhole principle). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.2	|- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
lgseisen.3	|- ( ph -> P =/= Q )
lgseisen.4	|- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
lgseisen.5	|- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
lgseisen.6	|- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )

Assertion

Ref	Expression
lgseisenlem2	|- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, P   ph, x, y   y, M   x, Q, y   x, S

Allowed substitution hints:   R( x, y)   S( y)   M( x)

Proof of Theorem lgseisenlem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.1	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		lgseisen.2	. . . 4 |- ( ph -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
3		lgseisen.3	. . . 4 |- ( ph -> P =/= Q )
4		lgseisen.4	. . . 4 |- R = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P )
5		lgseisen.5	. . . 4 |- M = ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	lgseisenlem1 14833	. . 3 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
7		oveq2 5898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
8	7	oveq2d 5906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) = ( Q x. ( 2 x. y ) ) )
9	8	oveq1d 5905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
10		lgseisen.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P )
11	9, 4, 10	3eqtr4g 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> R = S )
12	11	oveq2d 5906	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( -u 1 ^ R ) = ( -u 1 ^ S ) )
13	12, 11	oveq12d 5908	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) = ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) )
14	13	oveq1d 5905	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) )
15	14	oveq1d 5905	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) )
16		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
17		neg1z 9302	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 e. ZZ
18	2	eldifad 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Q e. Prime )
19		prmnn 12127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Q e. Prime -> Q e. NN )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Q e. NN )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> Q e. NN )
22		2nn 9097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 2 e. NN )
24		elfznn 10071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> y e. NN )
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> y e. NN )
26	23, 25	nnmulcld 8985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. NN )
27	21, 26	nnmulcld 8985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. y ) ) e. NN )
28	27	nnzd 9391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. y ) ) e. ZZ )
29	1	eldifad 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. Prime )
30		prmnn 12127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. NN )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. NN )
33	28, 32	zmodcld 10362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) e. NN0 )
34	10, 33	eqeltrid 2275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> S e. NN0 )
35		zexpcl 10552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ S e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ S ) e. ZZ )
36	17, 34, 35	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ S ) e. ZZ )
37	34	nn0zd 9390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> S e. ZZ )
38	36, 37	zmulcld 9398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) e. ZZ )
39	38, 32	zmodcld 10362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) e. NN0 )
40	39	nn0zd 9390	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) e. ZZ )
41		znq 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) e. QQ )
42	40, 22, 41	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) e. QQ )
43	5, 15, 16, 42	fvmptd3 5624	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( M ` y ) = ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) )
44		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
45		elfznn 10071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. NN )
46	45	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. NN )
47	23, 46	nnmulcld 8985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
48	21, 47	nnmulcld 8985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. NN )
49	48	nnzd 9391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
50	49, 32	zmodcld 10362	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) e. NN0 )
51	4, 50	eqeltrid 2275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> R e. NN0 )
52		zexpcl 10552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ R e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
53	17, 51, 52	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
54	51	nn0zd 9390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> R e. ZZ )
55	53, 54	zmulcld 9398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ )
56	55, 32	zmodcld 10362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN0 )
57	56	nn0zd 9390	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ )
58		znq 9641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. QQ )
59	57, 22, 58	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. QQ )
60	59	elexd 2764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. _V )
61	5	fvmpt2 5614	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) e. _V ) -> ( M ` x ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
62	44, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( M ` x ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
63	43, 62	eqeq12d 2203	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( M ` y ) = ( M ` x ) <-> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) ) )
64	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> Q e. ( Prime \ { 2 } ) )
65	64	eldifad 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> Q e. Prime )
66		prmz 12128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Q e. Prime -> Q e. ZZ )
67	65, 66	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> Q e. ZZ )
68		2z 9298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
69		elfzelz 10042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> y e. ZZ )
70	69	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> y e. ZZ )
71		zmulcl 9323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( 2 x. y ) e. ZZ )
72	68, 70, 71	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. ZZ )
73	67, 72	zmulcld 9398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. y ) ) e. ZZ )
74	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
75	74	eldifad 3154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. Prime )
76	75, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. NN )
77	73, 76	zmodcld 10362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) e. NN0 )
78	10, 77	eqeltrid 2275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> S e. NN0 )
79	78	nn0zd 9390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> S e. ZZ )
80		m1expcl 10560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. ZZ -> ( -u 1 ^ S ) e. ZZ )
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ S ) e. ZZ )
82	81, 79	zmulcld 9398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) e. ZZ )
83	82, 76	zmodcld 10362	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) e. NN0 )
84	83	nn0cnd 9248	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) e. CC )
85		elfzelz 10042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x e. ZZ )
86	85	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. ZZ )
87		zmulcl 9323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
88	68, 86, 87	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. ZZ )
89	67, 88	zmulcld 9398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
90	89, 76	zmodcld 10362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) e. NN0 )
91	4, 90	eqeltrid 2275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> R e. NN0 )
92	91	nn0zd 9390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> R e. ZZ )
93		m1expcl 10560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. ZZ -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
94	92, 93	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. ZZ )
95	94, 92	zmulcld 9398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) e. ZZ )
96	95, 76	zmodcld 10362	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. NN0 )
97	96	nn0cnd 9248	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. CC )
98		2cnd 9009	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 2 e. CC )
99	23	nnap0d 8982	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 2 # 0 )
100		div11ap 8674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) e. CC /\ ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) <-> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) )
101	84, 97, 98, 99, 100	syl112anc 1252	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) <-> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) ) )
102		nnq 9650	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. NN -> P e. QQ )
103	32, 102	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. QQ )
104	32	nngt0d 8980	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 0 < P )
105		eqidd 2189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ S ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ S ) mod P ) )
106	10	oveq1i 5900	. . . . . . . . . . 11 |- ( S mod P ) = ( ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) mod P )
107		nnq 9650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) e. NN -> ( Q x. ( 2 x. y ) ) e. QQ )
108	27, 107	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. y ) ) e. QQ )
109	31, 102	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. QQ )
110	109	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. QQ )
111		modqabs2 10375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
112	108, 110, 104, 111	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
113	106, 112	eqtrid 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( S mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
114	36, 36, 37, 28, 103, 104, 105, 113	modqmul12d 10395	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) mod P ) )
115		eqidd 2189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ R ) mod P ) )
116	4	oveq1i 5900	. . . . . . . . . . 11 |- ( R mod P ) = ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P )
117		nnq 9650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. NN -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
118	48, 117	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ )
119		modqabs2 10375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) e. QQ /\ P e. QQ /\ 0 < P ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
120	118, 110, 104, 119	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
121	116, 120	eqtrid 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( R mod P ) = ( ( Q x. ( 2 x. x ) ) mod P ) )
122	53, 53, 54, 49, 110, 104, 115, 121	modqmul12d 10395	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) )
123	114, 122	eqeq12d 2203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) <-> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) ) )
124	81, 73	zmulcld 9398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) e. ZZ )
125	94, 89	zmulcld 9398	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
126		moddvds 11823	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN /\ ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) e. ZZ /\ ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
127	76, 124, 125, 126	syl3anc 1248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
128	67	zcnd 9393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> Q e. CC )
129	81, 72	zmulcld 9398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) e. ZZ )
130	129	zcnd 9393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) e. CC )
131	94, 88	zmulcld 9398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) e. ZZ )
132	131	zcnd 9393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) e. CC )
133	128, 130, 132	subdid 8388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( Q x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) - ( Q x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
134	81	zcnd 9393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ S ) e. CC )
135	72	zcnd 9393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. CC )
136	128, 134, 135	mul12d 8126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) = ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) )
137	94	zcnd 9393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) e. CC )
138	88	zcnd 9393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. CC )
139	128, 137, 138	mul12d 8126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) )
140	136, 139	oveq12d 5908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( Q x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) - ( Q x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
141	133, 140	eqtrd 2221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
142	141	breq2d 4029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
143	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P =/= Q )
144		prmrp 12162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ Q e. Prime ) -> ( ( P gcd Q ) = 1 <-> P =/= Q ) )
145	75, 65, 144	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P gcd Q ) = 1 <-> P =/= Q ) )
146	143, 145	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P gcd Q ) = 1 )
147		prmz 12128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
148	75, 147	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. ZZ )
149	129, 131	zsubcld 9397	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ )
150		coprmdvds 12109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( P || ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( P gcd Q ) = 1 ) -> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
151	148, 67, 149, 150	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P || ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) /\ ( P gcd Q ) = 1 ) -> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
152	146, 151	mpan2d 428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) -> P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
153		dvdsmultr2 11857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ ( -u 1 ^ R ) e. ZZ /\ ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) -> P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
154	148, 94, 149, 153	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) -> P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) ) )
155	137, 130, 132	subdid 8388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) )
156		neg1cn 9041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. CC
157	156	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -u 1 e. CC )
158	157, 78, 91	expaddd 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ S ) ) )
159	158	oveq1d 5905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ S ) ) x. ( 2 x. y ) ) )
160	137, 134, 135	mulassd 7998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ S ) ) x. ( 2 x. y ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) )
161	159, 160	eqtr2d 2222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) = ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) )
162		ax-1cn 7921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. CC
163		1ap0 8564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 # 0
164		divneg2ap 8710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 1 e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 # 0 ) -> -u ( 1 / 1 ) = ( 1 / -u 1 ) )
165	162, 162, 163, 164	mp3an 1347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- -u ( 1 / 1 ) = ( 1 / -u 1 )
166		1div1e1 8678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 / 1 ) = 1
167	166	negeqi 8168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- -u ( 1 / 1 ) = -u 1
168	165, 167	eqtr3i 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 / -u 1 ) = -u 1
169	168	oveq1i 5900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 / -u 1 ) ^ R ) = ( -u 1 ^ R )
170		neg1ap0 9045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- -u 1 # 0
171	170	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -u 1 # 0 )
172	157, 171, 54	exprecapd 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 1 / -u 1 ) ^ R ) = ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) )
173	169, 172	eqtr3id 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) = ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) )
174	173	oveq2d 5906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) ) )
175	157, 171, 54	expap0d 10677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ R ) # 0 )
176	137, 175	recidapd 8757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 1 / ( -u 1 ^ R ) ) ) = 1 )
177	174, 176	eqtrd 2221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) = 1 )
178	177	oveq1d 5905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) x. ( 2 x. x ) ) = ( 1 x. ( 2 x. x ) ) )
179	137, 137, 138	mulassd 7998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( -u 1 ^ R ) ) x. ( 2 x. x ) ) = ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) )
180	138	mullidd 7992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 1 x. ( 2 x. x ) ) = ( 2 x. x ) )
181	178, 179, 180	3eqtr3d 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) = ( 2 x. x ) )
182	161, 181	oveq12d 5908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) )
183	155, 182	eqtrd 2221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) = ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) )
184	183	breq2d 4029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) ) )
185		eqcom 2190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
186	135	mulm1d 8384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) = -u ( 2 x. y ) )
187	186	oveq1d 5905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) )
188	187	eqeq2d 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) <-> ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) ) )
189	185, 188	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) ) )
190	72	znegcld 9394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -u ( 2 x. y ) e. ZZ )
191		moddvds 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. NN /\ ( 2 x. x ) e. ZZ /\ -u ( 2 x. y ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) <-> P || ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) ) )
192	76, 88, 190, 191	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) <-> P || ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) ) )
193	46, 25	nnaddcld 8984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + y ) e. NN )
194	46	nnred 8949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. RR )
195	70	zred 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> y e. RR )
196		oddprm 12276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
197	74, 196	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
198	197	nnred 8949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. RR )
199		elfzle2 10045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
200	199	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
201		elfzle2 10045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
202	201	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
203	194, 195, 198, 198, 200, 202	le2addd 8537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + y ) <_ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
204	76	nnred 8949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P e. RR )
205		peano2rem 8241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. RR -> ( P - 1 ) e. RR )
206	204, 205	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P - 1 ) e. RR )
207	206	recnd 8003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P - 1 ) e. CC )
208	207	2halvesd 9181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) + ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( P - 1 ) )
209	203, 208	breqtrd 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + y ) <_ ( P - 1 ) )
210		peano2zm 9308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. ZZ -> ( P - 1 ) e. ZZ )
211		fznn 10106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P - 1 ) e. ZZ -> ( ( x + y ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( x + y ) e. NN /\ ( x + y ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
212	148, 210, 211	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( x + y ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) <-> ( ( x + y ) e. NN /\ ( x + y ) <_ ( P - 1 ) ) ) )
213	193, 209, 212	mpbir2and 945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + y ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) )
214		fzm1ndvds 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P e. NN /\ ( x + y ) e. ( 1 ... ( P - 1 ) ) ) -> -. P || ( x + y ) )
215	76, 213, 214	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -. P || ( x + y ) )
216		eldifsni 3735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
217	74, 216	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> P =/= 2 )
218		2prm 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. Prime
219		prmrp 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( P e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( P gcd 2 ) = 1 <-> P =/= 2 ) )
220	75, 218, 219	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P gcd 2 ) = 1 <-> P =/= 2 ) )
221	217, 220	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P gcd 2 ) = 1 )
222	68	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 2 e. ZZ )
223	193	nnzd 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( x + y ) e. ZZ )
224		coprmdvds 12109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( x + y ) e. ZZ ) -> ( ( P || ( 2 x. ( x + y ) ) /\ ( P gcd 2 ) = 1 ) -> P || ( x + y ) ) )
225	148, 222, 223, 224	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( P || ( 2 x. ( x + y ) ) /\ ( P gcd 2 ) = 1 ) -> P || ( x + y ) ) )
226	221, 225	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( 2 x. ( x + y ) ) -> P || ( x + y ) ) )
227	215, 226	mtod 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -. P || ( 2 x. ( x + y ) ) )
228	138, 135	subnegd 8292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. y ) ) )
229	86	zcnd 9393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> x e. CC )
230	70	zcnd 9393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> y e. CC )
231	98, 229, 230	adddid 7999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. ( x + y ) ) = ( ( 2 x. x ) + ( 2 x. y ) ) )
232	228, 231	eqtr4d 2224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) = ( 2 x. ( x + y ) ) )
233	232	breq2d 4029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) <-> P || ( 2 x. ( x + y ) ) ) )
234	227, 233	mtbird 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> -. P || ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) )
235	234	pm2.21d 620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( 2 x. x ) - -u ( 2 x. y ) ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
236	192, 235	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( -u ( 2 x. y ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
237	189, 236	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
238		oveq1 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) = ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) )
239	238	oveq1d 5905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 -> ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
240	239	eqeq1d 2197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) ) )
241	240	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) <-> ( ( ( -u 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) ) )
242	237, 241	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) ) )
243	135	mullidd 7992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 1 x. ( 2 x. y ) ) = ( 2 x. y ) )
244	243	oveq1d 5905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. y ) mod P ) )
245		nnq 9650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 x. y ) e. NN -> ( 2 x. y ) e. QQ )
246	26, 245	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. QQ )
247		nnmulcl 8957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. NN /\ y e. NN ) -> ( 2 x. y ) e. NN )
248	22, 25, 247	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. NN )
249	248	nnnn0d 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) e. NN0 )
250	249	nn0ge0d 9249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. y ) )
251		2re 9006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. RR
252	251	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 2 e. RR )
253		2pos 9027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 < 2
254	253	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 0 < 2 )
255		lemuldiv2 8856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. y ) <_ ( P - 1 ) <-> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
256	195, 206, 252, 254, 255	syl112anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. y ) <_ ( P - 1 ) <-> y <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
257	202, 256	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) <_ ( P - 1 ) )
258		zltlem1 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 2 x. y ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 2 x. y ) < P <-> ( 2 x. y ) <_ ( P - 1 ) ) )
259	72, 148, 258	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. y ) < P <-> ( 2 x. y ) <_ ( P - 1 ) ) )
260	257, 259	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. y ) < P )
261		modqid 10366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( 2 x. y ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( 2 x. y ) /\ ( 2 x. y ) < P ) ) -> ( ( 2 x. y ) mod P ) = ( 2 x. y ) )
262	246, 110, 250, 260, 261	syl22anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. y ) mod P ) = ( 2 x. y ) )
263	244, 262	eqtrd 2221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( 2 x. y ) )
264		nnq 9650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 x. x ) e. NN -> ( 2 x. x ) e. QQ )
265	47, 264	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. QQ )
266		nnmulcl 8957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. NN /\ x e. NN ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
267	22, 46, 266	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN )
268	267	nnnn0d 9246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) e. NN0 )
269	268	nn0ge0d 9249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> 0 <_ ( 2 x. x ) )
270		lemuldiv2 8856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. RR /\ ( P - 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
271	194, 206, 252, 254, 270	syl112anc 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) <-> x <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
272	200, 271	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) )
273		zltlem1 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 2 x. x ) e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 2 x. x ) < P <-> ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) )
274	88, 148, 273	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) < P <-> ( 2 x. x ) <_ ( P - 1 ) ) )
275	272, 274	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( 2 x. x ) < P )
276		modqid 10366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( 2 x. x ) e. QQ /\ P e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( 2 x. x ) /\ ( 2 x. x ) < P ) ) -> ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( 2 x. x ) )
277	265, 110, 269, 275, 276	syl22anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) mod P ) = ( 2 x. x ) )
278	263, 277	eqeq12d 2203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
279	278	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
280		oveq1 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) = ( 1 x. ( 2 x. y ) ) )
281	280	oveq1d 5905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 -> ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) )
282	281	eqeq1d 2197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) ) )
283	282	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) <-> ( ( ( 1 x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) ) )
284	279, 283	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) ) )
285	91, 78	nn0addcld 9250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( R + S ) e. NN0 )
286	285	nn0zd 9390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( R + S ) e. ZZ )
287		m1expcl2 10559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R + S ) e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( R + S ) ) e. { -u 1 , 1 } )
288		elpri 3629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) e. { -u 1 , 1 } -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 \/ ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 ) )
289	286, 287, 288	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = -u 1 \/ ( -u 1 ^ ( R + S ) ) = 1 ) )
290	242, 284, 289	mpjaod 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) -> ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) ) )
291		zexpcl 10552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ ( R + S ) e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( R + S ) ) e. ZZ )
292	17, 285, 291	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( R + S ) ) e. ZZ )
293	292, 72	zmulcld 9398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) e. ZZ )
294		moddvds 11823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. NN /\ ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) e. ZZ /\ ( 2 x. x ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) ) )
295	76, 293, 88, 294	syl3anc 1248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) mod P ) = ( ( 2 x. x ) mod P ) <-> P || ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) ) )
296	230, 229, 98, 99	mulcanapd 8635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( 2 x. y ) = ( 2 x. x ) <-> y = x ) )
297	290, 295, 296	3imtr3d 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( ( -u 1 ^ ( R + S ) ) x. ( 2 x. y ) ) - ( 2 x. x ) ) -> y = x ) )
298	184, 297	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( -u 1 ^ R ) x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) -> y = x ) )
299	152, 154, 298	3syld 57	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( Q x. ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( 2 x. y ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( 2 x. x ) ) ) ) -> y = x ) )
300	142, 299	sylbird 170	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( P || ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) - ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) ) -> y = x ) )
301	127, 300	sylbid 150	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. ( Q x. ( 2 x. y ) ) ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. ( Q x. ( 2 x. x ) ) ) mod P ) -> y = x ) )
302	123, 301	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) = ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) -> y = x ) )
303	101, 302	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( -u 1 ^ S ) x. S ) mod P ) / 2 ) = ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) -> y = x ) )
304	63, 303	sylbid 150	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) ) -> ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x ) )
305	304	ralrimivva 2571	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x ) )
306		nfmpt1 4110	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) |-> ( ( ( ( -u 1 ^ R ) x. R ) mod P ) / 2 ) )
307	5, 306	nfcxfr 2328	. . . . . . . . 9 |- F/_ x M
308		nfcv 2331	. . . . . . . . 9 |- F/_ x y
309	307, 308	nffv 5539	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( M ` y )
310		nfcv 2331	. . . . . . . . 9 |- F/_ x z
311	307, 310	nffv 5539	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( M ` z )
312	309, 311	nfeq 2339	. . . . . . 7 |- F/ x ( M ` y ) = ( M ` z )
313		nfv 1538	. . . . . . 7 |- F/ x y = z
314	312, 313	nfim 1582	. . . . . 6 |- F/ x ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z )
315		nfv 1538	. . . . . 6 |- F/ z ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x )
316		fveq2 5529	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( M ` z ) = ( M ` x ) )
317	316	eqeq2d 2200	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( ( M ` y ) = ( M ` z ) <-> ( M ` y ) = ( M ` x ) ) )
318		equequ2 1723	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( y = z <-> y = x ) )
319	317, 318	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z ) <-> ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x ) ) )
320	314, 315, 319	cbvralw 2711	. . . . 5 |- ( A. z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z ) <-> A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x ) )
321	320	ralbii 2495	. . . 4 |- ( A. y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z ) <-> A. y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. x e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` x ) -> y = x ) )
322	305, 321	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z ) )
323		dff13 5784	. . 3 |- ( M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) --> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ A. y e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) A. z e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ( ( M ` y ) = ( M ` z ) -> y = z ) ) )
324	6, 322, 323	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
325		1zzd 9297	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
326	1, 196	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
327	326	nnzd 9391	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
328	325, 327	fzfigd 10448	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin )
329		enrefg 6781	. . . 4 |- ( ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ~~ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
330	328, 329	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ~~ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
331		f1finf1o 6963	. . 3 |- ( ( ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ~~ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) /\ ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. Fin ) -> ( M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
332	330, 328, 331	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
333	324, 332	mpbid 147	1 |- ( ph -> M : ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1363   e. wcel 2159   =/= wne 2359   A.wral 2467   _Vcvv 2751   \ cdif 3140   {csn 3606   {cpr 3607   class class class wbr 4017   |-> cmpt 4078   -->wf 5226   -1-1->wf1 5227   -1-1-onto->wf1o 5229   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   ~~ cen 6755   Fincfn 6757   CCcc 7826   RRcr 7827   0cc0 7828   1c1 7829   + caddc 7831   x. cmul 7833   < clt 8009   <_ cle 8010   - cmin 8145   -ucneg 8146   # cap 8555   / cdiv 8646   NNcn 8936   2c2 8987   NN0cn0 9193   ZZcz 9270   QQcq 9636   ...cfz 10025   mod cmo 10339   ^cexp 10536   || cdvds 11811   gcd cgcd 11960   Primecprime 12124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-1o 6434  df-2o 6435  df-er 6552  df-en 6758  df-fin 6760  df-sup 7000  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-q 9637  df-rp 9671  df-fz 10026  df-fzo 10160  df-fl 10287  df-mod 10340  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-cj 10868  df-re 10869  df-im 10870  df-rsqrt 11024  df-abs 11025  df-dvds 11812  df-gcd 11961  df-prm 12125

This theorem is referenced by: (None)