Theorem elrpii 9625

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 23-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpi.1	|- A e. RR
elrpi.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
elrpii	|- A e. RR+

Proof of Theorem elrpii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpi.1	. 2 |- A e. RR
2		elrpi.2	. 2 |- 0 < A
3		elrp 9624	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 942	1 |- A e. RR+

Syntax hints:   e. wcel 2146   class class class wbr 3998   RRcr 7785   0cc0 7786   < clt 7966   RR+crp 9622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-rab 2462  df-v 2737  df-un 3131  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-br 3999  df-rp 9623

This theorem is referenced by:  1rp  9626  2rp  9627  3rp  9628  resqrexlemnm  10993  resqrexlemga  10998  epr  11755  pirp  13761  coseq0negpitopi  13808  pigt3  13816