Theorem elrpii 9592

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 23-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpi.1	|- A e. RR
elrpi.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
elrpii	|- A e. RR+

Proof of Theorem elrpii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpi.1	. 2 |- A e. RR
2		elrpi.2	. 2 |- 0 < A
3		elrp 9591	. 2 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4	1, 2, 3	mpbir2an 932	1 |- A e. RR+

Syntax hints:   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   RRcr 7752   0cc0 7753   < clt 7933   RR+crp 9589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rab 2453  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-rp 9590

This theorem is referenced by:  1rp  9593  2rp  9594  3rp  9595  resqrexlemnm  10960  resqrexlemga  10965  epr  11722  pirp  13350  coseq0negpitopi  13397  pigt3  13405