Theorem elrp 10066

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	|- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem elrp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4134	. 2 |- ( x = A -> ( 0 < x <-> 0 < A ) )
2		df-rp 10065	. 2 |- RR+ = { x e. RR | 0 < x }
3	1, 2	elrab2 2985	1 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   0cc0 8179   < clt 8360   RR+crp 10064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10065

This theorem is used by:  elrpii  10067  nnrp  10074  rpgt0  10076  rpregt0  10078  ralrp  10086  rexrp  10087  rpaddcl  10088  rpmulcl  10089  rpdivcl  10090  rpgecl  10093  rphalflt  10094  ge0p1rp  10096  rpnegap  10097  negelrp  10098  ltsubrp  10101  ltaddrp  10102  difrp  10103  elrpd  10104  iccdil  10410  icccntr  10412  dfrp2  10708  expgt0  11022  sqrtdiv  11822  mulcn2  12094  ef01bndlem  12539  nconstwlpolem  17213