Theorem elrp 10072

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	|- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem elrp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4135	. 2 |- ( x = A -> ( 0 < x <-> 0 < A ) )
2		df-rp 10071	. 2 |- RR+ = { x e. RR | 0 < x }
3	1, 2	elrab2 2985	1 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366   RR+crp 10070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-rp 10071

This theorem is used by:  elrpii  10073  nnrp  10080  rpgt0  10082  rpregt0  10084  ralrp  10092  rexrp  10093  rpaddcl  10094  rpmulcl  10095  rpdivcl  10096  rpgecl  10099  rphalflt  10100  ge0p1rp  10102  rpnegap  10103  negelrp  10104  ltsubrp  10107  ltaddrp  10108  difrp  10109  elrpd  10110  iccdil  10416  icccntr  10418  dfrp2  10714  expgt0  11029  sqrtdiv  11829  mulcn2  12102  ef01bndlem  12547  chtqub  16313  nconstwlpolem  17339