Theorem elrp 9472

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	|- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem elrp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3941	. 2 |- ( x = A -> ( 0 < x <-> 0 < A ) )
2		df-rp 9471	. 2 |- RR+ = { x e. RR | 0 < x }
3	1, 2	elrab2 2847	1 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   0cc0 7644   < clt 7824   RR+crp 9470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rab 2426  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-rp 9471

This theorem is referenced by:  elrpii  9473  nnrp  9480  rpgt0  9482  rpregt0  9484  ralrp  9492  rexrp  9493  rpaddcl  9494  rpmulcl  9495  rpdivcl  9496  rpgecl  9499  rphalflt  9500  ge0p1rp  9502  rpnegap  9503  negelrp  9504  ltsubrp  9507  ltaddrp  9508  difrp  9509  elrpd  9510  iccdil  9811  icccntr  9813  expgt0  10357  sqrtdiv  10846  mulcn2  11113  ef01bndlem  11499