Theorem elrp 9934

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	|- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem elrp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4097	. 2 |- ( x = A -> ( 0 < x <-> 0 < A ) )
2		df-rp 9933	. 2 |- RR+ = { x e. RR | 0 < x }
3	1, 2	elrab2 2966	1 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8074   0cc0 8075   < clt 8256   RR+crp 9932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-rp 9933

This theorem is referenced by:  elrpii  9935  nnrp  9942  rpgt0  9944  rpregt0  9946  ralrp  9954  rexrp  9955  rpaddcl  9956  rpmulcl  9957  rpdivcl  9958  rpgecl  9961  rphalflt  9962  ge0p1rp  9964  rpnegap  9965  negelrp  9966  ltsubrp  9969  ltaddrp  9970  difrp  9971  elrpd  9972  iccdil  10277  icccntr  10279  dfrp2  10569  expgt0  10880  sqrtdiv  11665  mulcn2  11935  ef01bndlem  12380  nconstwlpolem  16781