Theorem elrp 9988

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elrp	|- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem elrp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4113	. 2 |- ( x = A -> ( 0 < x <-> 0 < A ) )
2		df-rp 9987	. 2 |- RR+ = { x e. RR | 0 < x }
3	1, 2	elrab2 2976	1 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   RRcr 8126   0cc0 8127   < clt 8308   RR+crp 9986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-rp 9987

This theorem is referenced by:  elrpii  9989  nnrp  9996  rpgt0  9998  rpregt0  10000  ralrp  10008  rexrp  10009  rpaddcl  10010  rpmulcl  10011  rpdivcl  10012  rpgecl  10015  rphalflt  10016  ge0p1rp  10018  rpnegap  10019  negelrp  10020  ltsubrp  10023  ltaddrp  10024  difrp  10025  elrpd  10026  iccdil  10331  icccntr  10333  dfrp2  10623  expgt0  10934  sqrtdiv  11727  mulcn2  11997  ef01bndlem  12442  nconstwlpolem  16851