Theorem elrpii 9198

Description: Membership in the set of positive reals. (Contributed by NM, 23-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrpi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
elrpi.2	⊢ 0 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
elrpii	⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

Proof of Theorem elrpii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrpi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		elrpi.2	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
3		elrp 9197	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	mpbir2an 889	1 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ+

Syntax hints:   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  ℝcr 7410  0cc0 7411   < clt 7583  ℝ⁺crp 9195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-rab 2369  df-v 2622  df-un 3004  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-rp 9196

This theorem is referenced by:  1rp  9199  2rp  9200  resqrexlemnm  10512  resqrexlemga  10517  epr  11130