Theorem resqrexlemga 11334

Description: Lemma for resqrex 11337. The sequence formed by squaring each term of F converges to A. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemsqa.g	|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemga	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   j, F, k   x, F, k   e, j, k, ph   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, i)   A( x, e, i, j, k)   F( y, z, e, i)   G( x, y, z, e, i, j, k)   L( x, y, z, e, i, j, k)

Proof of Theorem resqrexlemga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11318	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> F : NN --> RR+ )
6		1nn 9047	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. NN )
8	5, 7	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
9		2z 9400	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 2 e. ZZ )
11	8, 10	rpexpcld 10842	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
12		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
13	11, 12	rpdivcld 9836	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR+ )
14	13	rpred 9818	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR )
15		1red 8087	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. RR )
16	14, 15	readdcld 8102	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR )
17		arch 9292	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR -> E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
19		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
21		eluznn 9721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
23		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) -> ph )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
25	24, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : NN --> RR+ )
26	25, 22	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
27	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 2 e. ZZ )
28	26, 27	rpexpcld 10842	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ )
29		fveq2 5576	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
30	29	oveq1d 5959	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
31		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
32	30, 31	fvmptg 5655	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
33	22, 28, 32	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
34	28	rpred 9818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
35	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A e. RR )
36	34, 35	resubcld 8453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
37	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
38	37	rpred 9818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
39		4re 9113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. RR
40		4pos 9133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 4
41	39, 40	elrpii 9778	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR+
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 4 e. RR+ )
43		nnm1nn0 9336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
44	22, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
45	44	nn0zd 9493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
46	42, 45	rpexpcld 10842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
47	38, 46	rerpdivcld 9850	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
48	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> e e. RR+ )
49	48	rpred 9818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> e e. RR )
50	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 11327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
51	24, 22, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
52	14	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR )
53	22	nnred 9049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR )
54		1red 8087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 1 e. RR )
55	53, 54	resubcld 8453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
56	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 4 e. RR )
57	56, 44	reexpcld 10835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR )
58	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR )
59	19	nnred 9049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR )
60		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
61		eluzle 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k )
63	58, 59, 53, 60, 62	ltletrd 8496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < k )
64	52, 54, 53	ltaddsubd 8618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < k <-> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( k - 1 ) ) )
65	63, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( k - 1 ) )
66		4z 9402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. ZZ
67		2re 9106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
68		2lt4 9210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 < 4
69	67, 39, 68	ltleii 8175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 <_ 4
70		eluz2 9654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
71	9, 66, 69, 70	mpbir3an 1182	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
72		bernneq3 10807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) e. NN0 ) -> ( k - 1 ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
73	71, 44, 72	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
74	52, 55, 57, 65, 73	lttrd 8198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
75	38, 48, 46, 74	ltdiv23d 9879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) < e )
76	36, 47, 49, 51, 75	lelttrd 8197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) < e )
77	34, 35, 49	ltsubadd2d 8616	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) < e <-> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( A + e ) ) )
78	76, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( A + e ) )
79	33, 78	eqbrtrd 4066	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) < ( A + e ) )
80	33, 28	eqeltrd 2282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) e. RR+ )
81	80	rpred 9818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
82	81, 49	readdcld 8102	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` k ) + e ) e. RR )
83	1, 2, 3	resqrexlemover 11321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A < ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
84	24, 22, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
85	84, 33	breqtrrd 4072	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( G ` k ) )
86	81, 48	ltaddrpd 9852	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` k ) + e ) )
87	35, 81, 82, 85, 86	lttrd 8198	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( ( G ` k ) + e ) )
88	79, 87	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
89	88	ralrimiva 2579	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
90	89	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
91	90	reximdva 2608	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
92	18, 91	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
93	92	ralrimiva 2579	1 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   {csn 3633   class class class wbr 4044   |-> cmpt 4105   X. cxp 4673   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   e. cmpo 5946   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   / cdiv 8745   NNcn 9036   2c2 9087   4c4 9089   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   RR+crp 9775   seqcseq 10592   ^cexp 10683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11335