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Theorem resqrexlemga 11032
Description: Lemma for resqrex 11035. The sequence formed by squaring each term of  F converges to  A. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemgt0.rr  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
resqrexlemgt0.lim  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
resqrexlemsqa.g  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemga  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
j, F, k    x, F, k    e, j, k,
ph    ph, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, i)    A( x, e, i, j, k)    F( y, z, e, i)    G( x, y, z, e, i, j, k)    L( x, y, z, e, i, j, k)

Proof of Theorem resqrexlemga
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 11016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
54adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  F : NN
--> RR+ )
6 1nn 8930 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
76a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  1  e.  NN )
85, 7ffvelcdmd 5653 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( F `  1 )  e.  RR+ )
9 2z 9281 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
109a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  2  e.  ZZ )
118, 10rpexpcld 10678 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
12 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1311, 12rpdivcld 9714 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  e.  RR+ )
1413rpred 9696 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  e.  RR )
15 1red 7972 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
1614, 15readdcld 7987 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  e.  RR )
17 arch 9173 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  e
)  +  1 )  e.  RR  ->  E. j  e.  NN  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)
1816, 17syl 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)
19 simpllr 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  e.  NN )
20 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
21 eluznn 9600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
2219, 20, 21syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  NN )
23 simplll 533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
e )  +  1 )  <  j )  ->  ph )
2423adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ph )
2524, 4syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  F : NN
--> RR+ )
2625, 22ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR+ )
279a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  2  e.  ZZ )
2826, 27rpexpcld 10678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR+ )
29 fveq2 5516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
3029oveq1d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
31 resqrexlemsqa.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) )
3230, 31fvmptg 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR+ )  ->  ( G `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )
3322, 28, 32syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `  k
) ^ 2 ) )
3428rpred 9696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
3524, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  e.  RR )
3634, 35resubcld 8338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
3711ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3837rpred 9696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
39 4re 8996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  RR
40 4pos 9016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  4
4139, 40elrpii 9656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR+
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  4  e.  RR+ )
43 nnm1nn0 9217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
4422, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  e. 
NN0 )
4544nn0zd 9373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  ZZ )
4642, 45rpexpcld 10678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  RR+ )
4738, 46rerpdivcld 9728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )  e.  RR )
4812ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  e  e.  RR+ )
4948rpred 9696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  e  e.  RR )
501, 2, 3resqrexlemcalc3 11025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) )
5124, 22, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) )
5214ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  e.  RR )
5322nnred 8932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  RR )
54 1red 7972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  1  e.  RR )
5553, 54resubcld 8338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
5639a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  4  e.  RR )
5756, 44reexpcld 10671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  RR )
5816ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  e.  RR )
5919nnred 8932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  e.  RR )
60 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  < 
j )
61 eluzle 9540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  j  <_  k )
6261adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  <_  k )
6358, 59, 53, 60, 62ltletrd 8380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  < 
k )
6452, 54, 53ltaddsubd 8502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  e
)  +  1 )  <  k  <->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  < 
( k  -  1 ) ) )
6563, 64mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  < 
( k  -  1 ) )
66 4z 9283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  ZZ
67 2re 8989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
68 2lt4 9092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  4
6967, 39, 68ltleii 8060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <_  4
70 eluz2 9534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
719, 66, 69, 70mpbir3an 1179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
72 bernneq3 10643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
k  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( k  -  1 )  <  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )
7371, 44, 72sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  < 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )
7452, 55, 57, 65, 73lttrd 8083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  < 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )
7538, 48, 46, 74ltdiv23d 9757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )  < 
e )
7636, 47, 49, 51, 75lelttrd 8082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  < 
e )
7734, 35, 49ltsubadd2d 8500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <  e  <->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  < 
( A  +  e ) ) )
7876, 77mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  < 
( A  +  e ) )
7933, 78eqbrtrd 4026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  <  ( A  +  e )
)
8033, 28eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR+ )
8180rpred 9696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
8281, 49readdcld 7987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  k )  +  e )  e.  RR )
831, 2, 3resqrexlemover 11019 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  k ) ^ 2 ) )
8424, 22, 83syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  <  ( ( F `  k
) ^ 2 ) )
8584, 33breqtrrd 4032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  <  ( G `  k ) )
8681, 48ltaddrpd 9730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  <  (
( G `  k
)  +  e ) )
8735, 81, 82, 85, 86lttrd 8083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  <  ( ( G `  k
)  +  e ) )
8879, 87jca 306 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  < 
( ( G `  k )  +  e ) ) )
8988ralrimiva 2550 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
e )  +  1 )  <  j )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( G `  k
)  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `
 k )  +  e ) ) )
9089ex 115 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
e )  +  1 )  <  j  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
)  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `
 k )  +  e ) ) ) )
9190reximdva 2579 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  e
)  +  1 )  <  j  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) ) )
9218, 91mpd 13 . 2  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) )
9392ralrimiva 2550 1  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {csn 3593   class class class wbr 4004    |-> cmpt 4065    X. cxp 4625   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875    e. cmpo 5877   RRcr 7810   0cc0 7811   1c1 7812    + caddc 7814    < clt 7992    <_ cle 7993    - cmin 8128    / cdiv 8629   NNcn 8919   2c2 8970   4c4 8972   NN0cn0 9176   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   RR+crp 9653    seqcseq 10445   ^cexp 10519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11033
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