Theorem resqrexlemga 10795

Description: Lemma for resqrex 10798. The sequence formed by squaring each term of F converges to A. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemsqa.g	|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemga	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   j, F, k   x, F, k   e, j, k, ph   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, i)   A( x, e, i, j, k)   F( y, z, e, i)   G( x, y, z, e, i, j, k)   L( x, y, z, e, i, j, k)

Proof of Theorem resqrexlemga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 10779	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5	4	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> F : NN --> RR+ )
6		1nn 8731	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. NN )
8	5, 7	ffvelrnd 5556	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
9		2z 9082	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 2 e. ZZ )
11	8, 10	rpexpcld 10448	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
12		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
13	11, 12	rpdivcld 9501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR+ )
14	13	rpred 9483	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR )
15		1red 7781	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. RR )
16	14, 15	readdcld 7795	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR )
17		arch 8974	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR -> E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
19		simpllr 523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
20		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
21		eluznn 9394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
22	19, 20, 21	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
23		simplll 522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) -> ph )
24	23	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
25	24, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : NN --> RR+ )
26	25, 22	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
27	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 2 e. ZZ )
28	26, 27	rpexpcld 10448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ )
29		fveq2 5421	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
30	29	oveq1d 5789	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
31		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
32	30, 31	fvmptg 5497	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
33	22, 28, 32	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
34	28	rpred 9483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
35	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A e. RR )
36	34, 35	resubcld 8143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
37	11	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
38	37	rpred 9483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
39		4re 8797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. RR
40		4pos 8817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 4
41	39, 40	elrpii 9444	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR+
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 4 e. RR+ )
43		nnm1nn0 9018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
44	22, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
45	44	nn0zd 9171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
46	42, 45	rpexpcld 10448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
47	38, 46	rerpdivcld 9515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
48	12	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> e e. RR+ )
49	48	rpred 9483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> e e. RR )
50	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 10788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
51	24, 22, 50	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
52	14	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR )
53	22	nnred 8733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR )
54		1red 7781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 1 e. RR )
55	53, 54	resubcld 8143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
56	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 4 e. RR )
57	56, 44	reexpcld 10441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR )
58	16	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR )
59	19	nnred 8733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR )
60		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
61		eluzle 9338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k )
62	61	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k )
63	58, 59, 53, 60, 62	ltletrd 8185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < k )
64	52, 54, 53	ltaddsubd 8307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < k <-> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( k - 1 ) ) )
65	63, 64	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( k - 1 ) )
66		4z 9084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. ZZ
67		2re 8790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
68		2lt4 8893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 < 4
69	67, 39, 68	ltleii 7866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 <_ 4
70		eluz2 9332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
71	9, 66, 69, 70	mpbir3an 1163	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
72		bernneq3 10414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) e. NN0 ) -> ( k - 1 ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
73	71, 44, 72	sylancr 410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
74	52, 55, 57, 65, 73	lttrd 7888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
75	38, 48, 46, 74	ltdiv23d 9544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) < e )
76	36, 47, 49, 51, 75	lelttrd 7887	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) < e )
77	34, 35, 49	ltsubadd2d 8305	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) < e <-> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( A + e ) ) )
78	76, 77	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( A + e ) )
79	33, 78	eqbrtrd 3950	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) < ( A + e ) )
80	33, 28	eqeltrd 2216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) e. RR+ )
81	80	rpred 9483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
82	81, 49	readdcld 7795	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` k ) + e ) e. RR )
83	1, 2, 3	resqrexlemover 10782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A < ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
84	24, 22, 83	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
85	84, 33	breqtrrd 3956	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( G ` k ) )
86	81, 48	ltaddrpd 9517	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` k ) + e ) )
87	35, 81, 82, 85, 86	lttrd 7888	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( ( G ` k ) + e ) )
88	79, 87	jca 304	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
89	88	ralrimiva 2505	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
90	89	ex 114	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
91	90	reximdva 2534	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
92	18, 91	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
93	92	ralrimiva 2505	1 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {csn 3527   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   X. cxp 4537   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   4c4 8773   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   RR+crp 9441   seqcseq 10218   ^cexp 10292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10796