Theorem resqrexlemga 11170

Description: Lemma for resqrex 11173. The sequence formed by squaring each term of F converges to A. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemsqa.g	|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemga	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   j, F, k   x, F, k   e, j, k, ph   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, i)   A( x, e, i, j, k)   F( y, z, e, i)   G( x, y, z, e, i, j, k)   L( x, y, z, e, i, j, k)

Proof of Theorem resqrexlemga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11154	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> F : NN --> RR+ )
6		1nn 8995	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. NN )
8	5, 7	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
9		2z 9348	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 2 e. ZZ )
11	8, 10	rpexpcld 10771	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
12		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
13	11, 12	rpdivcld 9783	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR+ )
14	13	rpred 9765	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR )
15		1red 8036	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. RR )
16	14, 15	readdcld 8051	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR )
17		arch 9240	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR -> E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
19		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
21		eluznn 9668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
23		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) -> ph )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
25	24, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : NN --> RR+ )
26	25, 22	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
27	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 2 e. ZZ )
28	26, 27	rpexpcld 10771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ )
29		fveq2 5555	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
30	29	oveq1d 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
31		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
32	30, 31	fvmptg 5634	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
33	22, 28, 32	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
34	28	rpred 9765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
35	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A e. RR )
36	34, 35	resubcld 8402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
37	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
38	37	rpred 9765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
39		4re 9061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. RR
40		4pos 9081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 4
41	39, 40	elrpii 9725	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR+
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 4 e. RR+ )
43		nnm1nn0 9284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
44	22, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
45	44	nn0zd 9440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
46	42, 45	rpexpcld 10771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
47	38, 46	rerpdivcld 9797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
48	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> e e. RR+ )
49	48	rpred 9765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> e e. RR )
50	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 11163	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
51	24, 22, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
52	14	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR )
53	22	nnred 8997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR )
54		1red 8036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 1 e. RR )
55	53, 54	resubcld 8402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
56	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 4 e. RR )
57	56, 44	reexpcld 10764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR )
58	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR )
59	19	nnred 8997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR )
60		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
61		eluzle 9607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k )
63	58, 59, 53, 60, 62	ltletrd 8444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < k )
64	52, 54, 53	ltaddsubd 8566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < k <-> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( k - 1 ) ) )
65	63, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( k - 1 ) )
66		4z 9350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. ZZ
67		2re 9054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
68		2lt4 9158	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 < 4
69	67, 39, 68	ltleii 8124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 <_ 4
70		eluz2 9601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
71	9, 66, 69, 70	mpbir3an 1181	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
72		bernneq3 10736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) e. NN0 ) -> ( k - 1 ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
73	71, 44, 72	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
74	52, 55, 57, 65, 73	lttrd 8147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
75	38, 48, 46, 74	ltdiv23d 9826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) < e )
76	36, 47, 49, 51, 75	lelttrd 8146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) < e )
77	34, 35, 49	ltsubadd2d 8564	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) < e <-> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( A + e ) ) )
78	76, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( A + e ) )
79	33, 78	eqbrtrd 4052	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) < ( A + e ) )
80	33, 28	eqeltrd 2270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) e. RR+ )
81	80	rpred 9765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
82	81, 49	readdcld 8051	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` k ) + e ) e. RR )
83	1, 2, 3	resqrexlemover 11157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A < ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
84	24, 22, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
85	84, 33	breqtrrd 4058	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( G ` k ) )
86	81, 48	ltaddrpd 9799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` k ) + e ) )
87	35, 81, 82, 85, 86	lttrd 8147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( ( G ` k ) + e ) )
88	79, 87	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
89	88	ralrimiva 2567	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
90	89	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
91	90	reximdva 2596	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
92	18, 91	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
93	92	ralrimiva 2567	1 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   {csn 3619   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   X. cxp 4658   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   4c4 9037   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   RR+crp 9722   seqcseq 10521   ^cexp 10612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11171