Theorem resqrexlemga 11583

Description: Lemma for resqrex 11586. The sequence formed by squaring each term of F converges to A. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemsqa.g	|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemga	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   j, F, k   x, F, k   e, j, k, ph   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, i)   A( x, e, i, j, k)   F( y, z, e, i)   G( x, y, z, e, i, j, k)   L( x, y, z, e, i, j, k)

Proof of Theorem resqrexlemga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11567	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> F : NN --> RR+ )
6		1nn 9153	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. NN )
8	5, 7	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
9		2z 9506	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 2 e. ZZ )
11	8, 10	rpexpcld 10958	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
12		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
13	11, 12	rpdivcld 9948	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR+ )
14	13	rpred 9930	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR )
15		1red 8193	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. RR )
16	14, 15	readdcld 8208	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR )
17		arch 9398	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR -> E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
19		simpllr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
21		eluznn 9833	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
23		simplll 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) -> ph )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
25	24, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : NN --> RR+ )
26	25, 22	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
27	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 2 e. ZZ )
28	26, 27	rpexpcld 10958	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ )
29		fveq2 5639	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
30	29	oveq1d 6032	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
31		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
32	30, 31	fvmptg 5722	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
33	22, 28, 32	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
34	28	rpred 9930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
35	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A e. RR )
36	34, 35	resubcld 8559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
37	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
38	37	rpred 9930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
39		4re 9219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. RR
40		4pos 9239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 4
41	39, 40	elrpii 9890	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR+
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 4 e. RR+ )
43		nnm1nn0 9442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
44	22, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
45	44	nn0zd 9599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
46	42, 45	rpexpcld 10958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
47	38, 46	rerpdivcld 9962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
48	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> e e. RR+ )
49	48	rpred 9930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> e e. RR )
50	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 11576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
51	24, 22, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
52	14	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR )
53	22	nnred 9155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR )
54		1red 8193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 1 e. RR )
55	53, 54	resubcld 8559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
56	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 4 e. RR )
57	56, 44	reexpcld 10951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR )
58	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR )
59	19	nnred 9155	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR )
60		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
61		eluzle 9767	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k )
63	58, 59, 53, 60, 62	ltletrd 8602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < k )
64	52, 54, 53	ltaddsubd 8724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < k <-> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( k - 1 ) ) )
65	63, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( k - 1 ) )
66		4z 9508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. ZZ
67		2re 9212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
68		2lt4 9316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 < 4
69	67, 39, 68	ltleii 8281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 <_ 4
70		eluz2 9760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
71	9, 66, 69, 70	mpbir3an 1205	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
72		bernneq3 10923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) e. NN0 ) -> ( k - 1 ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
73	71, 44, 72	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
74	52, 55, 57, 65, 73	lttrd 8304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
75	38, 48, 46, 74	ltdiv23d 9991	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) < e )
76	36, 47, 49, 51, 75	lelttrd 8303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) < e )
77	34, 35, 49	ltsubadd2d 8722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) < e <-> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( A + e ) ) )
78	76, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( A + e ) )
79	33, 78	eqbrtrd 4110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) < ( A + e ) )
80	33, 28	eqeltrd 2308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) e. RR+ )
81	80	rpred 9930	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
82	81, 49	readdcld 8208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` k ) + e ) e. RR )
83	1, 2, 3	resqrexlemover 11570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A < ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
84	24, 22, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
85	84, 33	breqtrrd 4116	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( G ` k ) )
86	81, 48	ltaddrpd 9964	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` k ) + e ) )
87	35, 81, 82, 85, 86	lttrd 8304	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( ( G ` k ) + e ) )
88	79, 87	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
89	88	ralrimiva 2605	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
90	89	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
91	90	reximdva 2634	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
92	18, 91	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
93	92	ralrimiva 2605	1 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   {csn 3669   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   X. cxp 4723   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   4c4 9195   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   RR+crp 9887   seqcseq 10708   ^cexp 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11584