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Theorem resqrexlemga 10826
Description: Lemma for resqrex 10829. The sequence formed by squaring each term of  F converges to  A. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemgt0.rr  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
resqrexlemgt0.lim  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  i )  <  ( L  +  e )  /\  L  <  ( ( F `  i )  +  e ) ) )
resqrexlemsqa.g  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemga  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z   
j, F, k    x, F, k    e, j, k,
ph    ph, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, i)    A( x, e, i, j, k)    F( y, z, e, i)    G( x, y, z, e, i, j, k)    L( x, y, z, e, i, j, k)

Proof of Theorem resqrexlemga
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 10810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
54adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  F : NN
--> RR+ )
6 1nn 8754 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
76a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  1  e.  NN )
85, 7ffvelrnd 5563 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( F `  1 )  e.  RR+ )
9 2z 9105 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
109a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  2  e.  ZZ )
118, 10rpexpcld 10478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
12 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1311, 12rpdivcld 9530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  e.  RR+ )
1413rpred 9512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  e.  RR )
15 1red 7804 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
1614, 15readdcld 7818 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  e.  RR )
17 arch 8997 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  e
)  +  1 )  e.  RR  ->  E. j  e.  NN  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)
1816, 17syl 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)
19 simpllr 524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  e.  NN )
20 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)
21 eluznn 9420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
2219, 20, 21syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  NN )
23 simplll 523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
e )  +  1 )  <  j )  ->  ph )
2423adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ph )
2524, 4syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  F : NN
--> RR+ )
2625, 22ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  k )  e.  RR+ )
279a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  2  e.  ZZ )
2826, 27rpexpcld 10478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR+ )
29 fveq2 5428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
3029oveq1d 5796 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
31 resqrexlemsqa.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) ^ 2 ) )
3230, 31fvmptg 5504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR+ )  ->  ( G `  k
)  =  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )
3322, 28, 32syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `  k
) ^ 2 ) )
3428rpred 9512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
3524, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  e.  RR )
3634, 35resubcld 8166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
3711ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3837rpred 9512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
39 4re 8820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  RR
40 4pos 8840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  4
4139, 40elrpii 9472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR+
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  4  e.  RR+ )
43 nnm1nn0 9041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
4422, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  e. 
NN0 )
4544nn0zd 9194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  ZZ )
4642, 45rpexpcld 10478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  RR+ )
4738, 46rerpdivcld 9544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )  e.  RR )
4812ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  e  e.  RR+ )
4948rpred 9512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  e  e.  RR )
501, 2, 3resqrexlemcalc3 10819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) )
5124, 22, 50syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  <_ 
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( k  -  1 ) ) ) )
5214ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  e.  RR )
5322nnred 8756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  k  e.  RR )
54 1red 7804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  1  e.  RR )
5553, 54resubcld 8166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  e.  RR )
5639a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  4  e.  RR )
5756, 44reexpcld 10471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) )  e.  RR )
5816ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  e.  RR )
5919nnred 8756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  e.  RR )
60 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  < 
j )
61 eluzle 9361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  j  <_  k )
6261adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  j  <_  k )
6358, 59, 53, 60, 62ltletrd 8208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  < 
k )
6452, 54, 53ltaddsubd 8330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  e
)  +  1 )  <  k  <->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  < 
( k  -  1 ) ) )
6563, 64mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  < 
( k  -  1 ) )
66 4z 9107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  ZZ
67 2re 8813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
68 2lt4 8916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  4
6967, 39, 68ltleii 7889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <_  4
70 eluz2 9355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
719, 66, 69, 70mpbir3an 1164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
72 bernneq3 10444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 4  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
k  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( k  -  1 )  <  ( 4 ^ ( k  - 
1 ) ) )
7371, 44, 72sylancr 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( k  -  1 )  < 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )
7452, 55, 57, 65, 73lttrd 7911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  < 
( 4 ^ (
k  -  1 ) ) )
7538, 48, 46, 74ltdiv23d 9573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( k  -  1 ) ) )  < 
e )
7636, 47, 49, 51, 75lelttrd 7910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  < 
e )
7734, 35, 49ltsubadd2d 8328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  <  e  <->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  < 
( A  +  e ) ) )
7876, 77mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  < 
( A  +  e ) )
7933, 78eqbrtrd 3957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  <  ( A  +  e )
)
8033, 28eqeltrd 2217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR+ )
8180rpred 9512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
8281, 49readdcld 7818 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  k )  +  e )  e.  RR )
831, 2, 3resqrexlemover 10813 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  k ) ^ 2 ) )
8424, 22, 83syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  <  ( ( F `  k
) ^ 2 ) )
8584, 33breqtrrd 3963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  <  ( G `  k ) )
8681, 48ltaddrpd 9546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  k )  <  (
( G `  k
)  +  e ) )
8735, 81, 82, 85, 86lttrd 7911 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A  <  ( ( G `  k
)  +  e ) )
8879, 87jca 304 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  e )  +  1 )  <  j
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  < 
( ( G `  k )  +  e ) ) )
8988ralrimiva 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  /\  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
e )  +  1 )  <  j )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( ( G `  k
)  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `
 k )  +  e ) ) )
9089ex 114 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
e )  +  1 )  <  j  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( G `  k
)  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `
 k )  +  e ) ) ) )
9190reximdva 2537 . . 3  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  NN  (
( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  e
)  +  1 )  <  j  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) ) )
9218, 91mpd 13 . 2  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) )
9392ralrimiva 2508 1  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( G `  k )  <  ( A  +  e )  /\  A  <  ( ( G `  k )  +  e ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   {csn 3531   class class class wbr 3936    |-> cmpt 3996    X. cxp 4544   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781    e. cmpo 5783   RRcr 7642   0cc0 7643   1c1 7644    + caddc 7646    < clt 7823    <_ cle 7824    - cmin 7956    / cdiv 8455   NNcn 8743   2c2 8794   4c4 8796   NN0cn0 9000   ZZcz 9077   ZZ>=cuz 9349   RR+crp 9469    seqcseq 10248   ^cexp 10322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-seqfrec 10249  df-exp 10323
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10827
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