Theorem resqrexlemga 11712

Description: Lemma for resqrex 11715. The sequence formed by squaring each term of F converges to A. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemsqa.g	|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemga	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   j, F, k   x, F, k   e, j, k, ph   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, i)   A( x, e, i, j, k)   F( y, z, e, i)   G( x, y, z, e, i, j, k)   L( x, y, z, e, i, j, k)

Proof of Theorem resqrexlemga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11696	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> F : NN --> RR+ )
6		1nn 9250	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. NN )
8	5, 7	ffvelcdmd 5815	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
9		2z 9607	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 2 e. ZZ )
11	8, 10	rpexpcld 11063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
12		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
13	11, 12	rpdivcld 10050	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR+ )
14	13	rpred 10032	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR )
15		1red 8291	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. RR )
16	14, 15	readdcld 8305	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR )
17		arch 9495	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR -> E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
18	16, 17	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
19		simpllr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. NN )
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
21		eluznn 9935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
23		simplll 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) -> ph )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ph )
25	24, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> F : NN --> RR+ )
26	25, 22	ffvelcdmd 5815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
27	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 2 e. ZZ )
28	26, 27	rpexpcld 11063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ )
29		fveq2 5672	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
30	29	oveq1d 6067	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
31		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
32	30, 31	fvmptg 5755	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
33	22, 28, 32	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
34	28	rpred 10032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
35	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A e. RR )
36	34, 35	resubcld 8656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) e. RR )
37	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
38	37	rpred 10032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR )
39		4re 9316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. RR
40		4pos 9336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 4
41	39, 40	elrpii 9992	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR+
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 4 e. RR+ )
43		nnm1nn0 9539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
44	22, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
45	44	nn0zd 9701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
46	42, 45	rpexpcld 11063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR+ )
47	38, 46	rerpdivcld 10064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) e. RR )
48	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> e e. RR+ )
49	48	rpred 10032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> e e. RR )
50	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 11705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
51	24, 22, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) <_ ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) )
52	14	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) e. RR )
53	22	nnred 9252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. RR )
54		1red 8291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 1 e. RR )
55	53, 54	resubcld 8656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
56	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 4 e. RR )
57	56, 44	reexpcld 11056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 4 ^ ( k - 1 ) ) e. RR )
58	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) e. RR )
59	19	nnred 9252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j e. RR )
60		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j )
61		eluzle 9869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> j <_ k )
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> j <_ k )
63	58, 59, 53, 60, 62	ltletrd 8699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < k )
64	52, 54, 53	ltaddsubd 8821	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < k <-> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( k - 1 ) ) )
65	63, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( k - 1 ) )
66		4z 9609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. ZZ
67		2re 9309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
68		2lt4 9413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 < 4
69	67, 39, 68	ltleii 8378	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 <_ 4
70		eluz2 9862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 2 <_ 4 ) )
71	9, 66, 69, 70	mpbir3an 1206	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. ( ZZ>= ` 2 )
72		bernneq3 11028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 4 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( k - 1 ) e. NN0 ) -> ( k - 1 ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
73	71, 44, 72	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( k - 1 ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
74	52, 55, 57, 65, 73	lttrd 8401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) < ( 4 ^ ( k - 1 ) ) )
75	38, 48, 46, 74	ltdiv23d 10093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( k - 1 ) ) ) < e )
76	36, 47, 49, 51, 75	lelttrd 8400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) < e )
77	34, 35, 49	ltsubadd2d 8819	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - A ) < e <-> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( A + e ) ) )
78	76, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( A + e ) )
79	33, 78	eqbrtrd 4133	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) < ( A + e ) )
80	33, 28	eqeltrd 2311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) e. RR+ )
81	80	rpred 10032	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
82	81, 49	readdcld 8305	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` k ) + e ) e. RR )
83	1, 2, 3	resqrexlemover 11699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A < ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
84	24, 22, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
85	84, 33	breqtrrd 4139	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( G ` k ) )
86	81, 48	ltaddrpd 10066	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` k ) + e ) )
87	35, 81, 82, 85, 86	lttrd 8401	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A < ( ( G ` k ) + e ) )
88	79, 87	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
89	88	ralrimiva 2617	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
90	89	ex 115	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
91	90	reximdva 2646	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. j e. NN ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / e ) + 1 ) < j -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
92	18, 91	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )
93	92	ralrimiva 2617	1 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( A + e ) /\ A < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   {csn 3691   class class class wbr 4111   |-> cmpt 4173   X. cxp 4749   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   e. cmpo 6054   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   < clt 8310   <_ cle 8311   - cmin 8446   / cdiv 8948   NNcn 9239   2c2 9290   4c4 9292   NN0cn0 9498   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856   RR+crp 9989   seqcseq 10813   ^cexp 10904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-rp 9990  df-seqfrec 10814  df-exp 10905

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11713