Theorem resqrexlemnm 10790

Description: Lemma for resqrex 10798. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemnmsq.n	|- ( ph -> N e. NN )
resqrexlemnmsq.m	|- ( ph -> M e. NN )
resqrexlemnmsq.nm	|- ( ph -> N <_ M )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemnm	|- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z   y, M, z   y, N, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 10779	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
6	4, 5	ffvelrnd 5556	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR+ )
7	6	rpred 9483	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
8		resqrexlemnmsq.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
9	4, 8	ffvelrnd 5556	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR+ )
10	9	rpred 9483	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
11	7, 10	resubcld 8143	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR )
12	7	resqcld 10450	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR )
13	10	resqcld 10450	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` M ) ^ 2 ) e. RR )
14	12, 13	resubcld 8143	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) e. RR )
15		2cn 8791	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16		expm1t 10321	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
17	15, 5, 16	sylancr 410	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
18		2nn 8881	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. NN )
20	5	nnnn0d 9030	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN0 )
21	19, 20	nnexpcld 10446	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN )
22	21	nnrpd 9482	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
23	17, 22	eqeltrrd 2217	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. RR+ )
24	23	rpred 9483	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. RR )
25	14, 24	remulcld 7796	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
26		1nn 8731	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. NN )
28	4, 27	ffvelrnd 5556	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
29	19	nnzd 9172	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
30	28, 29	rpexpcld 10448	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
31		4re 8797	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
32		4pos 8817	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
33	31, 32	elrpii 9444	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR+
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 e. RR+ )
35	5	nnzd 9172	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
36		peano2zm 9092	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ZZ )
38	34, 37	rpexpcld 10448	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) e. RR+ )
39	30, 38	rpdivcld 9501	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR+ )
40	39	rpred 9483	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR )
41	40, 24	remulcld 7796	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
42	6, 9	rpaddcld 9499	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. RR+ )
43	42, 23	rpmulcld 9500	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR+ )
44	43	rpred 9483	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
45	2	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> A e. RR )
46	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> 0 <_ A )
47	5	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N e. NN )
48	8	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> M e. NN )
49		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N < M )
50	1, 45, 46, 47, 48, 49	resqrexlemdecn 10784	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )
51	10	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` M ) e. RR )
52	7	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` N ) e. RR )
53		difrp 9480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` M ) e. RR /\ ( F ` N ) e. RR ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ ) )
54	51, 52, 53	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ ) )
55	50, 54	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ )
56	55	rpge0d 9487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N < M ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
57	7	recnd 7794	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` N ) e. CC )
58	57	subidd 8061	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` N ) ) = 0 )
59		fveq2 5421	. . . . . . . . 9 |- ( N = M -> ( F ` N ) = ( F ` M ) )
60	59	oveq2d 5790	. . . . . . . 8 |- ( N = M -> ( ( F ` N ) - ( F ` N ) ) = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
61	58, 60	sylan9req 2193	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = M ) -> 0 = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
62		0re 7766	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
63	62	eqlei 7857	. . . . . . 7 |- ( 0 = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
64	61, 63	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
65		resqrexlemnmsq.nm	. . . . . . 7 |- ( ph -> N <_ M )
66	8	nnzd 9172	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
67		zleloe 9101	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> ( N < M \/ N = M ) ) )
68	35, 66, 67	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N <_ M <-> ( N < M \/ N = M ) ) )
69	65, 68	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N < M \/ N = M ) )
70	56, 64, 69	mpjaodan 787	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
71		1red 7781	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
72	21	nnrecred 8767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
73	72	recnd 7794	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC )
74	73	addid1d 7911	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) + 0 ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
75		0red 7767	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
76	1, 2, 3	resqrexlemlo 10785	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )
77	5, 76	mpdan 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )
78	9	rpgt0d 9486	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( F ` M ) )
79	72, 75, 7, 10, 77, 78	lt2addd 8329	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) + 0 ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) )
80	74, 79	eqbrtrrd 3952	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) )
81	7, 10	readdcld 7795	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. RR )
82	71, 81, 22	ltdivmul2d 9536	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) <-> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) ) )
83	80, 82	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) )
84	17	oveq2d 5790	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
85	83, 84	breqtrd 3954	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
86	71, 44, 85	ltled 7881	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
87	11, 44, 70, 86	lemulge11d 8695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) <_ ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) )
88	11	recnd 7794	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. CC )
89	81	recnd 7794	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. CC )
90	23	rpcnd 9485	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. CC )
91	88, 89, 90	mulassd 7789	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) )
92	88, 89	mulcomd 7787	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
93	10	recnd 7794	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
94		subsq 10399	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` N ) e. CC /\ ( F ` M ) e. CC ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
95	57, 93, 94	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
96	92, 95	eqtr4d 2175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) )
97	96	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
98	91, 97	eqtr3d 2174	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
99	87, 98	breqtrd 3954	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
100	1, 2, 3, 5, 8, 65	resqrexlemnmsq 10789	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) < ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
101	14, 40, 23, 100	ltmul1dd 9539	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
102	11, 25, 41, 99, 101	lelttrd 7887	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
103	40	recnd 7794	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
104	19	nnrpd 9482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
105	104, 37	rpexpcld 10448	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. RR+ )
106	105	rpcnd 9485	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
107		2cnd 8793	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. CC )
108	103, 106, 107	mulassd 7789	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
109	30	rpcnd 9485	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
110	38	rpcnd 9485	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
111	38	rpap0d 9489	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) # 0 )
112	109, 110, 106, 111	div32apd 8574	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
113		4d2e2 8880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 / 2 ) = 2
114	113	oveq1i 5784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 / 2 ) ^ ( N - 1 ) ) = ( 2 ^ ( N - 1 ) )
115	34	rpcnd 9485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 4 e. CC )
116	104	rpap0d 9489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 # 0 )
117		nnm1nn0 9018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
118	5, 117	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
119	115, 107, 116, 118	expdivapd 10438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 4 / 2 ) ^ ( N - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
120	114, 119	syl5eqr 2186	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
121	120	oveq2d 5790	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
122	105	rpap0d 9489	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) # 0 )
123	110, 106, 111, 122	recdivapd 8567	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
124	121, 123	eqtrd 2172	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
125	124	oveq2d 5790	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
126	112, 125	eqtr4d 2175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
127	126	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
128	108, 127	eqtr3d 2174	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
129	106, 122	recclapd 8541	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
130	109, 129, 107	mul32d 7915	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
131	128, 130	eqtrd 2172	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
132	109, 107	mulcld 7786	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. CC )
133	132, 106, 122	divrecapd 8553	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
134	131, 133	eqtr4d 2175	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
135	102, 134	breqtrd 3954	1 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3527   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   4c4 8773   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   RR+crp 9441   seqcseq 10218   ^cexp 10292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293

This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  10791