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Theorem resqrexlemnm 11029
Description: Lemma for resqrex 11037. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemnmsq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
resqrexlemnmsq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
resqrexlemnmsq.nm  |-  ( ph  ->  N  <_  M )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemnm  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z    y, M, z    y, N, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemnm
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . 7  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 11018 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5 resqrexlemnmsq.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
64, 5ffvelcdmd 5654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
76rpred 9698 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
8 resqrexlemnmsq.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
94, 8ffvelcdmd 5654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR+ )
109rpred 9698 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
117, 10resubcld 8340 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  e.  RR )
127resqcld 10682 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR )
1310resqcld 10682 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) ^ 2 )  e.  RR )
1412, 13resubcld 8340 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
( F `  M
) ^ 2 ) )  e.  RR )
15 2cn 8992 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
16 expm1t 10550 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ N
)  =  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )
1715, 5, 16sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  =  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )
18 2nn 9082 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
1918a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
205nnnn0d 9231 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2119, 20nnexpcld 10678 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
2221nnrpd 9696 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
2317, 22eqeltrrd 2255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 )  e.  RR+ )
2423rpred 9698 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 )  e.  RR )
2514, 24remulcld 7990 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( ( F `  M ) ^ 2 ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  e.  RR )
26 1nn 8932 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
2726a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
284, 27ffvelcdmd 5654 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR+ )
2919nnzd 9376 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
3028, 29rpexpcld 10680 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
31 4re 8998 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR
32 4pos 9018 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
3331, 32elrpii 9658 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR+
3433a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  e.  RR+ )
355nnzd 9376 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
36 peano2zm 9293 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
3735, 36syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
3834, 37rpexpcld 10680 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR+ )
3930, 38rpdivcld 9716 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
4039rpred 9698 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
4140, 24remulcld 7990 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  e.  RR )
426, 9rpaddcld 9714 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  e.  RR+ )
4342, 23rpmulcld 9715 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  +  ( F `  M
) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  e.  RR+ )
4443rpred 9698 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  +  ( F `  M
) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  e.  RR )
452adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  A  e.  RR )
463adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  0  <_  A )
475adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  N  e.  NN )
488adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  M  e.  NN )
49 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  N  <  M )
501, 45, 46, 47, 48, 49resqrexlemdecn 11023 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( F `  M )  <  ( F `  N )
)
5110adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( F `  M )  e.  RR )
527adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( F `  N )  e.  RR )
53 difrp 9694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  ( F `  N )  e.  RR )  -> 
( ( F `  M )  <  ( F `  N )  <->  ( ( F `  N
)  -  ( F `
 M ) )  e.  RR+ ) )
5451, 52, 53syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( ( F `  M )  <  ( F `  N
)  <->  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) )  e.  RR+ )
)
5550, 54mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M ) )  e.  RR+ )
5655rpge0d 9702 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  0  <_  ( ( F `  N
)  -  ( F `
 M ) ) )
577recnd 7988 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  CC )
5857subidd 8258 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  N )
)  =  0 )
59 fveq2 5517 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  M  ->  ( F `  N )  =  ( F `  M ) )
6059oveq2d 5893 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  M  ->  (
( F `  N
)  -  ( F `
 N ) )  =  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) ) )
6158, 60sylan9req 2231 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  0  =  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) ) )
62 0re 7959 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
6362eqlei 8053 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) )  ->  0  <_  ( ( F `  N
)  -  ( F `
 M ) ) )
6461, 63syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  0  <_  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
) )
65 resqrexlemnmsq.nm . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  <_  M )
668nnzd 9376 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
67 zleloe 9302 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  M  <->  ( N  <  M  \/  N  =  M )
) )
6835, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  <_  M  <->  ( N  <  M  \/  N  =  M )
) )
6965, 68mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  \/  N  =  M
) )
7056, 64, 69mpjaodan 798 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( F `  N )  -  ( F `  M ) ) )
71 1red 7974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7221nnrecred 8968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
7372recnd 7988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )
7473addid1d 8108 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  +  0 )  =  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )
75 0red 7960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
761, 2, 3resqrexlemlo 11024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  < 
( F `  N
) )
775, 76mpdan 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  <  ( F `
 N ) )
789rpgt0d 9701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 M ) )
7972, 75, 7, 10, 77, 78lt2addd 8526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  +  0 )  <  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )
8074, 79eqbrtrrd 4029 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  <  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )
817, 10readdcld 7989 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  e.  RR )
8271, 81, 22ltdivmul2d 9751 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  <  (
( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  <->  1  <  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( 2 ^ N ) ) ) )
8380, 82mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( 2 ^ N ) ) )
8417oveq2d 5893 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  +  ( F `  M
) )  x.  (
2 ^ N ) )  =  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
8583, 84breqtrd 4031 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
8671, 44, 85ltled 8078 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
8711, 44, 70, 86lemulge11d 8896 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  <_  ( (
( F `  N
)  -  ( F `
 M ) )  x.  ( ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) ) )
8811recnd 7988 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  e.  CC )
8981recnd 7988 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  e.  CC )
9023rpcnd 9700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 )  e.  CC )
9188, 89, 90mulassd 7983 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  N )  -  ( F `  M ) )  x.  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( F `  N
)  -  ( F `
 M ) )  x.  ( ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) ) )
9288, 89mulcomd 7981 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) )  x.  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )  =  ( ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  x.  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
) ) )
9310recnd 7988 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
94 subsq 10629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  CC  /\  ( F `  M )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
( F `  M
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) ) ) )
9557, 93, 94syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
( F `  M
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) ) ) )
9692, 95eqtr4d 2213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) )  x.  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )  =  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( ( F `  M ) ^ 2 ) ) )
9796oveq1d 5892 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  N )  -  ( F `  M ) )  x.  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( ( F `  M ) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
9891, 97eqtr3d 2212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) )  x.  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )  =  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( ( F `
 M ) ^
2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
9987, 98breqtrd 4031 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  <_  ( (
( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( ( F `  M ) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
1001, 2, 3, 5, 8, 65resqrexlemnmsq 11028 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
( F `  M
) ^ 2 ) )  <  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
10114, 40, 23, 100ltmul1dd 9754 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( ( F `  M ) ^ 2 ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  <  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
10211, 25, 41, 99, 101lelttrd 8084 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
10340recnd 7988 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
10419nnrpd 9696 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
105104, 37rpexpcld 10680 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR+ )
106105rpcnd 9700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
107 2cnd 8994 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
108103, 106, 107mulassd 7983 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  2 )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
10930rpcnd 9700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  CC )
11038rpcnd 9700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
11138rpap0d 9704 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) #  0 )
112109, 110, 106, 111div32apd 8773 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
113 4d2e2 9081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  /  2 )  =  2
114113oveq1i 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  /  2 ) ^ ( N  - 
1 ) )  =  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )
11534rpcnd 9700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
116104rpap0d 9704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2 #  0 )
117 nnm1nn0 9219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
1185, 117syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
119115, 107, 116, 118expdivapd 10670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
2 ) ^ ( N  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
120114, 119eqtr3id 2224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
121120oveq2d 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  / 
( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
122105rpap0d 9704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) #  0 )
123110, 106, 111, 122recdivapd 8766 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 4 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 2 ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
124121, 123eqtrd 2210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
125124oveq2d 5893 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
126112, 125eqtr4d 2213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
127126oveq1d 5892 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  2 )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )  x.  2 ) )
128108, 127eqtr3d 2212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )  x.  2 ) )
129106, 122recclapd 8740 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
130109, 129, 107mul32d 8112 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )  x.  2 )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
131128, 130eqtrd 2210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
132109, 107mulcld 7980 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  e.  CC )
133132, 106, 122divrecapd 8752 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
134131, 133eqtr4d 2213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
135102, 134breqtrd 4031 1  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   {csn 3594   class class class wbr 4005    X. cxp 4626   ` cfv 5218  (class class class)co 5877    e. cmpo 5879   CCcc 7811   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814    + caddc 7816    x. cmul 7818    < clt 7994    <_ cle 7995    - cmin 8130    / cdiv 8631   NNcn 8921   2c2 8972   4c4 8974   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   RR+crp 9655    seqcseq 10447   ^cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11030
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