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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > resqrexlemnm | Unicode version |
Description: Lemma for resqrex 11030. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
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resqrexlemex.seq |
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resqrexlemex.a |
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resqrexlemex.agt0 |
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resqrexlemnmsq.n |
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resqrexlemnmsq.m |
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resqrexlemnmsq.nm |
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Ref | Expression |
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resqrexlemnm |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | resqrexlemex.seq |
. . . . . . 7
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2 | resqrexlemex.a |
. . . . . . 7
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3 | resqrexlemex.agt0 |
. . . . . . 7
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4 | 1, 2, 3 | resqrexlemf 11011 |
. . . . . 6
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5 | resqrexlemnmsq.n |
. . . . . 6
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6 | 4, 5 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . 5
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7 | 6 | rpred 9694 |
. . . 4
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8 | resqrexlemnmsq.m |
. . . . . 6
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9 | 4, 8 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . 5
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10 | 9 | rpred 9694 |
. . . 4
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11 | 7, 10 | resubcld 8336 |
. . 3
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12 | 7 | resqcld 10676 |
. . . . 5
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13 | 10 | resqcld 10676 |
. . . . 5
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14 | 12, 13 | resubcld 8336 |
. . . 4
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15 | 2cn 8988 |
. . . . . . 7
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16 | expm1t 10545 |
. . . . . . 7
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17 | 15, 5, 16 | sylancr 414 |
. . . . . 6
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18 | 2nn 9078 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | a1i 9 |
. . . . . . . 8
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20 | 5 | nnnn0d 9227 |
. . . . . . . 8
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21 | 19, 20 | nnexpcld 10672 |
. . . . . . 7
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22 | 21 | nnrpd 9692 |
. . . . . 6
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23 | 17, 22 | eqeltrrd 2255 |
. . . . 5
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24 | 23 | rpred 9694 |
. . . 4
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25 | 14, 24 | remulcld 7986 |
. . 3
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26 | 1nn 8928 |
. . . . . . . . 9
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27 | 26 | a1i 9 |
. . . . . . . 8
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28 | 4, 27 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . . . 7
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29 | 19 | nnzd 9372 |
. . . . . . 7
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30 | 28, 29 | rpexpcld 10674 |
. . . . . 6
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31 | 4re 8994 |
. . . . . . . . 9
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32 | 4pos 9014 |
. . . . . . . . 9
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33 | 31, 32 | elrpii 9654 |
. . . . . . . 8
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34 | 33 | a1i 9 |
. . . . . . 7
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35 | 5 | nnzd 9372 |
. . . . . . . 8
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36 | peano2zm 9289 |
. . . . . . . 8
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37 | 35, 36 | syl 14 |
. . . . . . 7
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38 | 34, 37 | rpexpcld 10674 |
. . . . . 6
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39 | 30, 38 | rpdivcld 9712 |
. . . . 5
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40 | 39 | rpred 9694 |
. . . 4
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41 | 40, 24 | remulcld 7986 |
. . 3
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42 | 6, 9 | rpaddcld 9710 |
. . . . . . 7
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43 | 42, 23 | rpmulcld 9711 |
. . . . . 6
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44 | 43 | rpred 9694 |
. . . . 5
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45 | 2 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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46 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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47 | 5 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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48 | 8 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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49 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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50 | 1, 45, 46, 47, 48, 49 | resqrexlemdecn 11016 |
. . . . . . . 8
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51 | 10 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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52 | 7 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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53 | difrp 9690 |
. . . . . . . . 9
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54 | 51, 52, 53 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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55 | 50, 54 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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56 | 55 | rpge0d 9698 |
. . . . . 6
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57 | 7 | recnd 7984 |
. . . . . . . . 9
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58 | 57 | subidd 8254 |
. . . . . . . 8
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59 | fveq2 5515 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . 8
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61 | 58, 60 | sylan9req 2231 |
. . . . . . 7
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62 | 0re 7956 |
. . . . . . . 8
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63 | 62 | eqlei 8049 |
. . . . . . 7
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64 | 61, 63 | syl 14 |
. . . . . 6
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65 | resqrexlemnmsq.nm |
. . . . . . 7
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66 | 8 | nnzd 9372 |
. . . . . . . 8
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67 | zleloe 9298 |
. . . . . . . 8
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68 | 35, 66, 67 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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69 | 65, 68 | mpbid 147 |
. . . . . 6
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70 | 56, 64, 69 | mpjaodan 798 |
. . . . 5
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71 | 1red 7971 |
. . . . . 6
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72 | 21 | nnrecred 8964 |
. . . . . . . . . . 11
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73 | 72 | recnd 7984 |
. . . . . . . . . 10
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74 | 73 | addid1d 8104 |
. . . . . . . . 9
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75 | 0red 7957 |
. . . . . . . . . 10
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76 | 1, 2, 3 | resqrexlemlo 11017 |
. . . . . . . . . . 11
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77 | 5, 76 | mpdan 421 |
. . . . . . . . . 10
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78 | 9 | rpgt0d 9697 |
. . . . . . . . . 10
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79 | 72, 75, 7, 10, 77, 78 | lt2addd 8522 |
. . . . . . . . 9
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80 | 74, 79 | eqbrtrrd 4027 |
. . . . . . . 8
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81 | 7, 10 | readdcld 7985 |
. . . . . . . . 9
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82 | 71, 81, 22 | ltdivmul2d 9747 |
. . . . . . . 8
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83 | 80, 82 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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84 | 17 | oveq2d 5890 |
. . . . . . 7
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86 | 71, 44, 85 | ltled 8074 |
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87 | 11, 44, 70, 86 | lemulge11d 8892 |
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88 | 11 | recnd 7984 |
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89 | 81 | recnd 7984 |
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90 | 23 | rpcnd 9696 |
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91 | 88, 89, 90 | mulassd 7979 |
. . . . 5
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92 | 88, 89 | mulcomd 7977 |
. . . . . . 7
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93 | 10 | recnd 7984 |
. . . . . . . 8
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94 | subsq 10623 |
. . . . . . . 8
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95 | 57, 93, 94 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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96 | 92, 95 | eqtr4d 2213 |
. . . . . 6
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97 | 96 | oveq1d 5889 |
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98 | 91, 97 | eqtr3d 2212 |
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99 | 87, 98 | breqtrd 4029 |
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100 | 1, 2, 3, 5, 8, 65 | resqrexlemnmsq 11021 |
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101 | 14, 40, 23, 100 | ltmul1dd 9750 |
. . 3
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102 | 11, 25, 41, 99, 101 | lelttrd 8080 |
. 2
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103 | 40 | recnd 7984 |
. . . . . 6
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104 | 19 | nnrpd 9692 |
. . . . . . . 8
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105 | 104, 37 | rpexpcld 10674 |
. . . . . . 7
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106 | 105 | rpcnd 9696 |
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107 | 2cnd 8990 |
. . . . . 6
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108 | 103, 106, 107 | mulassd 7979 |
. . . . 5
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109 | 30 | rpcnd 9696 |
. . . . . . . 8
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110 | 38 | rpcnd 9696 |
. . . . . . . 8
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111 | 38 | rpap0d 9700 |
. . . . . . . 8
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112 | 109, 110, 106, 111 | div32apd 8769 |
. . . . . . 7
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113 | 4d2e2 9077 |
. . . . . . . . . . . 12
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114 | 113 | oveq1i 5884 |
. . . . . . . . . . 11
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115 | 34 | rpcnd 9696 |
. . . . . . . . . . . 12
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116 | 104 | rpap0d 9700 |
. . . . . . . . . . . 12
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117 | nnm1nn0 9215 |
. . . . . . . . . . . . 13
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118 | 5, 117 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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119 | 115, 107, 116, 118 | expdivapd 10664 |
. . . . . . . . . . 11
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120 | 114, 119 | eqtr3id 2224 |
. . . . . . . . . 10
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121 | 120 | oveq2d 5890 |
. . . . . . . . 9
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122 | 105 | rpap0d 9700 |
. . . . . . . . . 10
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123 | 110, 106, 111, 122 | recdivapd 8762 |
. . . . . . . . 9
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124 | 121, 123 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . 8
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125 | 124 | oveq2d 5890 |
. . . . . . 7
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126 | 112, 125 | eqtr4d 2213 |
. . . . . 6
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127 | 126 | oveq1d 5889 |
. . . . 5
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128 | 108, 127 | eqtr3d 2212 |
. . . 4
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129 | 106, 122 | recclapd 8736 |
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130 | 109, 129, 107 | mul32d 8108 |
. . . 4
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131 | 128, 130 | eqtrd 2210 |
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132 | 109, 107 | mulcld 7976 |
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133 | 132, 106, 122 | divrecapd 8748 |
. . 3
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134 | 131, 133 | eqtr4d 2213 |
. 2
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135 | 102, 134 | breqtrd 4029 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-pnf 7992 df-mnf 7993 df-xr 7994 df-ltxr 7995 df-le 7996 df-sub 8128 df-neg 8129 df-reap 8530 df-ap 8537 df-div 8628 df-inn 8918 df-2 8976 df-3 8977 df-4 8978 df-n0 9175 df-z 9252 df-uz 9527 df-rp 9652 df-seqfrec 10443 df-exp 10517 |
This theorem is referenced by: resqrexlemcvg 11023 |
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