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Theorem resqrexlemnm 11022
Description: Lemma for resqrex 11030. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
resqrexlemnmsq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
resqrexlemnmsq.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
resqrexlemnmsq.nm  |-  ( ph  ->  N  <_  M )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemnm  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z    y, M, z    y, N, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemnm
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . 7  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
2 resqrexlemex.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
41, 2, 3resqrexlemf 11011 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5 resqrexlemnmsq.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
64, 5ffvelcdmd 5652 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR+ )
76rpred 9694 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
8 resqrexlemnmsq.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
94, 8ffvelcdmd 5652 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR+ )
109rpred 9694 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  RR )
117, 10resubcld 8336 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  e.  RR )
127resqcld 10676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N ) ^ 2 )  e.  RR )
1310resqcld 10676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  M ) ^ 2 )  e.  RR )
1412, 13resubcld 8336 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
( F `  M
) ^ 2 ) )  e.  RR )
15 2cn 8988 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
16 expm1t 10545 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2 ^ N
)  =  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )
1715, 5, 16sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  =  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )
18 2nn 9078 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
1918a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
205nnnn0d 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2119, 20nnexpcld 10672 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  NN )
2221nnrpd 9692 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
2317, 22eqeltrrd 2255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 )  e.  RR+ )
2423rpred 9694 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 )  e.  RR )
2514, 24remulcld 7986 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( ( F `  M ) ^ 2 ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  e.  RR )
26 1nn 8928 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
2726a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
284, 27ffvelcdmd 5652 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  RR+ )
2919nnzd 9372 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
3028, 29rpexpcld 10674 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
31 4re 8994 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  RR
32 4pos 9014 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
3331, 32elrpii 9654 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR+
3433a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  4  e.  RR+ )
355nnzd 9372 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
36 peano2zm 9289 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
3735, 36syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
3834, 37rpexpcld 10674 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR+ )
3930, 38rpdivcld 9712 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  RR+ )
4039rpred 9694 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
4140, 24remulcld 7986 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  e.  RR )
426, 9rpaddcld 9710 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  e.  RR+ )
4342, 23rpmulcld 9711 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  +  ( F `  M
) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  e.  RR+ )
4443rpred 9694 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  +  ( F `  M
) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  e.  RR )
452adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  A  e.  RR )
463adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  0  <_  A )
475adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  N  e.  NN )
488adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  M  e.  NN )
49 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  N  <  M )
501, 45, 46, 47, 48, 49resqrexlemdecn 11016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( F `  M )  <  ( F `  N )
)
5110adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( F `  M )  e.  RR )
527adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( F `  N )  e.  RR )
53 difrp 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  M
)  e.  RR  /\  ( F `  N )  e.  RR )  -> 
( ( F `  M )  <  ( F `  N )  <->  ( ( F `  N
)  -  ( F `
 M ) )  e.  RR+ ) )
5451, 52, 53syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( ( F `  M )  <  ( F `  N
)  <->  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) )  e.  RR+ )
)
5550, 54mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M ) )  e.  RR+ )
5655rpge0d 9698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  <  M )  ->  0  <_  ( ( F `  N
)  -  ( F `
 M ) ) )
577recnd 7984 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  CC )
5857subidd 8254 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  N )
)  =  0 )
59 fveq2 5515 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  M  ->  ( F `  N )  =  ( F `  M ) )
6059oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  M  ->  (
( F `  N
)  -  ( F `
 N ) )  =  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) ) )
6158, 60sylan9req 2231 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  0  =  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) ) )
62 0re 7956 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
6362eqlei 8049 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) )  ->  0  <_  ( ( F `  N
)  -  ( F `
 M ) ) )
6461, 63syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  0  <_  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
) )
65 resqrexlemnmsq.nm . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  <_  M )
668nnzd 9372 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
67 zleloe 9298 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  M  <->  ( N  <  M  \/  N  =  M )
) )
6835, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  <_  M  <->  ( N  <  M  \/  N  =  M )
) )
6965, 68mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  <  M  \/  N  =  M
) )
7056, 64, 69mpjaodan 798 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( F `  N )  -  ( F `  M ) ) )
71 1red 7971 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
7221nnrecred 8964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
7372recnd 7984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  e.  CC )
7473addid1d 8104 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  +  0 )  =  ( 1  /  ( 2 ^ N ) ) )
75 0red 7957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
761, 2, 3resqrexlemlo 11017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  < 
( F `  N
) )
775, 76mpdan 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  <  ( F `
 N ) )
789rpgt0d 9697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( F `
 M ) )
7972, 75, 7, 10, 77, 78lt2addd 8522 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  +  0 )  <  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )
8074, 79eqbrtrrd 4027 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  <  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )
817, 10readdcld 7985 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  e.  RR )
8271, 81, 22ltdivmul2d 9747 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  <  (
( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  <->  1  <  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( 2 ^ N ) ) ) )
8380, 82mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( 2 ^ N ) ) )
8417oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  +  ( F `  M
) )  x.  (
2 ^ N ) )  =  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
8583, 84breqtrd 4029 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  <  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
8671, 44, 85ltled 8074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  ( (
( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
8711, 44, 70, 86lemulge11d 8892 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  <_  ( (
( F `  N
)  -  ( F `
 M ) )  x.  ( ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) ) )
8811recnd 7984 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  e.  CC )
8981recnd 7984 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  e.  CC )
9023rpcnd 9696 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 )  e.  CC )
9188, 89, 90mulassd 7979 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  N )  -  ( F `  M ) )  x.  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( F `  N
)  -  ( F `
 M ) )  x.  ( ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) ) )
9288, 89mulcomd 7977 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) )  x.  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )  =  ( ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) )  x.  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
) ) )
9310recnd 7984 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  CC )
94 subsq 10623 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  CC  /\  ( F `  M )  e.  CC )  -> 
( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
( F `  M
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) ) ) )
9557, 93, 94syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
( F `  M
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) ) ) )
9692, 95eqtr4d 2213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) )  x.  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )  =  ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( ( F `  M ) ^ 2 ) ) )
9796oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  N )  -  ( F `  M ) )  x.  ( ( F `  N )  +  ( F `  M ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( ( F `  M ) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
9891, 97eqtr3d 2212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N )  -  ( F `  M ) )  x.  ( ( ( F `  N
)  +  ( F `
 M ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )  =  ( ( ( ( F `  N
) ^ 2 )  -  ( ( F `
 M ) ^
2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
9987, 98breqtrd 4029 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  <_  ( (
( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( ( F `  M ) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
1001, 2, 3, 5, 8, 65resqrexlemnmsq 11021 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 N ) ^
2 )  -  (
( F `  M
) ^ 2 ) )  <  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
10114, 40, 23, 100ltmul1dd 9750 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  N ) ^ 2 )  -  ( ( F `  M ) ^ 2 ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  <  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
10211, 25, 41, 99, 101lelttrd 8080 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
10340recnd 7984 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  /  (
4 ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
10419nnrpd 9692 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
105104, 37rpexpcld 10674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR+ )
106105rpcnd 9696 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
107 2cnd 8990 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
108103, 106, 107mulassd 7979 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  2 )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  x.  2 ) ) )
10930rpcnd 9696 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  e.  CC )
11038rpcnd 9696 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
11138rpap0d 9700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) #  0 )
112109, 110, 106, 111div32apd 8769 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
113 4d2e2 9077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  /  2 )  =  2
114113oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 4  /  2 ) ^ ( N  - 
1 ) )  =  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )
11534rpcnd 9696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
116104rpap0d 9700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2 #  0 )
117 nnm1nn0 9215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
1185, 117syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
119115, 107, 116, 118expdivapd 10664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 4  / 
2 ) ^ ( N  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
120114, 119eqtr3id 2224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
121120oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( ( 4 ^ ( N  - 
1 ) )  / 
( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
122105rpap0d 9700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) #  0 )
123110, 106, 111, 122recdivapd 8762 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( 4 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 2 ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
124121, 123eqtrd 2210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
125124oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  ( ( 2 ^ ( N  - 
1 ) )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
126112, 125eqtr4d 2213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
127126oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( F `  1
) ^ 2 )  /  ( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  2 )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )  x.  2 ) )
128108, 127eqtr3d 2212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )  x.  2 ) )
129106, 122recclapd 8736 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  CC )
130109, 129, 107mul32d 8108 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )  x.  2 )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
131128, 130eqtrd 2210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
132109, 107mulcld 7976 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 1 ) ^
2 )  x.  2 )  e.  CC )
133132, 106, 122divrecapd 8748 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
134131, 133eqtr4d 2213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( F `  1 ) ^ 2 )  / 
( 4 ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( 2 ^ ( N  -  1 ) )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
135102, 134breqtrd 4029 1  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  -  ( F `  M )
)  <  ( (
( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  x.  2 )  /  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   {csn 3592   class class class wbr 4003    X. cxp 4624   ` cfv 5216  (class class class)co 5874    e. cmpo 5876   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    + caddc 7813    x. cmul 7815    < clt 7990    <_ cle 7991    - cmin 8126    / cdiv 8627   NNcn 8917   2c2 8968   4c4 8970   NN0cn0 9174   ZZcz 9251   RR+crp 9651    seqcseq 10442   ^cexp 10516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-rp 9652  df-seqfrec 10443  df-exp 10517
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11023
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