Theorem resqrexlemnm 11784

Description: Lemma for resqrex 11792. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemnmsq.n	|- ( ph -> N e. NN )
resqrexlemnmsq.m	|- ( ph -> M e. NN )
resqrexlemnmsq.nm	|- ( ph -> N <_ M )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemnm	|- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z   y, M, z   y, N, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11773	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
6	4, 5	ffvelcdmd 5844	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR+ )
7	6	rpred 10097	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
8		resqrexlemnmsq.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
9	4, 8	ffvelcdmd 5844	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR+ )
10	9	rpred 10097	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
11	7, 10	resubcld 8708	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR )
12	7	resqcld 11137	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR )
13	10	resqcld 11137	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` M ) ^ 2 ) e. RR )
14	12, 13	resubcld 8708	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) e. RR )
15		2cn 9375	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16		expm1t 11004	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
17	15, 5, 16	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
18		2nn 9466	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. NN )
20	5	nnnn0d 9620	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN0 )
21	19, 20	nnexpcld 11133	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN )
22	21	nnrpd 10095	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
23	17, 22	eqeltrrd 2316	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. RR+ )
24	23	rpred 10097	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. RR )
25	14, 24	remulcld 8356	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
26		1nn 9315	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. NN )
28	4, 27	ffvelcdmd 5844	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
29	19	nnzd 9767	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
30	28, 29	rpexpcld 11135	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
31		4re 9381	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
32		4pos 9401	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
33	31, 32	elrpii 10057	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR+
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 e. RR+ )
35	5	nnzd 9767	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
36		peano2zm 9682	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ZZ )
38	34, 37	rpexpcld 11135	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) e. RR+ )
39	30, 38	rpdivcld 10115	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR+ )
40	39	rpred 10097	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR )
41	40, 24	remulcld 8356	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
42	6, 9	rpaddcld 10113	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. RR+ )
43	42, 23	rpmulcld 10114	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR+ )
44	43	rpred 10097	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
45	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> A e. RR )
46	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> 0 <_ A )
47	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N e. NN )
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> M e. NN )
49		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N < M )
50	1, 45, 46, 47, 48, 49	resqrexlemdecn 11778	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )
51	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` M ) e. RR )
52	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` N ) e. RR )
53		difrp 10093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` M ) e. RR /\ ( F ` N ) e. RR ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ ) )
54	51, 52, 53	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ ) )
55	50, 54	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ )
56	55	rpge0d 10101	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N < M ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
57	7	recnd 8354	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` N ) e. CC )
58	57	subidd 8625	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` N ) ) = 0 )
59		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 |- ( N = M -> ( F ` N ) = ( F ` M ) )
60	59	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 |- ( N = M -> ( ( F ` N ) - ( F ` N ) ) = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
61	58, 60	sylan9req 2292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = M ) -> 0 = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
62		0re 8326	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
63	62	eqlei 8419	. . . . . . 7 |- ( 0 = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
64	61, 63	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
65		resqrexlemnmsq.nm	. . . . . . 7 |- ( ph -> N <_ M )
66	8	nnzd 9767	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
67		zleloe 9691	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> ( N < M \/ N = M ) ) )
68	35, 66, 67	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N <_ M <-> ( N < M \/ N = M ) ) )
69	65, 68	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N < M \/ N = M ) )
70	56, 64, 69	mpjaodan 810	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
71		1red 8341	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
72	21	nnrecred 9351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
73	72	recnd 8354	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC )
74	73	addridd 8475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) + 0 ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
75		0red 8327	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
76	1, 2, 3	resqrexlemlo 11779	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )
77	5, 76	mpdan 425	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )
78	9	rpgt0d 10100	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( F ` M ) )
79	72, 75, 7, 10, 77, 78	lt2addd 8895	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) + 0 ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) )
80	74, 79	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) )
81	7, 10	readdcld 8355	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. RR )
82	71, 81, 22	ltdivmul2d 10150	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) <-> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) ) )
83	80, 82	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) )
84	17	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
85	83, 84	breqtrd 4156	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
86	71, 44, 85	ltled 8445	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
87	11, 44, 70, 86	lemulge11d 9267	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) <_ ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) )
88	11	recnd 8354	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. CC )
89	81	recnd 8354	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. CC )
90	23	rpcnd 10099	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. CC )
91	88, 89, 90	mulassd 8349	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) )
92	88, 89	mulcomd 8347	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
93	10	recnd 8354	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
94		subsq 11083	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` N ) e. CC /\ ( F ` M ) e. CC ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
95	57, 93, 94	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
96	92, 95	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) )
97	96	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
98	91, 97	eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
99	87, 98	breqtrd 4156	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
100	1, 2, 3, 5, 8, 65	resqrexlemnmsq 11783	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) < ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
101	14, 40, 23, 100	ltmul1dd 10153	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
102	11, 25, 41, 99, 101	lelttrd 8451	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
103	40	recnd 8354	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
104	19	nnrpd 10095	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
105	104, 37	rpexpcld 11135	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. RR+ )
106	105	rpcnd 10099	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
107		2cnd 9377	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. CC )
108	103, 106, 107	mulassd 8349	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
109	30	rpcnd 10099	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
110	38	rpcnd 10099	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
111	38	rpap0d 10103	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) # 0 )
112	109, 110, 106, 111	div32apd 9144	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
113		4d2e2 9465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 / 2 ) = 2
114	113	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 / 2 ) ^ ( N - 1 ) ) = ( 2 ^ ( N - 1 ) )
115	34	rpcnd 10099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 4 e. CC )
116	104	rpap0d 10103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 # 0 )
117		nnm1nn0 9604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
118	5, 117	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
119	115, 107, 116, 118	expdivapd 11125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 4 / 2 ) ^ ( N - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
120	114, 119	eqtr3id 2285	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
121	120	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
122	105	rpap0d 10103	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) # 0 )
123	110, 106, 111, 122	recdivapd 9137	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
124	121, 123	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
125	124	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
126	112, 125	eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
127	126	oveq1d 6100	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
128	108, 127	eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
129	106, 122	recclapd 9111	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
130	109, 129, 107	mul32d 8479	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
131	128, 130	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
132	109, 107	mulcld 8346	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. CC )
133	132, 106, 122	divrecapd 9123	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
134	131, 133	eqtr4d 2274	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
135	102, 134	breqtrd 4156	1 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   e. cmpo 6087   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   / cdiv 9002   NNcn 9304   2c2 9355   4c4 9357   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   RR+crp 10054   seqcseq 10884   ^cexp 10975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976

This theorem is used by:  resqrexlemcvg  11785