Theorem resqrexlemnm 10682

Description: Lemma for resqrex 10690. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemnmsq.n	|- ( ph -> N e. NN )
resqrexlemnmsq.m	|- ( ph -> M e. NN )
resqrexlemnmsq.nm	|- ( ph -> N <_ M )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemnm	|- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z   y, M, z   y, N, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 10671	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
6	4, 5	ffvelrnd 5510	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR+ )
7	6	rpred 9382	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
8		resqrexlemnmsq.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
9	4, 8	ffvelrnd 5510	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR+ )
10	9	rpred 9382	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
11	7, 10	resubcld 8062	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR )
12	7	resqcld 10343	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR )
13	10	resqcld 10343	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` M ) ^ 2 ) e. RR )
14	12, 13	resubcld 8062	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) e. RR )
15		2cn 8701	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16		expm1t 10214	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
17	15, 5, 16	sylancr 408	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
18		2nn 8785	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. NN )
20	5	nnnn0d 8934	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN0 )
21	19, 20	nnexpcld 10339	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN )
22	21	nnrpd 9381	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
23	17, 22	eqeltrrd 2192	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. RR+ )
24	23	rpred 9382	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. RR )
25	14, 24	remulcld 7720	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
26		1nn 8641	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. NN )
28	4, 27	ffvelrnd 5510	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
29	19	nnzd 9076	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
30	28, 29	rpexpcld 10341	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
31		4re 8707	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
32		4pos 8727	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
33	31, 32	elrpii 9346	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR+
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 e. RR+ )
35	5	nnzd 9076	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
36		peano2zm 8996	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ZZ )
38	34, 37	rpexpcld 10341	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) e. RR+ )
39	30, 38	rpdivcld 9400	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR+ )
40	39	rpred 9382	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR )
41	40, 24	remulcld 7720	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
42	6, 9	rpaddcld 9398	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. RR+ )
43	42, 23	rpmulcld 9399	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR+ )
44	43	rpred 9382	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
45	2	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> A e. RR )
46	3	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> 0 <_ A )
47	5	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N e. NN )
48	8	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> M e. NN )
49		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N < M )
50	1, 45, 46, 47, 48, 49	resqrexlemdecn 10676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )
51	10	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` M ) e. RR )
52	7	adantr 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` N ) e. RR )
53		difrp 9379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` M ) e. RR /\ ( F ` N ) e. RR ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ ) )
54	51, 52, 53	syl2anc 406	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ ) )
55	50, 54	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ )
56	55	rpge0d 9386	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N < M ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
57	7	recnd 7718	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` N ) e. CC )
58	57	subidd 7984	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` N ) ) = 0 )
59		fveq2 5375	. . . . . . . . 9 |- ( N = M -> ( F ` N ) = ( F ` M ) )
60	59	oveq2d 5744	. . . . . . . 8 |- ( N = M -> ( ( F ` N ) - ( F ` N ) ) = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
61	58, 60	sylan9req 2168	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = M ) -> 0 = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
62		0re 7690	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
63	62	eqlei 7780	. . . . . . 7 |- ( 0 = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
64	61, 63	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
65		resqrexlemnmsq.nm	. . . . . . 7 |- ( ph -> N <_ M )
66	8	nnzd 9076	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
67		zleloe 9005	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> ( N < M \/ N = M ) ) )
68	35, 66, 67	syl2anc 406	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N <_ M <-> ( N < M \/ N = M ) ) )
69	65, 68	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N < M \/ N = M ) )
70	56, 64, 69	mpjaodan 770	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
71		1red 7705	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
72	21	nnrecred 8677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
73	72	recnd 7718	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC )
74	73	addid1d 7834	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) + 0 ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
75		0red 7691	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
76	1, 2, 3	resqrexlemlo 10677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )
77	5, 76	mpdan 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )
78	9	rpgt0d 9385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( F ` M ) )
79	72, 75, 7, 10, 77, 78	lt2addd 8247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) + 0 ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) )
80	74, 79	eqbrtrrd 3917	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) )
81	7, 10	readdcld 7719	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. RR )
82	71, 81, 22	ltdivmul2d 9435	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) <-> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) ) )
83	80, 82	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) )
84	17	oveq2d 5744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
85	83, 84	breqtrd 3919	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
86	71, 44, 85	ltled 7804	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
87	11, 44, 70, 86	lemulge11d 8605	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) <_ ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) )
88	11	recnd 7718	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. CC )
89	81	recnd 7718	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. CC )
90	23	rpcnd 9384	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. CC )
91	88, 89, 90	mulassd 7713	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) )
92	88, 89	mulcomd 7711	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
93	10	recnd 7718	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
94		subsq 10292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` N ) e. CC /\ ( F ` M ) e. CC ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
95	57, 93, 94	syl2anc 406	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
96	92, 95	eqtr4d 2150	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) )
97	96	oveq1d 5743	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
98	91, 97	eqtr3d 2149	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
99	87, 98	breqtrd 3919	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
100	1, 2, 3, 5, 8, 65	resqrexlemnmsq 10681	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) < ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
101	14, 40, 23, 100	ltmul1dd 9438	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
102	11, 25, 41, 99, 101	lelttrd 7810	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
103	40	recnd 7718	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
104	19	nnrpd 9381	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
105	104, 37	rpexpcld 10341	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. RR+ )
106	105	rpcnd 9384	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
107		2cnd 8703	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. CC )
108	103, 106, 107	mulassd 7713	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
109	30	rpcnd 9384	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
110	38	rpcnd 9384	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
111	38	rpap0d 9388	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) # 0 )
112	109, 110, 106, 111	div32apd 8487	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
113		4d2e2 8784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 / 2 ) = 2
114	113	oveq1i 5738	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 / 2 ) ^ ( N - 1 ) ) = ( 2 ^ ( N - 1 ) )
115	34	rpcnd 9384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 4 e. CC )
116	104	rpap0d 9388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 # 0 )
117		nnm1nn0 8922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
118	5, 117	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
119	115, 107, 116, 118	expdivapd 10331	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 4 / 2 ) ^ ( N - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
120	114, 119	syl5eqr 2161	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
121	120	oveq2d 5744	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
122	105	rpap0d 9388	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) # 0 )
123	110, 106, 111, 122	recdivapd 8480	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
124	121, 123	eqtrd 2147	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
125	124	oveq2d 5744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
126	112, 125	eqtr4d 2150	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
127	126	oveq1d 5743	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
128	108, 127	eqtr3d 2149	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
129	106, 122	recclapd 8454	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
130	109, 129, 107	mul32d 7838	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
131	128, 130	eqtrd 2147	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
132	109, 107	mulcld 7710	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. CC )
133	132, 106, 122	divrecapd 8466	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
134	131, 133	eqtr4d 2150	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
135	102, 134	breqtrd 3919	1 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680   = wceq 1314   e. wcel 1463   {csn 3493   class class class wbr 3895   X. cxp 4497   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   e. cmpo 5730   CCcc 7545   RRcr 7546   0cc0 7547   1c1 7548   + caddc 7550   x. cmul 7552   < clt 7724   <_ cle 7725   - cmin 7856   / cdiv 8345   NNcn 8630   2c2 8681   4c4 8683   NN0cn0 8881   ZZcz 8958   RR+crp 9343   seqcseq 10111   ^cexp 10185

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-rp 9344  df-seqfrec 10112  df-exp 10186

This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  10683