Theorem resqrexlemnm 11728

Description: Lemma for resqrex 11736. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemnmsq.n	|- ( ph -> N e. NN )
resqrexlemnmsq.m	|- ( ph -> M e. NN )
resqrexlemnmsq.nm	|- ( ph -> N <_ M )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemnm	|- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z   y, M, z   y, N, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11717	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
6	4, 5	ffvelcdmd 5818	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR+ )
7	6	rpred 10047	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
8		resqrexlemnmsq.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
9	4, 8	ffvelcdmd 5818	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR+ )
10	9	rpred 10047	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
11	7, 10	resubcld 8671	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR )
12	7	resqcld 11086	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR )
13	10	resqcld 11086	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` M ) ^ 2 ) e. RR )
14	12, 13	resubcld 8671	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) e. RR )
15		2cn 9325	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16		expm1t 10953	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
17	15, 5, 16	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
18		2nn 9416	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. NN )
20	5	nnnn0d 9570	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN0 )
21	19, 20	nnexpcld 11082	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN )
22	21	nnrpd 10045	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
23	17, 22	eqeltrrd 2312	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. RR+ )
24	23	rpred 10047	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. RR )
25	14, 24	remulcld 8320	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
26		1nn 9265	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. NN )
28	4, 27	ffvelcdmd 5818	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
29	19	nnzd 9717	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
30	28, 29	rpexpcld 11084	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
31		4re 9331	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
32		4pos 9351	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
33	31, 32	elrpii 10007	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR+
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 e. RR+ )
35	5	nnzd 9717	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
36		peano2zm 9632	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ZZ )
38	34, 37	rpexpcld 11084	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) e. RR+ )
39	30, 38	rpdivcld 10065	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR+ )
40	39	rpred 10047	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR )
41	40, 24	remulcld 8320	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
42	6, 9	rpaddcld 10063	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. RR+ )
43	42, 23	rpmulcld 10064	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR+ )
44	43	rpred 10047	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
45	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> A e. RR )
46	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> 0 <_ A )
47	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N e. NN )
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> M e. NN )
49		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N < M )
50	1, 45, 46, 47, 48, 49	resqrexlemdecn 11722	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )
51	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` M ) e. RR )
52	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` N ) e. RR )
53		difrp 10043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` M ) e. RR /\ ( F ` N ) e. RR ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ ) )
54	51, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ ) )
55	50, 54	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ )
56	55	rpge0d 10051	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N < M ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
57	7	recnd 8318	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` N ) e. CC )
58	57	subidd 8588	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` N ) ) = 0 )
59		fveq2 5675	. . . . . . . . 9 |- ( N = M -> ( F ` N ) = ( F ` M ) )
60	59	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 |- ( N = M -> ( ( F ` N ) - ( F ` N ) ) = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
61	58, 60	sylan9req 2288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = M ) -> 0 = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
62		0re 8290	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
63	62	eqlei 8383	. . . . . . 7 |- ( 0 = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
64	61, 63	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
65		resqrexlemnmsq.nm	. . . . . . 7 |- ( ph -> N <_ M )
66	8	nnzd 9717	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
67		zleloe 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> ( N < M \/ N = M ) ) )
68	35, 66, 67	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N <_ M <-> ( N < M \/ N = M ) ) )
69	65, 68	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N < M \/ N = M ) )
70	56, 64, 69	mpjaodan 806	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
71		1red 8305	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
72	21	nnrecred 9301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
73	72	recnd 8318	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC )
74	73	addridd 8438	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) + 0 ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
75		0red 8291	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
76	1, 2, 3	resqrexlemlo 11723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )
77	5, 76	mpdan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )
78	9	rpgt0d 10050	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( F ` M ) )
79	72, 75, 7, 10, 77, 78	lt2addd 8858	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) + 0 ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) )
80	74, 79	eqbrtrrd 4138	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) )
81	7, 10	readdcld 8319	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. RR )
82	71, 81, 22	ltdivmul2d 10100	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) <-> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) ) )
83	80, 82	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) )
84	17	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
85	83, 84	breqtrd 4140	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
86	71, 44, 85	ltled 8408	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
87	11, 44, 70, 86	lemulge11d 9228	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) <_ ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) )
88	11	recnd 8318	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. CC )
89	81	recnd 8318	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. CC )
90	23	rpcnd 10049	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. CC )
91	88, 89, 90	mulassd 8313	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) )
92	88, 89	mulcomd 8311	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
93	10	recnd 8318	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
94		subsq 11032	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` N ) e. CC /\ ( F ` M ) e. CC ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
95	57, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
96	92, 95	eqtr4d 2270	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) )
97	96	oveq1d 6073	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
98	91, 97	eqtr3d 2269	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
99	87, 98	breqtrd 4140	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
100	1, 2, 3, 5, 8, 65	resqrexlemnmsq 11727	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) < ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
101	14, 40, 23, 100	ltmul1dd 10103	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
102	11, 25, 41, 99, 101	lelttrd 8414	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
103	40	recnd 8318	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
104	19	nnrpd 10045	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
105	104, 37	rpexpcld 11084	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. RR+ )
106	105	rpcnd 10049	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
107		2cnd 9327	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. CC )
108	103, 106, 107	mulassd 8313	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
109	30	rpcnd 10049	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
110	38	rpcnd 10049	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
111	38	rpap0d 10053	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) # 0 )
112	109, 110, 106, 111	div32apd 9105	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
113		4d2e2 9415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 / 2 ) = 2
114	113	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 / 2 ) ^ ( N - 1 ) ) = ( 2 ^ ( N - 1 ) )
115	34	rpcnd 10049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 4 e. CC )
116	104	rpap0d 10053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 # 0 )
117		nnm1nn0 9554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
118	5, 117	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
119	115, 107, 116, 118	expdivapd 11074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 4 / 2 ) ^ ( N - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
120	114, 119	eqtr3id 2281	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
121	120	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
122	105	rpap0d 10053	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) # 0 )
123	110, 106, 111, 122	recdivapd 9098	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
124	121, 123	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
125	124	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
126	112, 125	eqtr4d 2270	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
127	126	oveq1d 6073	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
128	108, 127	eqtr3d 2269	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
129	106, 122	recclapd 9072	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
130	109, 129, 107	mul32d 8442	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
131	128, 130	eqtrd 2267	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
132	109, 107	mulcld 8310	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. CC )
133	132, 106, 122	divrecapd 9084	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
134	131, 133	eqtr4d 2270	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
135	102, 134	breqtrd 4140	1 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   {csn 3694   class class class wbr 4114   X. cxp 4752   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   4c4 9307   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   RR+crp 10004   seqcseq 10833   ^cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11729