Theorem resqrexlemnm 11529

Description: Lemma for resqrex 11537. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemnmsq.n	|- ( ph -> N e. NN )
resqrexlemnmsq.m	|- ( ph -> M e. NN )
resqrexlemnmsq.nm	|- ( ph -> N <_ M )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemnm	|- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z   y, M, z   y, N, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11518	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
6	4, 5	ffvelcdmd 5771	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR+ )
7	6	rpred 9892	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
8		resqrexlemnmsq.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
9	4, 8	ffvelcdmd 5771	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR+ )
10	9	rpred 9892	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
11	7, 10	resubcld 8527	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR )
12	7	resqcld 10921	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` N ) ^ 2 ) e. RR )
13	10	resqcld 10921	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` M ) ^ 2 ) e. RR )
14	12, 13	resubcld 8527	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) e. RR )
15		2cn 9181	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16		expm1t 10789	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN ) -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
17	15, 5, 16	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) )
18		2nn 9272	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. NN )
20	5	nnnn0d 9422	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN0 )
21	19, 20	nnexpcld 10917	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN )
22	21	nnrpd 9890	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
23	17, 22	eqeltrrd 2307	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. RR+ )
24	23	rpred 9892	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. RR )
25	14, 24	remulcld 8177	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
26		1nn 9121	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. NN )
28	4, 27	ffvelcdmd 5771	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
29	19	nnzd 9568	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
30	28, 29	rpexpcld 10919	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. RR+ )
31		4re 9187	. . . . . . . . 9 |- 4 e. RR
32		4pos 9207	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
33	31, 32	elrpii 9852	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR+
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 e. RR+ )
35	5	nnzd 9568	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
36		peano2zm 9484	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. ZZ )
38	34, 37	rpexpcld 10919	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) e. RR+ )
39	30, 38	rpdivcld 9910	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR+ )
40	39	rpred 9892	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. RR )
41	40, 24	remulcld 8177	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
42	6, 9	rpaddcld 9908	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. RR+ )
43	42, 23	rpmulcld 9909	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR+ )
44	43	rpred 9892	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) e. RR )
45	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> A e. RR )
46	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> 0 <_ A )
47	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N e. NN )
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> M e. NN )
49		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> N < M )
50	1, 45, 46, 47, 48, 49	resqrexlemdecn 11523	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` M ) < ( F ` N ) )
51	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` M ) e. RR )
52	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( F ` N ) e. RR )
53		difrp 9888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` M ) e. RR /\ ( F ` N ) e. RR ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ ) )
54	51, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( ( F ` M ) < ( F ` N ) <-> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ ) )
55	50, 54	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N < M ) -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. RR+ )
56	55	rpge0d 9896	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N < M ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
57	7	recnd 8175	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` N ) e. CC )
58	57	subidd 8445	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` N ) ) = 0 )
59		fveq2 5627	. . . . . . . . 9 |- ( N = M -> ( F ` N ) = ( F ` M ) )
60	59	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 |- ( N = M -> ( ( F ` N ) - ( F ` N ) ) = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
61	58, 60	sylan9req 2283	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = M ) -> 0 = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
62		0re 8146	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
63	62	eqlei 8240	. . . . . . 7 |- ( 0 = ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
64	61, 63	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = M ) -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
65		resqrexlemnmsq.nm	. . . . . . 7 |- ( ph -> N <_ M )
66	8	nnzd 9568	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
67		zleloe 9493	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> ( N < M \/ N = M ) ) )
68	35, 66, 67	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N <_ M <-> ( N < M \/ N = M ) ) )
69	65, 68	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N < M \/ N = M ) )
70	56, 64, 69	mpjaodan 803	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) )
71		1red 8161	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. RR )
72	21	nnrecred 9157	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
73	72	recnd 8175	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) e. CC )
74	73	addridd 8295	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) + 0 ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
75		0red 8147	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
76	1, 2, 3	resqrexlemlo 11524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )
77	5, 76	mpdan 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )
78	9	rpgt0d 9895	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( F ` M ) )
79	72, 75, 7, 10, 77, 78	lt2addd 8714	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) + 0 ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) )
80	74, 79	eqbrtrrd 4107	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) )
81	7, 10	readdcld 8176	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. RR )
82	71, 81, 22	ltdivmul2d 9945	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) <-> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) ) )
83	80, 82	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) )
84	17	oveq2d 6017	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( 2 ^ N ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
85	83, 84	breqtrd 4109	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 < ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
86	71, 44, 85	ltled 8265	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
87	11, 44, 70, 86	lemulge11d 9084	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) <_ ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) )
88	11	recnd 8175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) e. CC )
89	81	recnd 8175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) e. CC )
90	23	rpcnd 9894	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) e. CC )
91	88, 89, 90	mulassd 8170	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) )
92	88, 89	mulcomd 8168	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
93	10	recnd 8175	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
94		subsq 10868	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` N ) e. CC /\ ( F ` M ) e. CC ) -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
95	57, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) ) )
96	92, 95	eqtr4d 2265	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) = ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) )
97	96	oveq1d 6016	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
98	91, 97	eqtr3d 2264	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) x. ( ( ( F ` N ) + ( F ` M ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) ) = ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
99	87, 98	breqtrd 4109	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) <_ ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
100	1, 2, 3, 5, 8, 65	resqrexlemnmsq 11528	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) < ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
101	14, 40, 23, 100	ltmul1dd 9948	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` N ) ^ 2 ) - ( ( F ` M ) ^ 2 ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
102	11, 25, 41, 99, 101	lelttrd 8271	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
103	40	recnd 8175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
104	19	nnrpd 9890	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
105	104, 37	rpexpcld 10919	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. RR+ )
106	105	rpcnd 9894	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
107		2cnd 9183	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. CC )
108	103, 106, 107	mulassd 8170	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) )
109	30	rpcnd 9894	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) e. CC )
110	38	rpcnd 9894	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) e. CC )
111	38	rpap0d 9898	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 4 ^ ( N - 1 ) ) # 0 )
112	109, 110, 106, 111	div32apd 8961	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
113		4d2e2 9271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 / 2 ) = 2
114	113	oveq1i 6011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 / 2 ) ^ ( N - 1 ) ) = ( 2 ^ ( N - 1 ) )
115	34	rpcnd 9894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 4 e. CC )
116	104	rpap0d 9898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 # 0 )
117		nnm1nn0 9410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
118	5, 117	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N - 1 ) e. NN0 )
119	115, 107, 116, 118	expdivapd 10909	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 4 / 2 ) ^ ( N - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
120	114, 119	eqtr3id 2276	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) = ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
121	120	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
122	105	rpap0d 9898	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N - 1 ) ) # 0 )
123	110, 106, 111, 122	recdivapd 8954	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / ( ( 4 ^ ( N - 1 ) ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
124	121, 123	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) )
125	124	oveq2d 6017	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
126	112, 125	eqtr4d 2265	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
127	126	oveq1d 6016	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
128	108, 127	eqtr3d 2264	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) )
129	106, 122	recclapd 8928	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) e. CC )
130	109, 129, 107	mul32d 8299	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) x. 2 ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
131	128, 130	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
132	109, 107	mulcld 8167	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) e. CC )
133	132, 106, 122	divrecapd 8940	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) x. ( 1 / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
134	131, 133	eqtr4d 2265	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) / ( 4 ^ ( N - 1 ) ) ) x. ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) x. 2 ) ) = ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )
135	102, 134	breqtrd 4109	1 |- ( ph -> ( ( F ` N ) - ( F ` M ) ) < ( ( ( ( F ` 1 ) ^ 2 ) x. 2 ) / ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   {csn 3666   class class class wbr 4083   X. cxp 4717   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   / cdiv 8819   NNcn 9110   2c2 9161   4c4 9163   NN0cn0 9369   ZZcz 9446   RR+crp 9849   seqcseq 10669   ^cexp 10760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-rp 9850  df-seqfrec 10670  df-exp 10761

This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11530