Theorem pigt3 15020

Description: pi is greater than 3. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pigt3	|- 3 < pi

Proof of Theorem pigt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincos6thpi 15018	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 6 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) )
2	1	simpli 111	. . . 4 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 )
3		ax-1cn 7967	. . . . 5 |- 1 e. CC
4		2cn 9055	. . . . . 6 |- 2 e. CC
5		2ap0 9077	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	4, 5	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
7		3cn 9059	. . . . . 6 |- 3 e. CC
8		3ap0 9080	. . . . . 6 |- 3 # 0
9	7, 8	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
10		divcanap5 8735	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) ) -> ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
11	3, 6, 9, 10	mp3an 1348	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 )
12		3t1e3 9140	. . . . 5 |- ( 3 x. 1 ) = 3
13		3t2e6 9141	. . . . 5 |- ( 3 x. 2 ) = 6
14	12, 13	oveq12i 5931	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 3 / 6 )
15	2, 11, 14	3eqtr2i 2220	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 3 / 6 )
16		pire 14962	. . . . . . 7 |- pi e. RR
17		6nn 9150	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
18		nndivre 9020	. . . . . . 7 |- ( ( pi e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( pi / 6 ) e. RR )
19	16, 17, 18	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) e. RR
20		6re 9065	. . . . . . 7 |- 6 e. RR
21		pipos 14964	. . . . . . 7 |- 0 < pi
22		6pos 9085	. . . . . . 7 |- 0 < 6
23	16, 20, 21, 22	divgt0ii 8940	. . . . . 6 |- 0 < ( pi / 6 )
24		1re 8020	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
25		pigt2lt4 14960	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
26	25	simpri 113	. . . . . . . . 9 |- pi < 4
27		4re 9061	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
28	16, 27, 20, 22	ltdiv1ii 8950	. . . . . . . . 9 |- ( pi < 4 <-> ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) )
29	26, 28	mpbi 145	. . . . . . . 8 |- ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 )
30		4lt6 9165	. . . . . . . . 9 |- 4 < 6
31	20, 22	elrpii 9725	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR+
32		divlt1lt 9793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. RR+ ) -> ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 ) )
33	27, 31, 32	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 )
34	30, 33	mpbir 146	. . . . . . . 8 |- ( 4 / 6 ) < 1
35		nndivre 9020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( 4 / 6 ) e. RR )
36	27, 17, 35	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 6 ) e. RR
37	19, 36, 24	lttri 8126	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) /\ ( 4 / 6 ) < 1 ) -> ( pi / 6 ) < 1 )
38	29, 34, 37	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( pi / 6 ) < 1
39	19, 24, 38	ltleii 8124	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) <_ 1
40		0xr 8068	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
41		elioc2 10005	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) ) )
42	40, 24, 41	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) )
43	19, 23, 39, 42	mpbir3an 1181	. . . . 5 |- ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 )
44		sin01bnd 11903	. . . . 5 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) )
46	45	simpri 113	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 )
47	15, 46	eqbrtrri 4053	. 2 |- ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 )
48		3re 9058	. . 3 |- 3 e. RR
49	48, 16, 20, 22	ltdiv1ii 8950	. 2 |- ( 3 < pi <-> ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 ) )
50	47, 49	mpbir 146	1 |- 3 < pi

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   x. cmul 7879   RR*cxr 8055   < clt 8056   <_ cle 8057   - cmin 8192   # cap 8602   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   3c3 9036   4c4 9037   6c6 9039   RR+crp 9722   (,]cioc 9958   ^cexp 10612   sqrcsqrt 11143   sincsin 11790   cosccos 11791   picpi 11793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-pre-suploc 7995  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-pm 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-ioc 9962  df-ico 9963  df-icc 9964  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-bc 10822  df-ihash 10850  df-shft 10962  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ef 11794  df-sin 11796  df-cos 11797  df-pi 11799  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-ntr 14275  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-cncf 14750  df-limced 14835  df-dvap 14836

This theorem is referenced by:  pige3  15021