Theorem pigt3 15868

Description: pi is greater than 3. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pigt3	|- 3 < pi

Proof of Theorem pigt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincos6thpi 15866	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 6 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) )
2	1	simpli 111	. . . 4 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 )
3		ax-1cn 8262	. . . . 5 |- 1 e. CC
4		2cn 9354	. . . . . 6 |- 2 e. CC
5		2ap0 9376	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	4, 5	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
7		3cn 9358	. . . . . 6 |- 3 e. CC
8		3ap0 9379	. . . . . 6 |- 3 # 0
9	7, 8	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
10		divcanap5 9034	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) ) -> ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
11	3, 6, 9, 10	mp3an 1378	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 )
12		3t1e3 9439	. . . . 5 |- ( 3 x. 1 ) = 3
13		3t2e6 9440	. . . . 5 |- ( 3 x. 2 ) = 6
14	12, 13	oveq12i 6087	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 3 / 6 )
15	2, 11, 14	3eqtr2i 2265	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 3 / 6 )
16		pire 15810	. . . . . . 7 |- pi e. RR
17		6nn 9449	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
18		nndivre 9319	. . . . . . 7 |- ( ( pi e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( pi / 6 ) e. RR )
19	16, 17, 18	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) e. RR
20		6re 9364	. . . . . . 7 |- 6 e. RR
21		pipos 15812	. . . . . . 7 |- 0 < pi
22		6pos 9384	. . . . . . 7 |- 0 < 6
23	16, 20, 21, 22	divgt0ii 9239	. . . . . 6 |- 0 < ( pi / 6 )
24		1re 8315	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
25		pigt2lt4 15808	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
26	25	simpri 113	. . . . . . . . 9 |- pi < 4
27		4re 9360	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
28	16, 27, 20, 22	ltdiv1ii 9249	. . . . . . . . 9 |- ( pi < 4 <-> ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) )
29	26, 28	mpbi 145	. . . . . . . 8 |- ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 )
30		4lt6 9464	. . . . . . . . 9 |- 4 < 6
31	20, 22	elrpii 10036	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR+
32		divlt1lt 10104	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. RR+ ) -> ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 ) )
33	27, 31, 32	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 )
34	30, 33	mpbir 146	. . . . . . . 8 |- ( 4 / 6 ) < 1
35		nndivre 9319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( 4 / 6 ) e. RR )
36	27, 17, 35	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 6 ) e. RR
37	19, 36, 24	lttri 8420	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) /\ ( 4 / 6 ) < 1 ) -> ( pi / 6 ) < 1 )
38	29, 34, 37	mp2an 430	. . . . . . 7 |- ( pi / 6 ) < 1
39	19, 24, 38	ltleii 8418	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) <_ 1
40		0xr 8362	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
41		elioc2 10317	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) ) )
42	40, 24, 41	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) )
43	19, 23, 39, 42	mpbir3an 1210	. . . . 5 |- ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 )
44		sin01bnd 12502	. . . . 5 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) )
46	45	simpri 113	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 )
47	15, 46	eqbrtrri 4148	. 2 |- ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 )
48		3re 9357	. . 3 |- 3 e. RR
49	48, 16, 20, 22	ltdiv1ii 9249	. 2 |- ( 3 < pi <-> ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 ) )
50	47, 49	mpbir 146	1 |- 3 < pi

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   3c3 9335   4c4 9336   6c6 9338   RR+crp 10033   (,]cioc 10270   ^cexp 10953   sqrcsqrt 11740   sincsin 12389   cosccos 12390   picpi 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-pre-suploc 8290  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-pm 6915  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ioo 10273  df-ioc 10274  df-ico 10275  df-icc 10276  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396  df-pi 12398  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  pige3  15869