Theorem pigt3 14561

Description: pi is greater than 3. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pigt3	|- 3 < pi

Proof of Theorem pigt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincos6thpi 14559	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 6 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) )
2	1	simpli 111	. . . 4 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 )
3		ax-1cn 7918	. . . . 5 |- 1 e. CC
4		2cn 9004	. . . . . 6 |- 2 e. CC
5		2ap0 9026	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	4, 5	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
7		3cn 9008	. . . . . 6 |- 3 e. CC
8		3ap0 9029	. . . . . 6 |- 3 # 0
9	7, 8	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
10		divcanap5 8685	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) ) -> ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
11	3, 6, 9, 10	mp3an 1347	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 )
12		3t1e3 9088	. . . . 5 |- ( 3 x. 1 ) = 3
13		3t2e6 9089	. . . . 5 |- ( 3 x. 2 ) = 6
14	12, 13	oveq12i 5900	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 3 / 6 )
15	2, 11, 14	3eqtr2i 2214	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 3 / 6 )
16		pire 14503	. . . . . . 7 |- pi e. RR
17		6nn 9098	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
18		nndivre 8969	. . . . . . 7 |- ( ( pi e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( pi / 6 ) e. RR )
19	16, 17, 18	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) e. RR
20		6re 9014	. . . . . . 7 |- 6 e. RR
21		pipos 14505	. . . . . . 7 |- 0 < pi
22		6pos 9034	. . . . . . 7 |- 0 < 6
23	16, 20, 21, 22	divgt0ii 8890	. . . . . 6 |- 0 < ( pi / 6 )
24		1re 7970	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
25		pigt2lt4 14501	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
26	25	simpri 113	. . . . . . . . 9 |- pi < 4
27		4re 9010	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
28	16, 27, 20, 22	ltdiv1ii 8900	. . . . . . . . 9 |- ( pi < 4 <-> ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) )
29	26, 28	mpbi 145	. . . . . . . 8 |- ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 )
30		4lt6 9113	. . . . . . . . 9 |- 4 < 6
31	20, 22	elrpii 9670	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR+
32		divlt1lt 9738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. RR+ ) -> ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 ) )
33	27, 31, 32	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 )
34	30, 33	mpbir 146	. . . . . . . 8 |- ( 4 / 6 ) < 1
35		nndivre 8969	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( 4 / 6 ) e. RR )
36	27, 17, 35	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 6 ) e. RR
37	19, 36, 24	lttri 8076	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) /\ ( 4 / 6 ) < 1 ) -> ( pi / 6 ) < 1 )
38	29, 34, 37	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( pi / 6 ) < 1
39	19, 24, 38	ltleii 8074	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) <_ 1
40		0xr 8018	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
41		elioc2 9950	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) ) )
42	40, 24, 41	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) )
43	19, 23, 39, 42	mpbir3an 1180	. . . . 5 |- ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 )
44		sin01bnd 11779	. . . . 5 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) )
46	45	simpri 113	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 )
47	15, 46	eqbrtrri 4038	. 2 |- ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 )
48		3re 9007	. . 3 |- 3 e. RR
49	48, 16, 20, 22	ltdiv1ii 8900	. 2 |- ( 3 < pi <-> ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 ) )
50	47, 49	mpbir 146	1 |- 3 < pi

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   0cc0 7825   1c1 7826   x. cmul 7830   RR*cxr 8005   < clt 8006   <_ cle 8007   - cmin 8142   # cap 8552   / cdiv 8643   NNcn 8933   2c2 8984   3c3 8985   4c4 8986   6c6 8988   RR+crp 9667   (,]cioc 9903   ^cexp 10533   sqrcsqrt 11019   sincsin 11666   cosccos 11667   picpi 11669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945  ax-pre-suploc 7946  ax-addf 7947  ax-mulf 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-of 6097  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-map 6664  df-pm 6665  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-ioo 9906  df-ioc 9907  df-ico 9908  df-icc 9909  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-bc 10742  df-ihash 10770  df-shft 10838  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376  df-ef 11670  df-sin 11672  df-cos 11673  df-pi 11675  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-psmet 13729  df-xmet 13730  df-met 13731  df-bl 13732  df-mopn 13733  df-top 13794  df-topon 13807  df-bases 13839  df-ntr 13892  df-cn 13984  df-cnp 13985  df-tx 14049  df-cncf 14354  df-limced 14421  df-dvap 14422

This theorem is referenced by:  pige3  14562