Theorem pigt3 12973

Description: pi is greater than 3. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pigt3	|- 3 < pi

Proof of Theorem pigt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincos6thpi 12971	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 6 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) )
2	1	simpli 110	. . . 4 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 )
3		ax-1cn 7737	. . . . 5 |- 1 e. CC
4		2cn 8815	. . . . . 6 |- 2 e. CC
5		2ap0 8837	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	4, 5	pm3.2i 270	. . . . 5 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
7		3cn 8819	. . . . . 6 |- 3 e. CC
8		3ap0 8840	. . . . . 6 |- 3 # 0
9	7, 8	pm3.2i 270	. . . . 5 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
10		divcanap5 8498	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) ) -> ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
11	3, 6, 9, 10	mp3an 1316	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 )
12		3t1e3 8899	. . . . 5 |- ( 3 x. 1 ) = 3
13		3t2e6 8900	. . . . 5 |- ( 3 x. 2 ) = 6
14	12, 13	oveq12i 5794	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 3 / 6 )
15	2, 11, 14	3eqtr2i 2167	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 3 / 6 )
16		pire 12915	. . . . . . 7 |- pi e. RR
17		6nn 8909	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
18		nndivre 8780	. . . . . . 7 |- ( ( pi e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( pi / 6 ) e. RR )
19	16, 17, 18	mp2an 423	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) e. RR
20		6re 8825	. . . . . . 7 |- 6 e. RR
21		pipos 12917	. . . . . . 7 |- 0 < pi
22		6pos 8845	. . . . . . 7 |- 0 < 6
23	16, 20, 21, 22	divgt0ii 8701	. . . . . 6 |- 0 < ( pi / 6 )
24		1re 7789	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
25		pigt2lt4 12913	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
26	25	simpri 112	. . . . . . . . 9 |- pi < 4
27		4re 8821	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
28	16, 27, 20, 22	ltdiv1ii 8711	. . . . . . . . 9 |- ( pi < 4 <-> ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) )
29	26, 28	mpbi 144	. . . . . . . 8 |- ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 )
30		4lt6 8924	. . . . . . . . 9 |- 4 < 6
31	20, 22	elrpii 9473	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR+
32		divlt1lt 9541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. RR+ ) -> ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 ) )
33	27, 31, 32	mp2an 423	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 )
34	30, 33	mpbir 145	. . . . . . . 8 |- ( 4 / 6 ) < 1
35		nndivre 8780	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( 4 / 6 ) e. RR )
36	27, 17, 35	mp2an 423	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 6 ) e. RR
37	19, 36, 24	lttri 7892	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) /\ ( 4 / 6 ) < 1 ) -> ( pi / 6 ) < 1 )
38	29, 34, 37	mp2an 423	. . . . . . 7 |- ( pi / 6 ) < 1
39	19, 24, 38	ltleii 7890	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) <_ 1
40		0xr 7836	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
41		elioc2 9749	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) ) )
42	40, 24, 41	mp2an 423	. . . . . 6 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) )
43	19, 23, 39, 42	mpbir3an 1164	. . . . 5 |- ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 )
44		sin01bnd 11500	. . . . 5 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) )
46	45	simpri 112	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 )
47	15, 46	eqbrtrri 3959	. 2 |- ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 )
48		3re 8818	. . 3 |- 3 e. RR
49	48, 16, 20, 22	ltdiv1ii 8711	. 2 |- ( 3 < pi <-> ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 ) )
50	47, 49	mpbir 145	1 |- 3 < pi

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   x. cmul 7649   RR*cxr 7823   < clt 7824   <_ cle 7825   - cmin 7957   # cap 8367   / cdiv 8456   NNcn 8744   2c2 8795   3c3 8796   4c4 8797   6c6 8799   RR+crp 9470   (,]cioc 9702   ^cexp 10323   sqrcsqrt 10800   sincsin 11387   cosccos 11388   picpi 11390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-pre-suploc 7765  ax-addf 7766  ax-mulf 7767

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-of 5990  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-map 6552  df-pm 6553  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-ioo 9705  df-ioc 9706  df-ico 9707  df-icc 9708  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-shft 10619  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391  df-sin 11393  df-cos 11394  df-pi 11396  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-ntr 12304  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-tx 12461  df-cncf 12766  df-limced 12833  df-dvap 12834

This theorem is referenced by:  pige3  12974