Theorem pigt3 15518

Description: pi is greater than 3. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pigt3	|- 3 < pi

Proof of Theorem pigt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincos6thpi 15516	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 6 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) )
2	1	simpli 111	. . . 4 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 )
3		ax-1cn 8092	. . . . 5 |- 1 e. CC
4		2cn 9181	. . . . . 6 |- 2 e. CC
5		2ap0 9203	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	4, 5	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
7		3cn 9185	. . . . . 6 |- 3 e. CC
8		3ap0 9206	. . . . . 6 |- 3 # 0
9	7, 8	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
10		divcanap5 8861	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) ) -> ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
11	3, 6, 9, 10	mp3an 1371	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 )
12		3t1e3 9266	. . . . 5 |- ( 3 x. 1 ) = 3
13		3t2e6 9267	. . . . 5 |- ( 3 x. 2 ) = 6
14	12, 13	oveq12i 6013	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 3 / 6 )
15	2, 11, 14	3eqtr2i 2256	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 3 / 6 )
16		pire 15460	. . . . . . 7 |- pi e. RR
17		6nn 9276	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
18		nndivre 9146	. . . . . . 7 |- ( ( pi e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( pi / 6 ) e. RR )
19	16, 17, 18	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) e. RR
20		6re 9191	. . . . . . 7 |- 6 e. RR
21		pipos 15462	. . . . . . 7 |- 0 < pi
22		6pos 9211	. . . . . . 7 |- 0 < 6
23	16, 20, 21, 22	divgt0ii 9066	. . . . . 6 |- 0 < ( pi / 6 )
24		1re 8145	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
25		pigt2lt4 15458	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
26	25	simpri 113	. . . . . . . . 9 |- pi < 4
27		4re 9187	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
28	16, 27, 20, 22	ltdiv1ii 9076	. . . . . . . . 9 |- ( pi < 4 <-> ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) )
29	26, 28	mpbi 145	. . . . . . . 8 |- ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 )
30		4lt6 9291	. . . . . . . . 9 |- 4 < 6
31	20, 22	elrpii 9852	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR+
32		divlt1lt 9920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. RR+ ) -> ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 ) )
33	27, 31, 32	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 )
34	30, 33	mpbir 146	. . . . . . . 8 |- ( 4 / 6 ) < 1
35		nndivre 9146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( 4 / 6 ) e. RR )
36	27, 17, 35	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 6 ) e. RR
37	19, 36, 24	lttri 8251	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) /\ ( 4 / 6 ) < 1 ) -> ( pi / 6 ) < 1 )
38	29, 34, 37	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( pi / 6 ) < 1
39	19, 24, 38	ltleii 8249	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) <_ 1
40		0xr 8193	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
41		elioc2 10132	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) ) )
42	40, 24, 41	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) )
43	19, 23, 39, 42	mpbir3an 1203	. . . . 5 |- ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 )
44		sin01bnd 12268	. . . . 5 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) )
46	45	simpri 113	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 )
47	15, 46	eqbrtrri 4106	. 2 |- ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 )
48		3re 9184	. . 3 |- 3 e. RR
49	48, 16, 20, 22	ltdiv1ii 9076	. 2 |- ( 3 < pi <-> ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 ) )
50	47, 49	mpbir 146	1 |- 3 < pi

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   x. cmul 8004   RR*cxr 8180   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   # cap 8728   / cdiv 8819   NNcn 9110   2c2 9161   3c3 9162   4c4 9163   6c6 9165   RR+crp 9849   (,]cioc 10085   ^cexp 10760   sqrcsqrt 11507   sincsin 12155   cosccos 12156   picpi 12158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119  ax-pre-suploc 8120  ax-addf 8121  ax-mulf 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-of 6218  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-map 6797  df-pm 6798  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-xneg 9968  df-xadd 9969  df-ioo 10088  df-ioc 10089  df-ico 10090  df-icc 10091  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-fac 10948  df-bc 10970  df-ihash 10998  df-shft 11326  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865  df-ef 12159  df-sin 12161  df-cos 12162  df-pi 12164  df-rest 13274  df-topgen 13293  df-psmet 14507  df-xmet 14508  df-met 14509  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-top 14672  df-topon 14685  df-bases 14717  df-ntr 14770  df-cn 14862  df-cnp 14863  df-tx 14927  df-cncf 15245  df-limced 15330  df-dvap 15331

This theorem is referenced by:  pige3  15519