Theorem pigt3 15638

Description: pi is greater than 3. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pigt3	|- 3 < pi

Proof of Theorem pigt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincos6thpi 15636	. . . . 5 |- ( ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 6 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) )
2	1	simpli 111	. . . 4 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 1 / 2 )
3		ax-1cn 8168	. . . . 5 |- 1 e. CC
4		2cn 9256	. . . . . 6 |- 2 e. CC
5		2ap0 9278	. . . . . 6 |- 2 # 0
6	4, 5	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
7		3cn 9260	. . . . . 6 |- 3 e. CC
8		3ap0 9281	. . . . . 6 |- 3 # 0
9	7, 8	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( 3 e. CC /\ 3 # 0 )
10		divcanap5 8936	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) /\ ( 3 e. CC /\ 3 # 0 ) ) -> ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
11	3, 6, 9, 10	mp3an 1374	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 )
12		3t1e3 9341	. . . . 5 |- ( 3 x. 1 ) = 3
13		3t2e6 9342	. . . . 5 |- ( 3 x. 2 ) = 6
14	12, 13	oveq12i 6040	. . . 4 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 2 ) ) = ( 3 / 6 )
15	2, 11, 14	3eqtr2i 2258	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) = ( 3 / 6 )
16		pire 15580	. . . . . . 7 |- pi e. RR
17		6nn 9351	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
18		nndivre 9221	. . . . . . 7 |- ( ( pi e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( pi / 6 ) e. RR )
19	16, 17, 18	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) e. RR
20		6re 9266	. . . . . . 7 |- 6 e. RR
21		pipos 15582	. . . . . . 7 |- 0 < pi
22		6pos 9286	. . . . . . 7 |- 0 < 6
23	16, 20, 21, 22	divgt0ii 9141	. . . . . 6 |- 0 < ( pi / 6 )
24		1re 8221	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
25		pigt2lt4 15578	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 < pi /\ pi < 4 )
26	25	simpri 113	. . . . . . . . 9 |- pi < 4
27		4re 9262	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
28	16, 27, 20, 22	ltdiv1ii 9151	. . . . . . . . 9 |- ( pi < 4 <-> ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) )
29	26, 28	mpbi 145	. . . . . . . 8 |- ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 )
30		4lt6 9366	. . . . . . . . 9 |- 4 < 6
31	20, 22	elrpii 9935	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR+
32		divlt1lt 10003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. RR+ ) -> ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 ) )
33	27, 31, 32	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 / 6 ) < 1 <-> 4 < 6 )
34	30, 33	mpbir 146	. . . . . . . 8 |- ( 4 / 6 ) < 1
35		nndivre 9221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( 4 / 6 ) e. RR )
36	27, 17, 35	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 6 ) e. RR
37	19, 36, 24	lttri 8326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 6 ) < ( 4 / 6 ) /\ ( 4 / 6 ) < 1 ) -> ( pi / 6 ) < 1 )
38	29, 34, 37	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( pi / 6 ) < 1
39	19, 24, 38	ltleii 8324	. . . . . 6 |- ( pi / 6 ) <_ 1
40		0xr 8268	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
41		elioc2 10215	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) ) )
42	40, 24, 41	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( ( pi / 6 ) e. RR /\ 0 < ( pi / 6 ) /\ ( pi / 6 ) <_ 1 ) )
43	19, 23, 39, 42	mpbir3an 1206	. . . . 5 |- ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 )
44		sin01bnd 12381	. . . . 5 |- ( ( pi / 6 ) e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) ) )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( pi / 6 ) - ( ( ( pi / 6 ) ^ 3 ) / 3 ) ) < ( sin ` ( pi / 6 ) ) /\ ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 ) )
46	45	simpri 113	. . 3 |- ( sin ` ( pi / 6 ) ) < ( pi / 6 )
47	15, 46	eqbrtrri 4116	. 2 |- ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 )
48		3re 9259	. . 3 |- 3 e. RR
49	48, 16, 20, 22	ltdiv1ii 9151	. 2 |- ( 3 < pi <-> ( 3 / 6 ) < ( pi / 6 ) )
50	47, 49	mpbir 146	1 |- 3 < pi

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   1c1 8076   x. cmul 8080   RR*cxr 8255   < clt 8256   <_ cle 8257   - cmin 8392   # cap 8803   / cdiv 8894   NNcn 9185   2c2 9236   3c3 9237   4c4 9238   6c6 9240   RR+crp 9932   (,]cioc 10168   ^cexp 10846   sqrcsqrt 11619   sincsin 12268   cosccos 12269   picpi 12271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-xneg 10051  df-xadd 10052  df-ioo 10171  df-ioc 10172  df-ico 10173  df-icc 10174  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-bc 11056  df-ihash 11084  df-shft 11438  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272  df-sin 12274  df-cos 12275  df-pi 12277  df-rest 13387  df-topgen 13406  df-psmet 14622  df-xmet 14623  df-met 14624  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-top 14792  df-topon 14805  df-bases 14837  df-ntr 14890  df-cn 14982  df-cnp 14983  df-tx 15047  df-cncf 15365  df-limced 15450  df-dvap 15451

This theorem is referenced by:  pige3  15639