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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > bldisj | Unicode version |
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.) |
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bldisj |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr3 1007 |
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2 | simpr1 1005 |
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3 | simpr2 1006 |
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4 | 2, 3 | xaddcld 9916 |
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5 | xmetcl 14329 |
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6 | 5 | adantr 276 |
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7 | xrlenlt 8053 |
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8 | 4, 6, 7 | syl2anc 411 |
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9 | 1, 8 | mpbid 147 |
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10 | elin 3333 |
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11 | simpl1 1002 |
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12 | simpl2 1003 |
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13 | elbl 14368 |
. . . . . . . 8
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14 | 11, 12, 2, 13 | syl3anc 1249 |
. . . . . . 7
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15 | simpl3 1004 |
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16 | elbl 14368 |
. . . . . . . 8
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17 | 11, 15, 3, 16 | syl3anc 1249 |
. . . . . . 7
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18 | 14, 17 | anbi12d 473 |
. . . . . 6
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19 | anandi 590 |
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20 | 18, 19 | bitr4di 198 |
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21 | 11 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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22 | 12 | adantr 276 |
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23 | simpr 110 |
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24 | xmetcl 14329 |
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25 | 21, 22, 23, 24 | syl3anc 1249 |
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26 | 15 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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27 | xmetcl 14329 |
. . . . . . . . 9
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28 | 21, 26, 23, 27 | syl3anc 1249 |
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29 | 2 | adantr 276 |
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30 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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31 | xlt2add 9912 |
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32 | 25, 28, 29, 30, 31 | syl22anc 1250 |
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33 | xmettri3 14351 |
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34 | 21, 22, 26, 23, 33 | syl13anc 1251 |
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35 | 6 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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36 | 25, 28 | xaddcld 9916 |
. . . . . . . . 9
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37 | 4 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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38 | xrlelttr 9838 |
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39 | 35, 36, 37, 38 | syl3anc 1249 |
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40 | 34, 39 | mpand 429 |
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41 | 32, 40 | syld 45 |
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42 | 41 | expimpd 363 |
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43 | 20, 42 | sylbid 150 |
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44 | 10, 43 | biimtrid 152 |
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45 | 9, 44 | mtod 664 |
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46 | 45 | eq0rdv 3482 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-cnex 7933 ax-resscn 7934 ax-1cn 7935 ax-1re 7936 ax-icn 7937 ax-addcl 7938 ax-addrcl 7939 ax-mulcl 7940 ax-addcom 7942 ax-addass 7944 ax-i2m1 7947 ax-0id 7950 ax-rnegex 7951 ax-pre-ltirr 7954 ax-pre-ltwlin 7955 ax-pre-lttrn 7956 ax-pre-apti 7957 ax-pre-ltadd 7958 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-fv 5243 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-map 6677 df-pnf 8025 df-mnf 8026 df-xr 8027 df-ltxr 8028 df-le 8029 df-xadd 9805 df-psmet 13873 df-xmet 13874 df-bl 13876 |
This theorem is referenced by: bl2in 14380 |
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