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Theorem bldisj 12607
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  =  (/) )

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 990 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( R +e S )  <_ 
( P D Q ) )
2 simpr1 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  R  e.  RR* )
3 simpr2 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  S  e.  RR* )
42, 3xaddcld 9696 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( R +e S )  e. 
RR* )
5 xmetcl 12558 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
65adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
7 xrlenlt 7852 . . . . 5  |-  ( ( ( R +e
S )  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR* )  ->  ( ( R +e S )  <_ 
( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
84, 6, 7syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( R +e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R +e
S ) ) )
91, 8mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  -.  ( P D Q )  <  ( R +e S ) )
10 elin 3263 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
11 simpl1 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
12 simpl2 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  P  e.  X
)
13 elbl 12597 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1411, 12, 2, 13syl3anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) )
15 simpl3 987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  Q  e.  X
)
16 elbl 12597 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1711, 15, 3, 16syl3anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D ) S )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
1814, 17anbi12d 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
19 anandi 580 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
2018, 19syl6bbr 197 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) ) )
2111adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2212adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  P  e.  X )
23 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
24 xmetcl 12558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2615adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  Q  e.  X )
27 xmetcl 12558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
2821, 26, 23, 27syl3anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
292adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
303adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  S  e.  RR* )
31 xlt2add 9692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  ( Q D x )  e.  RR* )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) ) )
3225, 28, 29, 30, 31syl22anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) ) )
33 xmettri3 12580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) )
3421, 22, 26, 23, 33syl13anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D Q )  <_  (
( P D x ) +e ( Q D x ) ) )
356adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
3625, 28xaddcld 9696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  e. 
RR* )
374adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( R +e S )  e.  RR* )
38 xrlelttr 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  e.  RR*  /\  ( R +e S )  e.  RR* )  ->  (
( ( P D Q )  <_  (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  <  ( R +e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4034, 39mpand 426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  <  ( R +e S )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4132, 40syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4241expimpd 361 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  X  /\  (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4320, 42sylbid 149 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4410, 43syl5bi 151 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
459, 44mtod 653 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  -.  x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
4645eq0rdv 3411 1  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481    i^i cin 3074   (/)c0 3367   class class class wbr 3936   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   RR*cxr 7822    < clt 7823    <_ cle 7824   +ecxad 9586   *Metcxmet 12186   ballcbl 12188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-xadd 9589  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-bl 12196
This theorem is referenced by:  bl2in  12609
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