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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > bldisj | Unicode version |
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.) |
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bldisj |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr3 957 |
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2 | simpr1 955 |
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3 | simpr2 956 |
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4 | 2, 3 | xaddcld 9508 |
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5 | xmetcl 12280 |
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6 | 5 | adantr 272 |
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7 | xrlenlt 7701 |
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8 | 4, 6, 7 | syl2anc 406 |
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9 | 1, 8 | mpbid 146 |
. . 3
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10 | elin 3206 |
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11 | simpl1 952 |
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12 | simpl2 953 |
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13 | elbl 12319 |
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14 | 11, 12, 2, 13 | syl3anc 1184 |
. . . . . . 7
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15 | simpl3 954 |
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16 | elbl 12319 |
. . . . . . . 8
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17 | 11, 15, 3, 16 | syl3anc 1184 |
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18 | 14, 17 | anbi12d 460 |
. . . . . 6
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19 | anandi 560 |
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20 | 18, 19 | syl6bbr 197 |
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21 | 11 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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22 | 12 | adantr 272 |
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23 | simpr 109 |
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24 | xmetcl 12280 |
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25 | 21, 22, 23, 24 | syl3anc 1184 |
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26 | 15 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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27 | xmetcl 12280 |
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28 | 21, 26, 23, 27 | syl3anc 1184 |
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29 | 2 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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30 | 3 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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31 | xlt2add 9504 |
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32 | 25, 28, 29, 30, 31 | syl22anc 1185 |
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33 | xmettri3 12302 |
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34 | 21, 22, 26, 23, 33 | syl13anc 1186 |
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35 | 6 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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36 | 25, 28 | xaddcld 9508 |
. . . . . . . . 9
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37 | 4 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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38 | xrlelttr 9430 |
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39 | 35, 36, 37, 38 | syl3anc 1184 |
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40 | 34, 39 | mpand 423 |
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41 | 32, 40 | syld 45 |
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42 | 41 | expimpd 358 |
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43 | 20, 42 | sylbid 149 |
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44 | 10, 43 | syl5bi 151 |
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45 | 9, 44 | mtod 630 |
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46 | 45 | eq0rdv 3354 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-addcom 7595 ax-addass 7597 ax-i2m1 7600 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-fv 5067 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-map 6474 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-xadd 9401 df-psmet 11938 df-xmet 11939 df-bl 11941 |
This theorem is referenced by: bl2in 12331 |
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