Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bldisj Unicode version

Theorem bldisj 12607
 Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 990 . . . 4
2 simpr1 988 . . . . . 6
3 simpr2 989 . . . . . 6
42, 3xaddcld 9696 . . . . 5
5 xmetcl 12558 . . . . . 6
65adantr 274 . . . . 5
7 xrlenlt 7852 . . . . 5
84, 6, 7syl2anc 409 . . . 4
91, 8mpbid 146 . . 3
10 elin 3263 . . . 4
11 simpl1 985 . . . . . . . 8
12 simpl2 986 . . . . . . . 8
13 elbl 12597 . . . . . . . 8
1411, 12, 2, 13syl3anc 1217 . . . . . . 7
15 simpl3 987 . . . . . . . 8
16 elbl 12597 . . . . . . . 8
1711, 15, 3, 16syl3anc 1217 . . . . . . 7
1814, 17anbi12d 465 . . . . . 6
19 anandi 580 . . . . . 6
2018, 19syl6bbr 197 . . . . 5
2111adantr 274 . . . . . . . . 9
2212adantr 274 . . . . . . . . 9
23 simpr 109 . . . . . . . . 9
24 xmetcl 12558 . . . . . . . . 9
2521, 22, 23, 24syl3anc 1217 . . . . . . . 8
2615adantr 274 . . . . . . . . 9
27 xmetcl 12558 . . . . . . . . 9
2821, 26, 23, 27syl3anc 1217 . . . . . . . 8
292adantr 274 . . . . . . . 8
303adantr 274 . . . . . . . 8
31 xlt2add 9692 . . . . . . . 8
3225, 28, 29, 30, 31syl22anc 1218 . . . . . . 7
33 xmettri3 12580 . . . . . . . . 9
3421, 22, 26, 23, 33syl13anc 1219 . . . . . . . 8
356adantr 274 . . . . . . . . 9
3625, 28xaddcld 9696 . . . . . . . . 9
374adantr 274 . . . . . . . . 9
38 xrlelttr 9618 . . . . . . . . 9
3935, 36, 37, 38syl3anc 1217 . . . . . . . 8
4034, 39mpand 426 . . . . . . 7
4132, 40syld 45 . . . . . 6
4241expimpd 361 . . . . 5
4320, 42sylbid 149 . . . 4
4410, 43syl5bi 151 . . 3
459, 44mtod 653 . 2
4645eq0rdv 3411 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481   cin 3074  c0 3367   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  cxr 7822   clt 7823   cle 7824  cxad 9586  cxmet 12186  cbl 12188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-xadd 9589  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-bl 12196 This theorem is referenced by:  bl2in  12609
 Copyright terms: Public domain W3C validator