Theorem bldisj 15627

Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bldisj	|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) S ) ) = (/) )

Proof of Theorem bldisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1036	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( R +e S ) <_ ( P D Q ) )
2		simpr1 1034	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> R e. RR* )
3		simpr2 1035	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> S e. RR* )
4	2, 3	xaddcld 10303	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( R +e S ) e. RR* )
5		xmetcl 15578	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) -> ( P D Q ) e. RR* )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( P D Q ) e. RR* )
7		xrlenlt 8396	. . . . 5 |- ( ( ( R +e S ) e. RR* /\ ( P D Q ) e. RR* ) -> ( ( R +e S ) <_ ( P D Q ) <-> -. ( P D Q ) < ( R +e S ) ) )
8	4, 6, 7	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( R +e S ) <_ ( P D Q ) <-> -. ( P D Q ) < ( R +e S ) ) )
9	1, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> -. ( P D Q ) < ( R +e S ) )
10		elin 3412	. . . 4 |- ( x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) S ) ) <-> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. ( Q ( ball ` D ) S ) ) )
11		simpl1 1031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
12		simpl2 1032	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> P e. X )
13		elbl 15617	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
14	11, 12, 2, 13	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) <-> ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) ) )
15		simpl3 1033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> Q e. X )
16		elbl 15617	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Q e. X /\ S e. RR* ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
17	11, 15, 3, 16	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( x e. ( Q ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
18	14, 17	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. ( Q ( ball ` D ) S ) ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) ) )
19		anandi 598	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ ( ( P D x ) < R /\ ( Q D x ) < S ) ) <-> ( ( x e. X /\ ( P D x ) < R ) /\ ( x e. X /\ ( Q D x ) < S ) ) )
20	18, 19	bitr4di 198	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. ( Q ( ball ` D ) S ) ) <-> ( x e. X /\ ( ( P D x ) < R /\ ( Q D x ) < S ) ) ) )
21	11	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
22	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> P e. X )
23		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
24		xmetcl 15578	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ x e. X ) -> ( P D x ) e. RR* )
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> ( P D x ) e. RR* )
26	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> Q e. X )
27		xmetcl 15578	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Q e. X /\ x e. X ) -> ( Q D x ) e. RR* )
28	21, 26, 23, 27	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> ( Q D x ) e. RR* )
29	2	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> R e. RR* )
30	3	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> S e. RR* )
31		xlt2add 10299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( P D x ) e. RR* /\ ( Q D x ) e. RR* ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) ) -> ( ( ( P D x ) < R /\ ( Q D x ) < S ) -> ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) < ( R +e S ) ) )
32	25, 28, 29, 30, 31	syl22anc 1279	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> ( ( ( P D x ) < R /\ ( Q D x ) < S ) -> ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) < ( R +e S ) ) )
33		xmettri3 15600	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( P e. X /\ Q e. X /\ x e. X ) ) -> ( P D Q ) <_ ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) )
34	21, 22, 26, 23, 33	syl13anc 1280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> ( P D Q ) <_ ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) )
35	6	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> ( P D Q ) e. RR* )
36	25, 28	xaddcld 10303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) e. RR* )
37	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> ( R +e S ) e. RR* )
38		xrlelttr 10225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P D Q ) e. RR* /\ ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) e. RR* /\ ( R +e S ) e. RR* ) -> ( ( ( P D Q ) <_ ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) /\ ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) < ( R +e S ) ) -> ( P D Q ) < ( R +e S ) ) )
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> ( ( ( P D Q ) <_ ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) /\ ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) < ( R +e S ) ) -> ( P D Q ) < ( R +e S ) ) )
40	34, 39	mpand 433	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> ( ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) < ( R +e S ) -> ( P D Q ) < ( R +e S ) ) )
41	32, 40	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) /\ x e. X ) -> ( ( ( P D x ) < R /\ ( Q D x ) < S ) -> ( P D Q ) < ( R +e S ) ) )
42	41	expimpd 363	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( x e. X /\ ( ( P D x ) < R /\ ( Q D x ) < S ) ) -> ( P D Q ) < ( R +e S ) ) )
43	20, 42	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( x e. ( P ( ball ` D ) R ) /\ x e. ( Q ( ball ` D ) S ) ) -> ( P D Q ) < ( R +e S ) ) )
44	10, 43	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) S ) ) -> ( P D Q ) < ( R +e S ) ) )
45	9, 44	mtod 673	. 2 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> -. x e. ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) S ) ) )
46	45	eq0rdv 3571	1 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ Q e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* /\ ( R +e S ) <_ ( P D Q ) ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) R ) i^i ( Q ( ball ` D ) S ) ) = (/) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   i^i cin 3219   (/)c0 3520   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   RR*cxr 8365   < clt 8366   <_ cle 8367   +ecxad 10189   *Metcxmet 14982   ballcbl 14984

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-xadd 10192  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-bl 14992

This theorem is used by:  bl2in  15629