Theorem eq0rdv 3570

Description: Deduction for equality to the empty set. (Contributed by NM, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eq0rdv.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eq0rdv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eq0rdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0rdv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
2	1	pm2.21d 628	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∅))
3	2	ssrdv 3254	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∅)
4		ss0 3563	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
5	3, 4	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521

This theorem is referenced by:  exmid01  4330  dcextest  4723  nfvres  5726  map0b  6958  snon0  7239  snexxph  7257  fodju0  7477  fzdisj  10435  bldisj  15425  usgr1vr  16403