Theorem fzdisj 10277

Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzdisj	|- ( K < M -> ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) = (/) )

Proof of Theorem fzdisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3388	. . . 4 |- ( x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) <-> ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) )
2		elfzel1 10249	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
4	3	zred 9592	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M e. RR )
5		elfzelz 10250	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
6	5	zred 9592	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. RR )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. RR )
8		elfzel2 10248	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( J ... K ) -> K e. ZZ )
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K e. ZZ )
10	9	zred 9592	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K e. RR )
11		elfzle1 10252	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> M <_ x )
12	11	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M <_ x )
13		elfzle2 10253	. . . . . . 7 |- ( x e. ( J ... K ) -> x <_ K )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x <_ K )
15	4, 7, 10, 12, 14	letrd 8293	. . . . 5 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M <_ K )
16	4, 10	lenltd 8287	. . . . 5 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( M <_ K <-> -. K < M ) )
17	15, 16	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> -. K < M )
18	1, 17	sylbi 121	. . 3 |- ( x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) -> -. K < M )
19	18	con2i 630	. 2 |- ( K < M -> -. x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) )
20	19	eq0rdv 3537	1 |- ( K < M -> ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   i^i cin 3197   (/)c0 3492   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   RRcr 8021   < clt 8204   <_ cle 8205   ZZcz 9469   ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-pre-ltwlin 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-neg 8343  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234

This theorem is referenced by:  fsumm1  11967  fsum1p  11969  mertenslemi1  12086  fprod1p  12150  fprodeq0  12168  strleund  13176  strleun  13177  gausslemma2dlem4  15783  gausslemma2dlem6  15786  lgsquadlem2  15797  cvgcmp2nlemabs  16572