Theorem fzdisj 10008

Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzdisj	|- ( K < M -> ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) = (/) )

Proof of Theorem fzdisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3310	. . . 4 |- ( x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) <-> ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) )
2		elfzel1 9980	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
3	2	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
4	3	zred 9334	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M e. RR )
5		elfzelz 9981	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
6	5	zred 9334	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. RR )
7	6	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. RR )
8		elfzel2 9979	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( J ... K ) -> K e. ZZ )
9	8	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K e. ZZ )
10	9	zred 9334	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K e. RR )
11		elfzle1 9983	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> M <_ x )
12	11	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M <_ x )
13		elfzle2 9984	. . . . . . 7 |- ( x e. ( J ... K ) -> x <_ K )
14	13	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x <_ K )
15	4, 7, 10, 12, 14	letrd 8043	. . . . 5 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M <_ K )
16	4, 10	lenltd 8037	. . . . 5 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( M <_ K <-> -. K < M ) )
17	15, 16	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> -. K < M )
18	1, 17	sylbi 120	. . 3 |- ( x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) -> -. K < M )
19	18	con2i 622	. 2 |- ( K < M -> -. x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) )
20	19	eq0rdv 3459	1 |- ( K < M -> ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   i^i cin 3120   (/)c0 3414   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   < clt 7954   <_ cle 7955   ZZcz 9212   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltwlin 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by:  fsumm1  11379  fsum1p  11381  mertenslemi1  11498  fprod1p  11562  fprodeq0  11580  strleund  12506  strleun  12507  cvgcmp2nlemabs  14064