ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzdisj Unicode version

Theorem fzdisj 9615
Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzdisj  |-  ( K  <  M  ->  (
( J ... K
)  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )

Proof of Theorem fzdisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3198 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) )  <->  ( x  e.  ( J ... K
)  /\  x  e.  ( M ... N ) ) )
2 elfzel1 9588 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
32adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
43zred 8967 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  RR )
5 elfzelz 9589 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
65zred 8967 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
76adantl 272 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  RR )
8 elfzel2 9587 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( J ... K )  ->  K  e.  ZZ )
98adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
109zred 8967 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  RR )
11 elfzle1 9590 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  x )
1211adantl 272 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  x )
13 elfzle2 9591 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( J ... K )  ->  x  <_  K )
1413adantr 271 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <_  K )
154, 7, 10, 12, 14letrd 7704 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  K )
164, 10lenltd 7698 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( M  <_  K  <->  -.  K  <  M ) )
1715, 16mpbid 146 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  -.  K  <  M )
181, 17sylbi 120 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) )  ->  -.  K  <  M )
1918con2i 595 . 2  |-  ( K  <  M  ->  -.  x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) ) )
2019eq0rdv 3346 1  |-  ( K  <  M  ->  (
( J ... K
)  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1296    e. wcel 1445    i^i cin 3012   (/)c0 3302   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   RRcr 7446    < clt 7619    <_ cle 7620   ZZcz 8848   ...cfz 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-pre-ltwlin 7555
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-neg 7753  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574
This theorem is referenced by:  fsumm1  10959  fsum1p  10961  mertenslemi1  11078  strleund  11731  strleun  11732
  Copyright terms: Public domain W3C validator