Theorem fzdisj 10176

Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzdisj	|- ( K < M -> ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) = (/) )

Proof of Theorem fzdisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3356	. . . 4 |- ( x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) <-> ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) )
2		elfzel1 10148	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
4	3	zred 9497	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M e. RR )
5		elfzelz 10149	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
6	5	zred 9497	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. RR )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. RR )
8		elfzel2 10147	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( J ... K ) -> K e. ZZ )
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K e. ZZ )
10	9	zred 9497	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K e. RR )
11		elfzle1 10151	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> M <_ x )
12	11	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M <_ x )
13		elfzle2 10152	. . . . . . 7 |- ( x e. ( J ... K ) -> x <_ K )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x <_ K )
15	4, 7, 10, 12, 14	letrd 8198	. . . . 5 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M <_ K )
16	4, 10	lenltd 8192	. . . . 5 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( M <_ K <-> -. K < M ) )
17	15, 16	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> -. K < M )
18	1, 17	sylbi 121	. . 3 |- ( x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) -> -. K < M )
19	18	con2i 628	. 2 |- ( K < M -> -. x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) )
20	19	eq0rdv 3505	1 |- ( K < M -> ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   i^i cin 3165   (/)c0 3460   class class class wbr 4045  (class class class)co 5946   RRcr 7926   < clt 8109   <_ cle 8110   ZZcz 9374   ...cfz 10132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltwlin 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-neg 8248  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133

This theorem is referenced by:  fsumm1  11760  fsum1p  11762  mertenslemi1  11879  fprod1p  11943  fprodeq0  11961  strleund  12968  strleun  12969  gausslemma2dlem4  15574  gausslemma2dlem6  15577  lgsquadlem2  15588  cvgcmp2nlemabs  16008