Theorem fzdisj 10084

Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzdisj	|- ( K < M -> ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) = (/) )

Proof of Theorem fzdisj

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3333	. . . 4 |- ( x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) <-> ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) )
2		elfzel1 10056	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M ... N ) -> M e. ZZ )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M e. ZZ )
4	3	zred 9406	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M e. RR )
5		elfzelz 10057	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. ZZ )
6	5	zred 9406	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> x e. RR )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x e. RR )
8		elfzel2 10055	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( J ... K ) -> K e. ZZ )
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K e. ZZ )
10	9	zred 9406	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> K e. RR )
11		elfzle1 10059	. . . . . . 7 |- ( x e. ( M ... N ) -> M <_ x )
12	11	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M <_ x )
13		elfzle2 10060	. . . . . . 7 |- ( x e. ( J ... K ) -> x <_ K )
14	13	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> x <_ K )
15	4, 7, 10, 12, 14	letrd 8112	. . . . 5 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> M <_ K )
16	4, 10	lenltd 8106	. . . . 5 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> ( M <_ K <-> -. K < M ) )
17	15, 16	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( x e. ( J ... K ) /\ x e. ( M ... N ) ) -> -. K < M )
18	1, 17	sylbi 121	. . 3 |- ( x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) -> -. K < M )
19	18	con2i 628	. 2 |- ( K < M -> -. x e. ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) )
20	19	eq0rdv 3482	1 |- ( K < M -> ( ( J ... K ) i^i ( M ... N ) ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   i^i cin 3143   (/)c0 3437   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   < clt 8023   <_ cle 8024   ZZcz 9284   ...cfz 10040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-pre-ltwlin 7955

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-neg 8162  df-z 9285  df-uz 9560  df-fz 10041

This theorem is referenced by:  fsumm1  11459  fsum1p  11461  mertenslemi1  11578  fprod1p  11642  fprodeq0  11660  strleund  12618  strleun  12619  cvgcmp2nlemabs  15259