Theorem eqbrriv 4706

Description: Inference from extensionality principle for relations. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrriv.1	|- Rel A
eqbrriv.2	|- Rel B
eqbrriv.3	|- ( x A y <-> x B y )

Assertion

Ref	Expression
eqbrriv	|- A = B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem eqbrriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrriv.1	. 2 |- Rel A
2		eqbrriv.2	. 2 |- Rel B
3		eqbrriv.3	. . 3 |- ( x A y <-> x B y )
4		df-br 3990	. . 3 |- ( x A y <-> <. x , y >. e. A )
5		df-br 3990	. . 3 |- ( x B y <-> <. x , y >. e. B )
6	3, 4, 5	3bitr3i 209	. 2 |- ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )
7	1, 2, 6	eqrelriiv 4705	1 |- A = B

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618

This theorem is referenced by:  resco  5115  tpostpos  6243