Theorem tpostpos 5983

Description: Value of the double transposition for a general class F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos	|- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )

Proof of Theorem tpostpos

Dummy variables x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 5969	. 2 |- Rel tpos tpos F
2		inss2 3210	. . 3 |- ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
3		relxp 4515	. . 3 |- Rel ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
4		relss 4493	. . 3 |- ( ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) -> ( Rel ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) -> Rel ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	. 2 |- Rel ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
6		relcnv 4777	. . . . . . . . 9 |- Rel `' dom tpos F
7		df-rel 4418	. . . . . . . . 9 |- ( Rel `' dom tpos F <-> `' dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
8	6, 7	mpbi 143	. . . . . . . 8 |- `' dom tpos F C_ ( _V X. _V )
9		simpl 107	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) -> w e. `' dom tpos F )
10	8, 9	sseldi 3012	. . . . . . 7 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) -> w e. ( _V X. _V ) )
11		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) -> w e. ( _V X. _V ) )
12		elvv 4468	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y w = <. x , y >. )
13		eleq1 2147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. x , y >. -> ( w e. `' dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom tpos F ) )
14		vex 2618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
15		vex 2618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
16	14, 15	opelcnv 4586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , y >. e. `' dom tpos F <-> <. y , x >. e. dom tpos F )
17	13, 16	syl6bb 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. x , y >. -> ( w e. `' dom tpos F <-> <. y , x >. e. dom tpos F ) )
18		sneq 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = <. x , y >. -> { w } = { <. x , y >. } )
19	18	cnveqd 4580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = <. x , y >. -> `' { w } = `' { <. x , y >. } )
20	19	unieqd 3647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = <. x , y >. -> U. `' { w } = U. `' { <. x , y >. } )
21		opswapg 4883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> U. `' { <. x , y >. } = <. y , x >. )
22	14, 15, 21	mp2an 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. `' { <. x , y >. } = <. y , x >.
23	20, 22	syl6eq 2133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. x , y >. -> U. `' { w } = <. y , x >. )
24	23	breq1d 3830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. x , y >. -> ( U. `' { w }tpos F z <-> <. y , x >.tpos F z ) )
25	17, 24	anbi12d 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) ) )
26	15, 14	opex 4030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. y , x >. e. _V
27		vex 2618	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
28	26, 27	breldm 4608	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. y , x >.tpos F z -> <. y , x >. e. dom tpos F )
29	28	pm4.71ri 384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. y , x >.tpos F z <-> ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) )
30		brtposg 5973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. y , x >.tpos F z <-> <. x , y >. F z ) )
31	15, 14, 27, 30	mp3an 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. y , x >.tpos F z <-> <. x , y >. F z )
32	29, 31	bitr3i 184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) <-> <. x , y >. F z )
33	25, 32	syl6bb 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> <. x , y >. F z ) )
34		breq1 3823	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. x , y >. -> ( w F z <-> <. x , y >. F z ) )
35	33, 34	bitr4d 189	. . . . . . . . . 10 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
36	35	exlimivv 1821	. . . . . . . . 9 |- ( E. x E. y w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
37	12, 36	sylbi 119	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
38		iba 294	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( w F z <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) ) )
39	37, 38	bitrd 186	. . . . . . 7 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) ) )
40	10, 11, 39	pm5.21nii 653	. . . . . 6 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) )
41		elsni 3449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { (/) } -> w = (/) )
42	41	sneqd 3444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { (/) } -> { w } = { (/) } )
43	42	cnveqd 4580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { (/) } -> `' { w } = `' { (/) } )
44		cnvsn0 4865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' { (/) } = (/)
45	43, 44	syl6eq 2133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. { (/) } -> `' { w } = (/) )
46	45	unieqd 3647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. { (/) } -> U. `' { w } = U. (/) )
47		uni0 3663	. . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
48	46, 47	syl6eq 2133	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { (/) } -> U. `' { w } = (/) )
49	48	breq1d 3830	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> (/)tpos F z ) )
50		brtpos0 5971	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( (/)tpos F z <-> (/) F z ) )
51	27, 50	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- ( (/)tpos F z <-> (/) F z )
52	49, 51	syl6bb 194	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> (/) F z ) )
53	41	breq1d 3830	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { (/) } -> ( w F z <-> (/) F z ) )
54	52, 53	bitr4d 189	. . . . . . . 8 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> w F z ) )
55	54	pm5.32i 442	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w e. { (/) } /\ w F z ) )
56		ancom 262	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { (/) } /\ w F z ) <-> ( w F z /\ w e. { (/) } ) )
57	55, 56	bitri 182	. . . . . 6 |- ( ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. { (/) } ) )
58	40, 57	orbi12i 714	. . . . 5 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) \/ ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) ) <-> ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) \/ ( w F z /\ w e. { (/) } ) ) )
59		andir 766	. . . . 5 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) \/ ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) ) )
60		andi 765	. . . . 5 |- ( ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) <-> ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) \/ ( w F z /\ w e. { (/) } ) ) )
61	58, 59, 60	3bitr4i 210	. . . 4 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) )
62		elun 3130	. . . . 5 |- ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) <-> ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) )
63	62	anbi1i 446	. . . 4 |- ( ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) )
64		brxp 4441	. . . . . . 7 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> ( w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z e. _V ) )
65	27, 64	mpbiran2 885	. . . . . 6 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) )
66		elun 3130	. . . . . 6 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) <-> ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) )
67	65, 66	bitri 182	. . . . 5 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) )
68	67	anbi2i 445	. . . 4 |- ( ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) <-> ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) )
69	61, 63, 68	3bitr4i 210	. . 3 |- ( ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) )
70		brtpos2 5970	. . . 4 |- ( z e. _V -> ( wtpos tpos F z <-> ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) ) )
71	27, 70	ax-mp 7	. . 3 |- ( wtpos tpos F z <-> ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) )
72		brin 3867	. . 3 |- ( w ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) z <-> ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) )
73	69, 71, 72	3bitr4i 210	. 2 |- ( wtpos tpos F z <-> w ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) z )
74	1, 5, 73	eqbrriv 4501	1 |- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662   = wceq 1287   E.wex 1424   e. wcel 1436   _Vcvv 2615   u. cun 2986   i^i cin 2987   C_ wss 2988   (/)c0 3275   {csn 3431   <.cop 3434   U.cuni 3636   class class class wbr 3820   X. cxp 4409   `'ccnv 4410   dom cdm 4411   Rel wrel 4416  tpos ctpos 5963

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-fv 4989  df-tpos 5964

This theorem is referenced by:  tpostpos2  5984