Theorem tpostpos 6154

Description: Value of the double transposition for a general class F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos	|- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )

Proof of Theorem tpostpos

Dummy variables x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 6140	. 2 |- Rel tpos tpos F
2		inss2 3292	. . 3 |- ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
3		relxp 4643	. . 3 |- Rel ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
4		relss 4621	. . 3 |- ( ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) -> ( Rel ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) -> Rel ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	. 2 |- Rel ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
6		relcnv 4912	. . . . . . . . 9 |- Rel `' dom tpos F
7		df-rel 4541	. . . . . . . . 9 |- ( Rel `' dom tpos F <-> `' dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
8	6, 7	mpbi 144	. . . . . . . 8 |- `' dom tpos F C_ ( _V X. _V )
9		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) -> w e. `' dom tpos F )
10	8, 9	sseldi 3090	. . . . . . 7 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) -> w e. ( _V X. _V ) )
11		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) -> w e. ( _V X. _V ) )
12		elvv 4596	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y w = <. x , y >. )
13		eleq1 2200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. x , y >. -> ( w e. `' dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom tpos F ) )
14		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
15		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
16	14, 15	opelcnv 4716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , y >. e. `' dom tpos F <-> <. y , x >. e. dom tpos F )
17	13, 16	syl6bb 195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. x , y >. -> ( w e. `' dom tpos F <-> <. y , x >. e. dom tpos F ) )
18		sneq 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = <. x , y >. -> { w } = { <. x , y >. } )
19	18	cnveqd 4710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = <. x , y >. -> `' { w } = `' { <. x , y >. } )
20	19	unieqd 3742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = <. x , y >. -> U. `' { w } = U. `' { <. x , y >. } )
21		opswapg 5020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> U. `' { <. x , y >. } = <. y , x >. )
22	14, 15, 21	mp2an 422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. `' { <. x , y >. } = <. y , x >.
23	20, 22	syl6eq 2186	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. x , y >. -> U. `' { w } = <. y , x >. )
24	23	breq1d 3934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. x , y >. -> ( U. `' { w }tpos F z <-> <. y , x >.tpos F z ) )
25	17, 24	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) ) )
26	15, 14	opex 4146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. y , x >. e. _V
27		vex 2684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
28	26, 27	breldm 4738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. y , x >.tpos F z -> <. y , x >. e. dom tpos F )
29	28	pm4.71ri 389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. y , x >.tpos F z <-> ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) )
30		brtposg 6144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. y , x >.tpos F z <-> <. x , y >. F z ) )
31	15, 14, 27, 30	mp3an 1315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. y , x >.tpos F z <-> <. x , y >. F z )
32	29, 31	bitr3i 185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) <-> <. x , y >. F z )
33	25, 32	syl6bb 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> <. x , y >. F z ) )
34		breq1 3927	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. x , y >. -> ( w F z <-> <. x , y >. F z ) )
35	33, 34	bitr4d 190	. . . . . . . . . 10 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
36	35	exlimivv 1868	. . . . . . . . 9 |- ( E. x E. y w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
37	12, 36	sylbi 120	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
38		iba 298	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( w F z <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) ) )
39	37, 38	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) ) )
40	10, 11, 39	pm5.21nii 693	. . . . . 6 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) )
41		elsni 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { (/) } -> w = (/) )
42	41	sneqd 3535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { (/) } -> { w } = { (/) } )
43	42	cnveqd 4710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { (/) } -> `' { w } = `' { (/) } )
44		cnvsn0 5002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' { (/) } = (/)
45	43, 44	syl6eq 2186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. { (/) } -> `' { w } = (/) )
46	45	unieqd 3742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. { (/) } -> U. `' { w } = U. (/) )
47		uni0 3758	. . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
48	46, 47	syl6eq 2186	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { (/) } -> U. `' { w } = (/) )
49	48	breq1d 3934	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> (/)tpos F z ) )
50		brtpos0 6142	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( (/)tpos F z <-> (/) F z ) )
51	27, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( (/)tpos F z <-> (/) F z )
52	49, 51	syl6bb 195	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> (/) F z ) )
53	41	breq1d 3934	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { (/) } -> ( w F z <-> (/) F z ) )
54	52, 53	bitr4d 190	. . . . . . . 8 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> w F z ) )
55	54	pm5.32i 449	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w e. { (/) } /\ w F z ) )
56		ancom 264	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { (/) } /\ w F z ) <-> ( w F z /\ w e. { (/) } ) )
57	55, 56	bitri 183	. . . . . 6 |- ( ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. { (/) } ) )
58	40, 57	orbi12i 753	. . . . 5 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) \/ ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) ) <-> ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) \/ ( w F z /\ w e. { (/) } ) ) )
59		andir 808	. . . . 5 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) \/ ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) ) )
60		andi 807	. . . . 5 |- ( ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) <-> ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) \/ ( w F z /\ w e. { (/) } ) ) )
61	58, 59, 60	3bitr4i 211	. . . 4 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) )
62		elun 3212	. . . . 5 |- ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) <-> ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) )
63	62	anbi1i 453	. . . 4 |- ( ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) )
64		brxp 4565	. . . . . . 7 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> ( w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z e. _V ) )
65	27, 64	mpbiran2 925	. . . . . 6 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) )
66		elun 3212	. . . . . 6 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) <-> ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) )
67	65, 66	bitri 183	. . . . 5 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) )
68	67	anbi2i 452	. . . 4 |- ( ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) <-> ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) )
69	61, 63, 68	3bitr4i 211	. . 3 |- ( ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) )
70		brtpos2 6141	. . . 4 |- ( z e. _V -> ( wtpos tpos F z <-> ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) ) )
71	27, 70	ax-mp 5	. . 3 |- ( wtpos tpos F z <-> ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) )
72		brin 3975	. . 3 |- ( w ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) z <-> ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) )
73	69, 71, 72	3bitr4i 211	. 2 |- ( wtpos tpos F z <-> w ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) z )
74	1, 5, 73	eqbrriv 4629	1 |- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   u. cun 3064   i^i cin 3065   C_ wss 3066   (/)c0 3358   {csn 3522   <.cop 3525   U.cuni 3731   class class class wbr 3924   X. cxp 4532   `'ccnv 4533   dom cdm 4534   Rel wrel 4539  tpos ctpos 6134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-fv 5126  df-tpos 6135

This theorem is referenced by:  tpostpos2  6155