Theorem tpostpos 6373

Description: Value of the double transposition for a general class F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpostpos	|- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )

Proof of Theorem tpostpos

Dummy variables x y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reltpos 6359	. 2 |- Rel tpos tpos F
2		inss2 3402	. . 3 |- ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
3		relxp 4802	. . 3 |- Rel ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V )
4		relss 4780	. . 3 |- ( ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) C_ ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) -> ( Rel ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) -> Rel ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	. 2 |- Rel ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )
6		relcnv 5079	. . . . . . . . 9 |- Rel `' dom tpos F
7		df-rel 4700	. . . . . . . . 9 |- ( Rel `' dom tpos F <-> `' dom tpos F C_ ( _V X. _V ) )
8	6, 7	mpbi 145	. . . . . . . 8 |- `' dom tpos F C_ ( _V X. _V )
9		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) -> w e. `' dom tpos F )
10	8, 9	sselid 3199	. . . . . . 7 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) -> w e. ( _V X. _V ) )
11		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) -> w e. ( _V X. _V ) )
12		elvv 4755	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y w = <. x , y >. )
13		eleq1 2270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. x , y >. -> ( w e. `' dom tpos F <-> <. x , y >. e. `' dom tpos F ) )
14		vex 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
15		vex 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
16	14, 15	opelcnv 4878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , y >. e. `' dom tpos F <-> <. y , x >. e. dom tpos F )
17	13, 16	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. x , y >. -> ( w e. `' dom tpos F <-> <. y , x >. e. dom tpos F ) )
18		sneq 3654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = <. x , y >. -> { w } = { <. x , y >. } )
19	18	cnveqd 4872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = <. x , y >. -> `' { w } = `' { <. x , y >. } )
20	19	unieqd 3875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = <. x , y >. -> U. `' { w } = U. `' { <. x , y >. } )
21		opswapg 5188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> U. `' { <. x , y >. } = <. y , x >. )
22	14, 15, 21	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. `' { <. x , y >. } = <. y , x >.
23	20, 22	eqtrdi 2256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = <. x , y >. -> U. `' { w } = <. y , x >. )
24	23	breq1d 4069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = <. x , y >. -> ( U. `' { w }tpos F z <-> <. y , x >.tpos F z ) )
25	17, 24	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) ) )
26	15, 14	opex 4291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. y , x >. e. _V
27		vex 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
28	26, 27	breldm 4901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. y , x >.tpos F z -> <. y , x >. e. dom tpos F )
29	28	pm4.71ri 392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. y , x >.tpos F z <-> ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) )
30		brtposg 6363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V /\ z e. _V ) -> ( <. y , x >.tpos F z <-> <. x , y >. F z ) )
31	15, 14, 27, 30	mp3an 1350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. y , x >.tpos F z <-> <. x , y >. F z )
32	29, 31	bitr3i 186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. y , x >. e. dom tpos F /\ <. y , x >.tpos F z ) <-> <. x , y >. F z )
33	25, 32	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> <. x , y >. F z ) )
34		breq1 4062	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. x , y >. -> ( w F z <-> <. x , y >. F z ) )
35	33, 34	bitr4d 191	. . . . . . . . . 10 |- ( w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
36	35	exlimivv 1921	. . . . . . . . 9 |- ( E. x E. y w = <. x , y >. -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
37	12, 36	sylbi 121	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> w F z ) )
38		iba 300	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( w F z <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) ) )
39	37, 38	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( w e. ( _V X. _V ) -> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) ) )
40	10, 11, 39	pm5.21nii 706	. . . . . 6 |- ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) )
41		elsni 3661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { (/) } -> w = (/) )
42	41	sneqd 3656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { (/) } -> { w } = { (/) } )
43	42	cnveqd 4872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { (/) } -> `' { w } = `' { (/) } )
44		cnvsn0 5170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' { (/) } = (/)
45	43, 44	eqtrdi 2256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. { (/) } -> `' { w } = (/) )
46	45	unieqd 3875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. { (/) } -> U. `' { w } = U. (/) )
47		uni0 3891	. . . . . . . . . . . 12 |- U. (/) = (/)
48	46, 47	eqtrdi 2256	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { (/) } -> U. `' { w } = (/) )
49	48	breq1d 4069	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> (/)tpos F z ) )
50		brtpos0 6361	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( (/)tpos F z <-> (/) F z ) )
51	27, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( (/)tpos F z <-> (/) F z )
52	49, 51	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> (/) F z ) )
53	41	breq1d 4069	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { (/) } -> ( w F z <-> (/) F z ) )
54	52, 53	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( w e. { (/) } -> ( U. `' { w }tpos F z <-> w F z ) )
55	54	pm5.32i 454	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w e. { (/) } /\ w F z ) )
56		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( w e. { (/) } /\ w F z ) <-> ( w F z /\ w e. { (/) } ) )
57	55, 56	bitri 184	. . . . . 6 |- ( ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w e. { (/) } ) )
58	40, 57	orbi12i 766	. . . . 5 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) \/ ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) ) <-> ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) \/ ( w F z /\ w e. { (/) } ) ) )
59		andir 821	. . . . 5 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( ( w e. `' dom tpos F /\ U. `' { w }tpos F z ) \/ ( w e. { (/) } /\ U. `' { w }tpos F z ) ) )
60		andi 820	. . . . 5 |- ( ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) <-> ( ( w F z /\ w e. ( _V X. _V ) ) \/ ( w F z /\ w e. { (/) } ) ) )
61	58, 59, 60	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) )
62		elun 3322	. . . . 5 |- ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) <-> ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) )
63	62	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( ( w e. `' dom tpos F \/ w e. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) )
64		brxp 4724	. . . . . . 7 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> ( w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z e. _V ) )
65	27, 64	mpbiran2 944	. . . . . 6 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) )
66		elun 3322	. . . . . 6 |- ( w e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) <-> ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) )
67	65, 66	bitri 184	. . . . 5 |- ( w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z <-> ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) )
68	67	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) <-> ( w F z /\ ( w e. ( _V X. _V ) \/ w e. { (/) } ) ) )
69	61, 63, 68	3bitr4i 212	. . 3 |- ( ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) <-> ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) )
70		brtpos2 6360	. . . 4 |- ( z e. _V -> ( wtpos tpos F z <-> ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) ) )
71	27, 70	ax-mp 5	. . 3 |- ( wtpos tpos F z <-> ( w e. ( `' dom tpos F u. { (/) } ) /\ U. `' { w }tpos F z ) )
72		brin 4112	. . 3 |- ( w ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) z <-> ( w F z /\ w ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) z ) )
73	69, 71, 72	3bitr4i 212	. 2 |- ( wtpos tpos F z <-> w ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) ) z )
74	1, 5, 73	eqbrriv 4788	1 |- tpos tpos F = ( F i^i ( ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) X. _V ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172   i^i cin 3173   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   <.cop 3646   U.cuni 3864   class class class wbr 4059   X. cxp 4691   `'ccnv 4692   dom cdm 4693   Rel wrel 4698  tpos ctpos 6353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-tpos 6354

This theorem is referenced by:  tpostpos2  6374