Theorem eqrelriiv 4757

Description: Inference from extensionality principle for relations. (Contributed by NM, 17-Mar-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqreliiv.1	|- Rel A
eqreliiv.2	|- Rel B
eqreliiv.3	|- ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )

Assertion

Ref	Expression
eqrelriiv	|- A = B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem eqrelriiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqreliiv.1	. 2 |- Rel A
2		eqreliiv.2	. 2 |- Rel B
3		eqreliiv.3	. . 3 |- ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )
4	3	eqrelriv 4756	. 2 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> A = B )
5	1, 2, 4	mp2an 426	1 |- A = B

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3625   Rel wrel 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670

This theorem is referenced by:  eqbrriv  4758  inopab  4798  difopab  4799  dfres2  4998  restidsing  5002  cnvopab  5071  cnv0  5073  cnvdif  5076  cnvcnvsn  5146  dfco2  5169  coiun  5179  co02  5183  coass  5188  ressn  5210