Theorem eqopab2b 4281

Description: Equivalence of ordered pair abstraction equality and biconditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eqopab2b	|- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph <-> ps ) )

Proof of Theorem eqopab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssopab2b 4278	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )
2		ssopab2b 4278	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } <-> A. x A. y ( ps -> ph ) )
3	1, 2	anbi12i 460	. 2 |- ( ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } /\ { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } ) <-> ( A. x A. y ( ph -> ps ) /\ A. x A. y ( ps -> ph ) ) )
4		eqss 3172	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } /\ { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } ) )
5		2albiim 1488	. 2 |- ( A. x A. y ( ph <-> ps ) <-> ( A. x A. y ( ph -> ps ) /\ A. x A. y ( ps -> ph ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr4i 212	1 |- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   C_ wss 3131   {copab 4065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-opab 4067

This theorem is referenced by: (None)