Theorem eqopab2b 4257

Description: Equivalence of ordered pair abstraction equality and biconditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eqopab2b	|- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph <-> ps ) )

Proof of Theorem eqopab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssopab2b 4254	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )
2		ssopab2b 4254	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } <-> A. x A. y ( ps -> ph ) )
3	1, 2	anbi12i 456	. 2 |- ( ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } /\ { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } ) <-> ( A. x A. y ( ph -> ps ) /\ A. x A. y ( ps -> ph ) ) )
4		eqss 3157	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } /\ { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } ) )
5		2albiim 1476	. 2 |- ( A. x A. y ( ph <-> ps ) <-> ( A. x A. y ( ph -> ps ) /\ A. x A. y ( ps -> ph ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr4i 211	1 |- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   C_ wss 3116   {copab 4042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044

This theorem is referenced by: (None)