Theorem eqopab2b 4264

Description: Equivalence of ordered pair abstraction equality and biconditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eqopab2b	|- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph <-> ps ) )

Proof of Theorem eqopab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssopab2b 4261	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )
2		ssopab2b 4261	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } <-> A. x A. y ( ps -> ph ) )
3	1, 2	anbi12i 457	. 2 |- ( ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } /\ { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } ) <-> ( A. x A. y ( ph -> ps ) /\ A. x A. y ( ps -> ph ) ) )
4		eqss 3162	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } /\ { <. x , y >. | ps } C_ { <. x , y >. | ph } ) )
5		2albiim 1481	. 2 |- ( A. x A. y ( ph <-> ps ) <-> ( A. x A. y ( ph -> ps ) /\ A. x A. y ( ps -> ph ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr4i 211	1 |- ( { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   C_ wss 3121   {copab 4049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051

This theorem is referenced by: (None)