ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqopab2b Unicode version

Theorem eqopab2b 4240
Description: Equivalence of ordered pair abstraction equality and biconditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqopab2b  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  A. x A. y ( ph  <->  ps )
)

Proof of Theorem eqopab2b
StepHypRef Expression
1 ssopab2b 4237 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y
( ph  ->  ps )
)
2 ssopab2b 4237 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<-> 
A. x A. y
( ps  ->  ph )
)
31, 2anbi12i 456 . 2  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ph }  C_  {
<. x ,  y >.  |  ps }  /\  { <. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y ( ps 
->  ph ) ) )
4 eqss 3143 . 2  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  ( { <. x ,  y >.  |  ph }  C_  { <. x ,  y >.  |  ps }  /\  { <. x ,  y >.  |  ps }  C_  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
5 2albiim 1468 . 2  |-  ( A. x A. y ( ph  <->  ps )  <->  ( A. x A. y ( ph  ->  ps )  /\  A. x A. y ( ps  ->  ph ) ) )
63, 4, 53bitr4i 211 1  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ph }  =  { <. x ,  y >.  |  ps }  <->  A. x A. y ( ph  <->  ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1333    = wceq 1335    C_ wss 3102   {copab 4025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-opab 4027
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator