Theorem ssopab2b 4291

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssopab2b	|- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )

Proof of Theorem ssopab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4087	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab1 4087	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ps }
3	1, 2	nfss 3163	. . 3 |- F/ x { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps }
4		nfopab2 4088	. . . . 5 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
5		nfopab2 4088	. . . . 5 |- F/_ y { <. x , y >. | ps }
6	4, 5	nfss 3163	. . . 4 |- F/ y { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps }
7		ssel 3164	. . . . 5 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ps } ) )
8		opabid 4272	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
9		opabid 4272	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ps } <-> ps )
10	7, 8, 9	3imtr3g 204	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> ( ph -> ps ) )
11	6, 10	alrimi 1533	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> A. y ( ph -> ps ) )
12	3, 11	alrimi 1533	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> A. x A. y ( ph -> ps ) )
13		ssopab2 4290	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> ps ) -> { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } )
14	12, 13	impbii 126	1 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1362   e. wcel 2160   C_ wss 3144   <.cop 3610   {copab 4078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-opab 4080

This theorem is referenced by:  eqopab2b  4294  dffun2  5241