Theorem ssopab2b 4261

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssopab2b	|- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )

Proof of Theorem ssopab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4058	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab1 4058	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ps }
3	1, 2	nfss 3140	. . 3 |- F/ x { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps }
4		nfopab2 4059	. . . . 5 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
5		nfopab2 4059	. . . . 5 |- F/_ y { <. x , y >. | ps }
6	4, 5	nfss 3140	. . . 4 |- F/ y { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps }
7		ssel 3141	. . . . 5 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ps } ) )
8		opabid 4242	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
9		opabid 4242	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ps } <-> ps )
10	7, 8, 9	3imtr3g 203	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> ( ph -> ps ) )
11	6, 10	alrimi 1515	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> A. y ( ph -> ps ) )
12	3, 11	alrimi 1515	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> A. x A. y ( ph -> ps ) )
13		ssopab2 4260	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> ps ) -> { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } )
14	12, 13	impbii 125	1 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1346   e. wcel 2141   C_ wss 3121   <.cop 3586   {copab 4049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051

This theorem is referenced by:  eqopab2b  4264  dffun2  5208