Theorem ssopab2b 4371

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssopab2b	|- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )

Proof of Theorem ssopab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 4158	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ph }
2		nfopab1 4158	. . . 4 |- F/_ x { <. x , y >. | ps }
3	1, 2	nfss 3220	. . 3 |- F/ x { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps }
4		nfopab2 4159	. . . . 5 |- F/_ y { <. x , y >. | ph }
5		nfopab2 4159	. . . . 5 |- F/_ y { <. x , y >. | ps }
6	4, 5	nfss 3220	. . . 4 |- F/ y { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps }
7		ssel 3221	. . . . 5 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | ps } ) )
8		opabid 4350	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ph )
9		opabid 4350	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | ps } <-> ps )
10	7, 8, 9	3imtr3g 204	. . . 4 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> ( ph -> ps ) )
11	6, 10	alrimi 1570	. . 3 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> A. y ( ph -> ps ) )
12	3, 11	alrimi 1570	. 2 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } -> A. x A. y ( ph -> ps ) )
13		ssopab2 4370	. 2 |- ( A. x A. y ( ph -> ps ) -> { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } )
14	12, 13	impbii 126	1 |- ( { <. x , y >. | ph } C_ { <. x , y >. | ps } <-> A. x A. y ( ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1395   e. wcel 2202   C_ wss 3200   <.cop 3672   {copab 4149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-opab 4151

This theorem is referenced by:  eqopab2b  4374  dffun2  5336