Theorem opabm 4311

Description: Inhabited ordered pair class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opabm	|- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )

Distinct variable groups:   ph, z   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4288	. . 3 |- ( z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	exbii 1616	. 2 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
3		exrot3 1701	. 2 |- ( E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
4		vex 2763	. . . . . 6 |- x e. _V
5		vex 2763	. . . . . 6 |- y e. _V
6	4, 5	opex 4258	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
7	6	isseti 2768	. . . 4 |- E. z z = <. x , y >.
8		19.41v 1914	. . . 4 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( E. z z = <. x , y >. /\ ph ) )
9	7, 8	mpbiran 942	. . 3 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph )
10	9	2exbii 1617	. 2 |- ( E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   <.cop 3621   {copab 4089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-opab 4091

This theorem is referenced by: (None)