ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opabm Unicode version

Theorem opabm 4298
Description: Inhabited ordered pair class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
opabm  |-  ( E. z  z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  <->  E. x E. y ph )
Distinct variable groups:    ph, z    x, z    y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem opabm
StepHypRef Expression
1 elopab 4276 . . 3  |-  ( z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } 
<->  E. x E. y
( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
21exbii 1616 . 2  |-  ( E. z  z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  <->  E. z E. x E. y ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
3 exrot3 1701 . 2  |-  ( E. z E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y E. z ( z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
4 vex 2755 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
5 vex 2755 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
64, 5opex 4247 . . . . 5  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
76isseti 2760 . . . 4  |-  E. z 
z  =  <. x ,  y >.
8 19.41v 1914 . . . 4  |-  ( E. z ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ( E. z  z  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
97, 8mpbiran 942 . . 3  |-  ( E. z ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ph )
1092exbii 1617 . 2  |-  ( E. x E. y E. z ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ph )
112, 3, 103bitri 206 1  |-  ( E. z  z  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }  <->  E. x E. y ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   <.cop 3610   {copab 4078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-opab 4080
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator