Theorem opabm 4276

Description: Inhabited ordered pair class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opabm	|- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )

Distinct variable groups:   ph, z   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4254	. . 3 |- ( z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	exbii 1605	. 2 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
3		exrot3 1690	. 2 |- ( E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
4		vex 2740	. . . . . 6 |- x e. _V
5		vex 2740	. . . . . 6 |- y e. _V
6	4, 5	opex 4225	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
7	6	isseti 2745	. . . 4 |- E. z z = <. x , y >.
8		19.41v 1902	. . . 4 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( E. z z = <. x , y >. /\ ph ) )
9	7, 8	mpbiran 940	. . 3 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph )
10	9	2exbii 1606	. 2 |- ( E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
11	2, 3, 10	3bitri 206	1 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   <.cop 3594   {copab 4060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-opab 4062

This theorem is referenced by: (None)