Theorem opabm 4210

Description: Inhabited ordered pair class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opabm	|- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )

Distinct variable groups:   ph, z   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elopab 4188	. . 3 |- ( z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	exbii 1585	. 2 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
3		exrot3 1669	. 2 |- ( E. z E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) )
4		vex 2692	. . . . . 6 |- x e. _V
5		vex 2692	. . . . . 6 |- y e. _V
6	4, 5	opex 4159	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
7	6	isseti 2697	. . . 4 |- E. z z = <. x , y >.
8		19.41v 1875	. . . 4 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( E. z z = <. x , y >. /\ ph ) )
9	7, 8	mpbiran 925	. . 3 |- ( E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ph )
10	9	2exbii 1586	. 2 |- ( E. x E. y E. z ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ph )
11	2, 3, 10	3bitri 205	1 |- ( E. z z e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ph )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   <.cop 3535   {copab 3996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-opab 3998

This theorem is referenced by: (None)