Theorem eqrelriv 4868

Description: Inference from extensionality principle for relations. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqrelriv.1	|- ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )

Assertion

Ref	Expression
eqrelriv	|- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> A = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem eqrelriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelriv.1	. . 3 |- ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )
2	1	gen2 1503	. 2 |- A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )
3		eqrel 4864	. 2 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
4	2, 3	mpbiri 168	1 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> A = B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   Rel wrel 4779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781

This theorem is used by:  eqrelriiv  4869  dfrel2  5238  coi1  5303  cnviinm  5329