Theorem eqrelriv 4627

Description: Inference from extensionality principle for relations. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqrelriv.1	|- ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )

Assertion

Ref	Expression
eqrelriv	|- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> A = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem eqrelriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelriv.1	. . 3 |- ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )
2	1	gen2 1426	. 2 |- A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )
3		eqrel 4623	. 2 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
4	2, 3	mpbiri 167	1 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3525   Rel wrel 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541

This theorem is referenced by:  eqrelriiv  4628  dfrel2  4984  coi1  5049  cnviinm  5075