Theorem eqrelriv 4734

Description: Inference from extensionality principle for relations. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqrelriv.1	|- ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )

Assertion

Ref	Expression
eqrelriv	|- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> A = B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem eqrelriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelriv.1	. . 3 |- ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )
2	1	gen2 1461	. 2 |- A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B )
3		eqrel 4730	. 2 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )
4	2, 3	mpbiri 168	1 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3610   Rel wrel 4646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-opab 4080  df-xp 4647  df-rel 4648

This theorem is referenced by:  eqrelriiv  4735  dfrel2  5094  coi1  5159  cnviinm  5185