Theorem relssdv 4785

Description: Deduction from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 11-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
relssdv.1	|- ( ph -> Rel A )
relssdv.2	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
relssdv	|- ( ph -> A C_ B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem relssdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssdv.2	. . 3 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1899	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
3		relssdv.1	. . 3 |- ( ph -> Rel A )
4		ssrel 4781	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
6	2, 5	mpbird 167	1 |- ( ph -> A C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   e. wcel 2178   C_ wss 3174   <.cop 3646   Rel wrel 4698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700

This theorem is referenced by:  relssres  5016  poirr2  5094  relssdmrn  5222  subrgdvds  14112  txdis1cn  14865