Theorem relssdv 4811

Description: Deduction from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 11-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
relssdv.1	|- ( ph -> Rel A )
relssdv.2	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
relssdv	|- ( ph -> A C_ B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem relssdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssdv.2	. . 3 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1921	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
3		relssdv.1	. . 3 |- ( ph -> Rel A )
4		ssrel 4807	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
6	2, 5	mpbird 167	1 |- ( ph -> A C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1393   e. wcel 2200   C_ wss 3197   <.cop 3669   Rel wrel 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726

This theorem is referenced by:  relssres  5043  poirr2  5121  relssdmrn  5249  subrgdvds  14199  txdis1cn  14952