Theorem relssdv 4703

Description: Deduction from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 11-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
relssdv.1	|- ( ph -> Rel A )
relssdv.2	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
relssdv	|- ( ph -> A C_ B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem relssdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssdv.2	. . 3 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1868	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
3		relssdv.1	. . 3 |- ( ph -> Rel A )
4		ssrel 4699	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
6	2, 5	mpbird 166	1 |- ( ph -> A C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1346   e. wcel 2141   C_ wss 3121   <.cop 3586   Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618

This theorem is referenced by:  relssres  4929  poirr2  5003  relssdmrn  5131  txdis1cn  13072