Theorem relssdv 4671

Description: Deduction from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 11-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
relssdv.1	|- ( ph -> Rel A )
relssdv.2	|- ( ph -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )

Assertion

Ref	Expression
relssdv	|- ( ph -> A C_ B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ph, x, y

Proof of Theorem relssdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssdv.2	. . 3 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1852	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
3		relssdv.1	. . 3 |- ( ph -> Rel A )
4		ssrel 4667	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
6	2, 5	mpbird 166	1 |- ( ph -> A C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1330   e. wcel 2125   C_ wss 3098   <.cop 3559   Rel wrel 4584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-v 2711  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-opab 4022  df-xp 4585  df-rel 4586

This theorem is referenced by:  relssres  4897  poirr2  4971  relssdmrn  5099  txdis1cn  12617