Theorem eqrelriv 4704

Description: Inference from extensionality principle for relations. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqrelriv.1	⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqrelriv	⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Rel 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem eqrelriv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelriv.1	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)
2	1	gen2 1443	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)
3		eqrel 4700	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Rel 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)))
4	2, 3	mpbiri 167	1 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Rel 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1346   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3586  Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618

This theorem is referenced by:  eqrelriiv  4705  dfrel2  5061  coi1  5126  cnviinm  5152