ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnviinm Unicode version

Theorem cnviinm 4959
Description: The converse of an intersection is the intersection of the converse. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnviinm  |-  ( E. y  y  e.  A  ->  `' |^|_ x  e.  A  B  =  |^|_ x  e.  A  `' B )
Distinct variable groups:    x, A    y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem cnviinm
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2150 . . 3  |-  ( y  =  a  ->  (
y  e.  A  <->  a  e.  A ) )
21cbvexv 1843 . 2  |-  ( E. y  y  e.  A  <->  E. a  a  e.  A
)
3 eleq1 2150 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  A  <->  a  e.  A ) )
43cbvexv 1843 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. a  a  e.  A
)
5 relcnv 4797 . . . 4  |-  Rel  `' |^|_
x  e.  A  B
6 r19.2m 3365 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  `' B  C_  ( _V  X.  _V ) )  ->  E. x  e.  A  `' B  C_  ( _V  X.  _V ) )
76expcom 114 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  `' B  C_  ( _V  X.  _V )  ->  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  `' B  C_  ( _V 
X.  _V ) ) )
8 relcnv 4797 . . . . . . . . 9  |-  Rel  `' B
9 df-rel 4435 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel  `' B  <->  `' B  C_  ( _V 
X.  _V ) )
108, 9mpbi 143 . . . . . . . 8  |-  `' B  C_  ( _V  X.  _V )
1110a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  `' B  C_  ( _V  X.  _V ) )
127, 11mprg 2432 . . . . . 6  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  `' B  C_  ( _V 
X.  _V ) )
13 iinss 3776 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  `' B  C_  ( _V  X.  _V )  ->  |^|_ x  e.  A  `' B  C_  ( _V  X.  _V ) )
1412, 13syl 14 . . . . 5  |-  ( E. x  x  e.  A  -> 
|^|_ x  e.  A  `' B  C_  ( _V 
X.  _V ) )
15 df-rel 4435 . . . . 5  |-  ( Rel  |^|_ x  e.  A  `' B 
<-> 
|^|_ x  e.  A  `' B  C_  ( _V 
X.  _V ) )
1614, 15sylibr 132 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  Rel  |^|_ x  e.  A  `' B )
17 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
18 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
1917, 18opex 4047 . . . . . . 7  |-  <. b ,  a >.  e.  _V
20 eliin 3730 . . . . . . 7  |-  ( <.
b ,  a >.  e.  _V  ->  ( <. b ,  a >.  e.  |^|_ x  e.  A  B  <->  A. x  e.  A  <. b ,  a >.  e.  B
) )
2119, 20ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( <.
b ,  a >.  e.  |^|_ x  e.  A  B 
<-> 
A. x  e.  A  <. b ,  a >.  e.  B )
2218, 17opelcnv 4606 . . . . . 6  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  `' |^|_ x  e.  A  B 
<-> 
<. b ,  a >.  e.  |^|_ x  e.  A  B )
2318, 17opex 4047 . . . . . . . 8  |-  <. a ,  b >.  e.  _V
24 eliin 3730 . . . . . . . 8  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  _V  ->  ( <. a ,  b >.  e.  |^|_ x  e.  A  `' B  <->  A. x  e.  A  <. a ,  b >.  e.  `' B ) )
2523, 24ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  |^|_ x  e.  A  `' B  <->  A. x  e.  A  <. a ,  b >.  e.  `' B )
2618, 17opelcnv 4606 . . . . . . . 8  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  `' B  <->  <. b ,  a
>.  e.  B )
2726ralbii 2384 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  <. a ,  b >.  e.  `' B 
<-> 
A. x  e.  A  <. b ,  a >.  e.  B )
2825, 27bitri 182 . . . . . 6  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  |^|_ x  e.  A  `' B  <->  A. x  e.  A  <. b ,  a >.  e.  B )
2921, 22, 283bitr4i 210 . . . . 5  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  `' |^|_ x  e.  A  B 
<-> 
<. a ,  b >.  e.  |^|_ x  e.  A  `' B )
3029eqrelriv 4519 . . . 4  |-  ( ( Rel  `' |^|_ x  e.  A  B  /\  Rel  |^|_ x  e.  A  `' B )  ->  `' |^|_
x  e.  A  B  =  |^|_ x  e.  A  `' B )
315, 16, 30sylancr 405 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  `' |^|_ x  e.  A  B  =  |^|_ x  e.  A  `' B )
324, 31sylbir 133 . 2  |-  ( E. a  a  e.  A  ->  `' |^|_ x  e.  A  B  =  |^|_ x  e.  A  `' B )
332, 32sylbi 119 1  |-  ( E. y  y  e.  A  ->  `' |^|_ x  e.  A  B  =  |^|_ x  e.  A  `' B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619    C_ wss 2997   <.cop 3444   |^|_ciin 3726    X. cxp 4426   `'ccnv 4427   Rel wrel 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-iin 3728  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator