Theorem eqrel 4527

Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eqrel	|- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem eqrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 4526	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
2		ssrel 4526	. . 3 |- ( Rel B -> ( B C_ A <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) )
3	1, 2	bi2anan9 573	. 2 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) /\ A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) ) )
4		eqss 3040	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		2albiim 1422	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) <-> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) /\ A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 221	1 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1287   = wceq 1289   e. wcel 1438   C_ wss 2999   <.cop 3449   Rel wrel 4443

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445

This theorem is referenced by:  eqrelriv  4531  eqrelrdv  4534  eqbrrdv  4535  eqrelrdv2  4537  opabid2  4567  reldm0  4654  iss  4758  asymref  4817  funssres  5056  fsn  5469