Theorem eqrel 4764

Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eqrel	|- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem eqrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 4763	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
2		ssrel 4763	. . 3 |- ( Rel B -> ( B C_ A <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) )
3	1, 2	bi2anan9 606	. 2 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) /\ A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) ) )
4		eqss 3208	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		2albiim 1511	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) <-> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) /\ A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   <.cop 3636   Rel wrel 4680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682

This theorem is referenced by:  eqrelriv  4768  eqrelrdv  4771  eqbrrdv  4772  eqrelrdv2  4774  opabid2  4809  reldm0  4896  iss  5005  asymref  5068  funssres  5313  fsn  5752