Theorem eqrel 4701

Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eqrel	|- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem eqrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrel 4700	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
2		ssrel 4700	. . 3 |- ( Rel B -> ( B C_ A <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) )
3	1, 2	bi2anan9 602	. 2 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( ( A C_ B /\ B C_ A ) <-> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) /\ A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) ) )
4		eqss 3163	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
5		2albiim 1482	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) <-> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) /\ A. x A. y ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. A ) ) )
6	3, 4, 5	3bitr4g 222	1 |- ( ( Rel A /\ Rel B ) -> ( A = B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A <-> <. x , y >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1347   = wceq 1349   e. wcel 2142   C_ wss 3122   <.cop 3587   Rel wrel 4617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-v 2733  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-opab 4052  df-xp 4618  df-rel 4619

This theorem is referenced by:  eqrelriv  4705  eqrelrdv  4708  eqbrrdv  4709  eqrelrdv2  4711  opabid2  4743  reldm0  4830  iss  4938  asymref  4998  funssres  5242  fsn  5672