ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqrel Unicode version

Theorem eqrel 4733
Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
eqrel  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y

Proof of Theorem eqrel
StepHypRef Expression
1 ssrel 4732 . . 3  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
2 ssrel 4732 . . 3  |-  ( Rel 
B  ->  ( B  C_  A  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  B  ->  <. x ,  y >.  e.  A
) ) )
31, 2bi2anan9 606 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  A )  <->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  /\  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  B  -> 
<. x ,  y >.  e.  A ) ) ) )
4 eqss 3185 . 2  |-  ( A  =  B  <->  ( A  C_  B  /\  B  C_  A ) )
5 2albiim 1499 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  <->  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  /\  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  B  -> 
<. x ,  y >.  e.  A ) ) )
63, 4, 53bitr4g 223 1  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 2160    C_ wss 3144   <.cop 3610   Rel wrel 4649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651
This theorem is referenced by:  eqrelriv  4737  eqrelrdv  4740  eqbrrdv  4741  eqrelrdv2  4743  opabid2  4776  reldm0  4863  iss  4971  asymref  5032  funssres  5277  fsn  5708
  Copyright terms: Public domain W3C validator