Theorem equs5or 1823

Description: Lemma used in proofs of substitution properties. Like equs5 1822 but, in intuitionistic logic, replacing negation and implication with disjunction makes this a stronger result. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
equs5or	|- ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )

Proof of Theorem equs5or

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		a9e 1689	. 2 |- E. z z = y
2		dveeq2or 1809	. . . . . 6 |- ( A. x x = y \/ F/ x z = y )
3		nfnf1 1537	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x F/ x z = y
4	3	nfri 1512	. . . . . . . . . 10 |- ( F/ x z = y -> A. x F/ x z = y )
5		ax11v 1820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ph -> A. x ( x = z -> ph ) ) )
6		equequ2 1706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( x = z <-> x = y ) )
7	6	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> ( x = z <-> x = y ) )
8		nfr 1511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F/ x z = y -> ( z = y -> A. x z = y ) )
9	8	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> A. x z = y )
10		hba1 1533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x z = y -> A. x A. x z = y )
11	6	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> ( ( x = z -> ph ) <-> ( x = y -> ph ) ) )
12	11	sps 1530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x z = y -> ( ( x = z -> ph ) <-> ( x = y -> ph ) ) )
13	10, 12	albidh 1473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x z = y -> ( A. x ( x = z -> ph ) <-> A. x ( x = y -> ph ) ) )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> ( A. x ( x = z -> ph ) <-> A. x ( x = y -> ph ) ) )
15	14	imbi2d 229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> ( ( ph -> A. x ( x = z -> ph ) ) <-> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
16	7, 15	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> ( ( x = z -> ( ph -> A. x ( x = z -> ph ) ) ) <-> ( x = y -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) )
17	5, 16	mpbii 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F/ x z = y /\ z = y ) -> ( x = y -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
18	17	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( F/ x z = y -> ( z = y -> ( x = y -> ( ph -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) )
19	18	imp4a 347	. . . . . . . . . 10 |- ( F/ x z = y -> ( z = y -> ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
20	4, 19	alrimih 1462	. . . . . . . . 9 |- ( F/ x z = y -> A. x ( z = y -> ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
21		19.21t 1575	. . . . . . . . 9 |- ( F/ x z = y -> ( A. x ( z = y -> ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) <-> ( z = y -> A. x ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) )
22	20, 21	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( F/ x z = y -> ( z = y -> A. x ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
23		hba1 1533	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( x = y -> ph ) -> A. x A. x ( x = y -> ph ) )
24	23	19.23h 1491	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) <-> ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
25	22, 24	syl6ib 160	. . . . . . 7 |- ( F/ x z = y -> ( z = y -> ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
26	25	orim2i 756	. . . . . 6 |- ( ( A. x x = y \/ F/ x z = y ) -> ( A. x x = y \/ ( z = y -> ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) )
27	2, 26	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. x x = y \/ ( z = y -> ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
28		pm2.76 803	. . . . 5 |- ( ( A. x x = y \/ ( z = y -> ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) -> ( ( A. x x = y \/ z = y ) -> ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) ) )
29	27, 28	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( A. x x = y \/ z = y ) -> ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
30	29	olcs 731	. . 3 |- ( z = y -> ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
31	30	exlimiv 1591	. 2 |- ( E. z z = y -> ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) ) )
32	1, 31	ax-mp 5	1 |- ( A. x x = y \/ ( E. x ( x = y /\ ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   A.wal 1346   F/wnf 1453   E.wex 1485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756

This theorem is referenced by:  sb4or  1826