Theorem reu2 2914

Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 22-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
reu2	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1516	. . 3 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
2	1	eu2 2058	. 2 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) ) )
3		df-reu 2451	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
4		df-rex 2450	. . 3 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
5		df-ral 2449	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
6		19.21v 1861	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
7		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x y e. A
8		nfs1v 1927	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [ y / x ] ph
9	7, 8	nfan 1553	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( y e. A /\ [ y / x ] ph )
10		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
11		sbequ12 1759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> [ y / x ] ph ) )
12	10, 11	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
13	9, 12	sbie 1779	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
14	13	anbi2i 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
15		an4 576	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
16	14, 15	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
17	16	imbi1i 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) )
18		impexp 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
19		impexp 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
20	17, 18, 19	3bitri 205	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
21	20	albii 1458	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
22		df-ral 2449	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
23	22	imbi2i 225	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
24	6, 21, 23	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
25	24	albii 1458	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
26	5, 25	bitr4i 186	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) )
27	4, 26	anbi12i 456	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) ) )
28	2, 3, 27	3bitr4i 211	1 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   E.wex 1480   [wsb 1750   E!weu 2014   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   E!wreu 2446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451

This theorem is referenced by: (None)