Theorem reu2 2968

Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 22-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
reu2	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1552	. . 3 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
2	1	eu2 2100	. 2 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) ) )
3		df-reu 2493	. 2 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
4		df-rex 2492	. . 3 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
5		df-ral 2491	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
6		19.21v 1897	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
7		nfv 1552	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x y e. A
8		nfs1v 1968	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [ y / x ] ph
9	7, 8	nfan 1589	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( y e. A /\ [ y / x ] ph )
10		eleq1 2270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
11		sbequ12 1795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ph <-> [ y / x ] ph ) )
12	10, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
13	9, 12	sbie 1815	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) <-> ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) )
14	13	anbi2i 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) )
15		an4 586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( y e. A /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
16	14, 15	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) )
17	16	imbi1i 238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) )
18		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
19		impexp 263	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
20	17, 18, 19	3bitri 206	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
21	20	albii 1494	. . . . . 6 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. y ( x e. A -> ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
22		df-ral 2491	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
23	22	imbi2i 226	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y e. A -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
24	6, 21, 23	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
25	24	albii 1494	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
26	5, 25	bitr4i 187	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) )
27	4, 26	anbi12i 460	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ A. x A. y ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) ) -> x = y ) ) )
28	2, 3, 27	3bitr4i 212	1 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ A. x e. A A. y e. A ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   E.wex 1516   [wsb 1786   E!weu 2055   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   E!wreu 2488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493

This theorem is referenced by: (None)