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Theorem mo3h 2001
Description: Alternate definition of "at most one." Definition of [BellMachover] p. 460, except that definition has the side condition that  y not occur in  ph in place of our hypothesis. (Contributed by NM, 8-Mar-1995.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
mo3h.1  |-  ( ph  ->  A. y ph )
Assertion
Ref Expression
mo3h  |-  ( E* x ph  <->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem mo3h
StepHypRef Expression
1 mo3h.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y ph )
21nfi 1396 . . . . . 6  |-  F/ y
ph
32eu2 1992 . . . . 5  |-  ( E! x ph  <->  ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
43imbi2i 224 . . . 4  |-  ( ( E. x ph  ->  E! x ph )  <->  ( E. x ph  ->  ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
5 df-mo 1952 . . . 4  |-  ( E* x ph  <->  ( E. x ph  ->  E! x ph ) )
6 anclb 312 . . . 4  |-  ( ( E. x ph  ->  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( E. x ph  ->  ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) ) )
74, 5, 63bitr4i 210 . . 3  |-  ( E* x ph  <->  ( E. x ph  ->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
8 19.38 1611 . . . . 5  |-  ( ( E. x ph  ->  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  A. x ( ph  ->  A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
9219.21 1520 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ph  ->  ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( ph  ->  A. y ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
109albii 1404 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  A. x
( ph  ->  A. y
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
118, 10sylibr 132 . . . 4  |-  ( ( E. x ph  ->  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  A. x A. y (
ph  ->  ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
12 anabs5 540 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph ) )  <->  ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph ) )
13 pm3.31 258 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  ( ( ph  /\  ( ph  /\  [
y  /  x ] ph ) )  ->  x  =  y ) )
1412, 13syl5bir 151 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
15142alimi 1390 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  ( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
1611, 15syl 14 . . 3  |-  ( ( E. x ph  ->  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
177, 16sylbi 119 . 2  |-  ( E* x ph  ->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
183simplbi2com 1378 . . 3  |-  ( A. x A. y ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  ( E. x ph  ->  E! x ph ) )
1918, 5sylibr 132 . 2  |-  ( A. x A. y ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  ->  E* x ph )
2017, 19impbii 124 1  |-  ( E* x ph  <->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287   E.wex 1426   [wsb 1692   E!weu 1948   E*wmo 1949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952
This theorem is referenced by:  mo3  2002  mo2dc  2003  mo4f  2008  moim  2012  moimv  2014  moanim  2022  mopick  2026
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