Theorem mo3h 2106

Description: Alternate definition of "at most one". Definition of [BellMachover] p. 460, except that definition has the side condition that y not occur in ph in place of our hypothesis. (Contributed by NM, 8-Mar-1995.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
mo3h.1	|- ( ph -> A. y ph )

Assertion

Ref	Expression
mo3h	|- ( E* x ph <-> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mo3h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mo3h.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y ph )
2	1	nfi 1484	. . . . . 6 |- F/ y ph
3	2	eu2 2097	. . . . 5 |- ( E! x ph <-> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
4	3	imbi2i 226	. . . 4 |- ( ( E. x ph -> E! x ph ) <-> ( E. x ph -> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
5		df-mo 2057	. . . 4 |- ( E* x ph <-> ( E. x ph -> E! x ph ) )
6		anclb 319	. . . 4 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( E. x ph -> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
7	4, 5, 6	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E* x ph <-> ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
8		19.38 1698	. . . . 5 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x ( ph -> A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
9	2	19.21 1605	. . . . . 6 |- ( A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( ph -> A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
10	9	albii 1492	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> A. x ( ph -> A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
11	8, 10	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
12		anabs5 573	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ph /\ [ y / x ] ph ) )
13		pm3.31 262	. . . . . 6 |- ( ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> ( ( ph /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) )
14	12, 13	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
15	14	2alimi 1478	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
16	11, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
17	7, 16	sylbi 121	. 2 |- ( E* x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
18	3	simplbi2com 1463	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> ( E. x ph -> E! x ph ) )
19	18, 5	sylibr 134	. 2 |- ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E* x ph )
20	17, 19	impbii 126	1 |- ( E* x ph <-> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1370   E.wex 1514   [wsb 1784   E!weu 2053   E*wmo 2054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057

This theorem is referenced by:  mo3  2107  mo2dc  2108  mo4f  2113  moim  2117  moimv  2119  moanim  2127  mopick  2131