Theorem mo3h 2002

Description: Alternate definition of "at most one." Definition of [BellMachover] p. 460, except that definition has the side condition that y not occur in ph in place of our hypothesis. (Contributed by NM, 8-Mar-1995.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
mo3h.1	|- ( ph -> A. y ph )

Assertion

Ref	Expression
mo3h	|- ( E* x ph <-> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem mo3h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mo3h.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y ph )
2	1	nfi 1397	. . . . . 6 |- F/ y ph
3	2	eu2 1993	. . . . 5 |- ( E! x ph <-> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
4	3	imbi2i 225	. . . 4 |- ( ( E. x ph -> E! x ph ) <-> ( E. x ph -> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
5		df-mo 1953	. . . 4 |- ( E* x ph <-> ( E. x ph -> E! x ph ) )
6		anclb 313	. . . 4 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( E. x ph -> ( E. x ph /\ A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) ) )
7	4, 5, 6	3bitr4i 211	. . 3 |- ( E* x ph <-> ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
8		19.38 1612	. . . . 5 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x ( ph -> A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
9	2	19.21 1521	. . . . . 6 |- ( A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> ( ph -> A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
10	9	albii 1405	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) <-> A. x ( ph -> A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
11	8, 10	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) )
12		anabs5 541	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) <-> ( ph /\ [ y / x ] ph ) )
13		pm3.31 259	. . . . . 6 |- ( ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> ( ( ph /\ ( ph /\ [ y / x ] ph ) ) -> x = y ) )
14	12, 13	syl5bir 152	. . . . 5 |- ( ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
15	14	2alimi 1391	. . . 4 |- ( A. x A. y ( ph -> ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
16	11, 15	syl 14	. . 3 |- ( ( E. x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) ) -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
17	7, 16	sylbi 120	. 2 |- ( E* x ph -> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )
18	3	simplbi2com 1379	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> ( E. x ph -> E! x ph ) )
19	18, 5	sylibr 133	. 2 |- ( A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) -> E* x ph )
20	17, 19	impbii 125	1 |- ( E* x ph <-> A. x A. y ( ( ph /\ [ y / x ] ph ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1288   E.wex 1427   [wsb 1693   E!weu 1949   E*wmo 1950

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953

This theorem is referenced by:  mo3  2003  mo2dc  2004  mo4f  2009  moim  2013  moimv  2015  moanim  2023  mopick  2027