Theorem exmidontriimlem1 7567

Description: Lemma for exmidontriim 7571. A variation of r19.30dc 2698. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem1	⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Proof of Theorem exmidontriimlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 1012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → (𝜑 ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
3	2	orcomd 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑))
4	3	ralimi 2613	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑))
5		exmidexmid 4328	. . . . 5 ⊢ (EXMID → DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
6		r19.30dc 2698	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑) ∧ DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8	7	orcomd 741	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)))
9		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒))
10		simplr 533	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → EXMID)
11		orcom 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (𝜒 ∨ 𝜓))
12	11	ralbii 2556	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓))
13	12	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓))
14		exmidexmid 4328	. . . . . . . 8 ⊢ (EXMID → DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
15		r19.30dc 2698	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓) ∧ DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
17	16	orcomd 741	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
18	9, 10, 17	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
19	18	ex 115	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
20	19	orim2d 800	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))))
21	8, 20	mpd 13	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
22		3orass 1012	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
23	21, 22	sylibr 134	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∨ w3o 1008  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  EXMIDwem 4326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-exmid 4327

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem2  7568