Theorem exmidontriimlem1 7281

Description: Lemma for exmidontriim 7285. A variation of r19.30dc 2641. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem1	⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Proof of Theorem exmidontriimlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 983	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → (𝜑 ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
3	2	orcomd 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑))
4	3	ralimi 2557	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑))
5		exmidexmid 4225	. . . . 5 ⊢ (EXMID → DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
6		r19.30dc 2641	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑) ∧ DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8	7	orcomd 730	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)))
9		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒))
10		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → EXMID)
11		orcom 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (𝜒 ∨ 𝜓))
12	11	ralbii 2500	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓))
13	12	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓))
14		exmidexmid 4225	. . . . . . . 8 ⊢ (EXMID → DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
15		r19.30dc 2641	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓) ∧ DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
17	16	orcomd 730	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
18	9, 10, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
19	18	ex 115	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
20	19	orim2d 789	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))))
21	8, 20	mpd 13	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
22		3orass 983	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
23	21, 22	sylibr 134	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∨ w3o 979  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  EXMIDwem 4223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-exmid 4224

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem2  7282