Theorem exmidontriimlem1 7479

Description: Lemma for exmidontriim 7483. A variation of r19.30dc 2681. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem1	⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Proof of Theorem exmidontriimlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 1008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → (𝜑 ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
3	2	orcomd 737	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑))
4	3	ralimi 2596	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑))
5		exmidexmid 4292	. . . . 5 ⊢ (EXMID → DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
6		r19.30dc 2681	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑) ∧ DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8	7	orcomd 737	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)))
9		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒))
10		simplr 529	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → EXMID)
11		orcom 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (𝜒 ∨ 𝜓))
12	11	ralbii 2539	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓))
13	12	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓))
14		exmidexmid 4292	. . . . . . . 8 ⊢ (EXMID → DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
15		r19.30dc 2681	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓) ∧ DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
16	13, 14, 15	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
17	16	orcomd 737	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
18	9, 10, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
19	18	ex 115	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
20	19	orim2d 796	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))))
21	8, 20	mpd 13	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
22		3orass 1008	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
23	21, 22	sylibr 134	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∨ w3o 1004  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  EXMIDwem 4290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-exmid 4291

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem2  7480