Theorem exmidontriimlem1 7177

Description: Lemma for exmidontriim 7181. A variation of r19.30dc 2613. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem1	⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Proof of Theorem exmidontriimlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (𝜑 ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
2	1	biimpi 119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → (𝜑 ∨ (𝜓 ∨ 𝜒)))
3	2	orcomd 719	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑))
4	3	ralimi 2529	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑))
5		exmidexmid 4175	. . . . 5 ⊢ (EXMID → DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
6		r19.30dc 2613	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜑) ∧ DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
8	7	orcomd 719	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)))
9		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒))
10		simplr 520	. . . . . 6 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → EXMID)
11		orcom 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (𝜒 ∨ 𝜓))
12	11	ralbii 2472	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓))
13	12	biimpi 119	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓))
14		exmidexmid 4175	. . . . . . . 8 ⊢ (EXMID → DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
15		r19.30dc 2613	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜒 ∨ 𝜓) ∧ DECID ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
16	13, 14, 15	syl2an 287	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
17	16	orcomd 719	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
18	9, 10, 17	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
19	18	ex 114	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
20	19	orim2d 778	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜓 ∨ 𝜒)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))))
21	8, 20	mpd 13	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
22		3orass 971	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒)))
23	21, 22	sylibr 133	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 ∨ 𝜓 ∨ 𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 824   ∨ w3o 967  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  EXMIDwem 4173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-exmid 4174

This theorem is referenced by:  exmidontriimlem2  7178