ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exmidontriimlem1 GIF version

Theorem exmidontriimlem1 7156
Description: Lemma for exmidontriim 7160. A variation of r19.30dc 2604. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
exmidontriimlem1 ((∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥𝐴 𝜒))

Proof of Theorem exmidontriimlem1
StepHypRef Expression
1 3orass 966 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓𝜒) ↔ (𝜑 ∨ (𝜓𝜒)))
21biimpi 119 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓𝜒) → (𝜑 ∨ (𝜓𝜒)))
32orcomd 719 . . . . . 6 ((𝜑𝜓𝜒) → ((𝜓𝜒) ∨ 𝜑))
43ralimi 2520 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓𝜒) → ∀𝑥𝐴 ((𝜓𝜒) ∨ 𝜑))
5 exmidexmid 4157 . . . . 5 (EXMIDDECID𝑥𝐴 𝜑)
6 r19.30dc 2604 . . . . 5 ((∀𝑥𝐴 ((𝜓𝜒) ∨ 𝜑) ∧ DECID𝑥𝐴 𝜑) → (∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒) ∨ ∃𝑥𝐴 𝜑))
74, 5, 6syl2an 287 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒) ∨ ∃𝑥𝐴 𝜑))
87orcomd 719 . . 3 ((∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒)))
9 simpr 109 . . . . . 6 (((∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒)) → ∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒))
10 simplr 520 . . . . . 6 (((∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒)) → EXMID)
11 orcom 718 . . . . . . . . . 10 ((𝜓𝜒) ↔ (𝜒𝜓))
1211ralbii 2463 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝜒𝜓))
1312biimpi 119 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒) → ∀𝑥𝐴 (𝜒𝜓))
14 exmidexmid 4157 . . . . . . . 8 (EXMIDDECID𝑥𝐴 𝜓)
15 r19.30dc 2604 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴 (𝜒𝜓) ∧ DECID𝑥𝐴 𝜓) → (∀𝑥𝐴 𝜒 ∨ ∃𝑥𝐴 𝜓))
1613, 14, 15syl2an 287 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥𝐴 𝜒 ∨ ∃𝑥𝐴 𝜓))
1716orcomd 719 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥𝐴 𝜒))
189, 10, 17syl2anc 409 . . . . 5 (((∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓𝜒) ∧ EXMID) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒)) → (∃𝑥𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥𝐴 𝜒))
1918ex 114 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓𝜒) ∧ EXMID) → (∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒) → (∃𝑥𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥𝐴 𝜒)))
2019orim2d 778 . . 3 ((∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓𝜒) ∧ EXMID) → ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∀𝑥𝐴 (𝜓𝜒)) → (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥𝐴 𝜒))))
218, 20mpd 13 . 2 ((∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥𝐴 𝜒)))
22 3orass 966 . 2 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥𝐴 𝜒) ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ (∃𝑥𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥𝐴 𝜒)))
2321, 22sylibr 133 1 ((∀𝑥𝐴 (𝜑𝜓𝜒) ∧ EXMID) → (∃𝑥𝐴 𝜑 ∨ ∃𝑥𝐴 𝜓 ∨ ∀𝑥𝐴 𝜒))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 698  DECID wdc 820  w3o 962  wral 2435  wrex 2436  EXMIDwem 4155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-exmid 4156
This theorem is referenced by:  exmidontriimlem2  7157
  Copyright terms: Public domain W3C validator