Theorem djudomr 7197

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudomr	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B ~<_ ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djudomr

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inr 7025	. . . . 5 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
2	1	funmpt2 5237	. . . 4 |- Fun inr
3		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B e. W )
4		resfunexg 5717	. . . 4 |- ( ( Fun inr /\ B e. W ) -> (inr |` B ) e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 412	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (inr |` B ) e. _V )
6		inrresf1 7039	. . 3 |- (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B )
7		f1eq1 5398	. . . 4 |- ( f = (inr |` B ) -> ( f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) <-> (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
8	7	spcegv 2818	. . 3 |- ( (inr |` B ) e. _V -> ( (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B ) -> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
9	5, 6, 8	mpisyl 1439	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) )
10		djuex 7020	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )
11		brdomg 6726	. . 3 |- ( ( A ⊔ B ) e. _V -> ( B ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( B ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
13	9, 12	mpbird 166	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B ~<_ ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   <.cop 3586   class class class wbr 3989   |` cres 4613   Fun wfun 5192   -1-1->wf1 5195   1oc1o 6388   ~<_ cdom 6717   ⊔ cdju 7014  inrcinr 7023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-dom 6720  df-dju 7015  df-inr 7025

This theorem is referenced by:  sbthom  14058