Theorem djudomr 7303

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudomr	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B ~<_ ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djudomr

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inr 7123	. . . . 5 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
2	1	funmpt2 5298	. . . 4 |- Fun inr
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B e. W )
4		resfunexg 5786	. . . 4 |- ( ( Fun inr /\ B e. W ) -> (inr |` B ) e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (inr |` B ) e. _V )
6		inrresf1 7137	. . 3 |- (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B )
7		f1eq1 5461	. . . 4 |- ( f = (inr |` B ) -> ( f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) <-> (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
8	7	spcegv 2852	. . 3 |- ( (inr |` B ) e. _V -> ( (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B ) -> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
9	5, 6, 8	mpisyl 1457	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) )
10		djuex 7118	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )
11		brdomg 6816	. . 3 |- ( ( A ⊔ B ) e. _V -> ( B ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( B ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
13	9, 12	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B ~<_ ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   <.cop 3626   class class class wbr 4034   |` cres 4666   Fun wfun 5253   -1-1->wf1 5256   1oc1o 6476   ~<_ cdom 6807   ⊔ cdju 7112  inrcinr 7121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-1o 6483  df-dom 6810  df-dju 7113  df-inr 7123

This theorem is referenced by:  sbthom  15757