Theorem djudomr 7334

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudomr	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B ~<_ ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djudomr

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inr 7152	. . . . 5 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
2	1	funmpt2 5311	. . . 4 |- Fun inr
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B e. W )
4		resfunexg 5807	. . . 4 |- ( ( Fun inr /\ B e. W ) -> (inr |` B ) e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (inr |` B ) e. _V )
6		inrresf1 7166	. . 3 |- (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B )
7		f1eq1 5478	. . . 4 |- ( f = (inr |` B ) -> ( f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) <-> (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
8	7	spcegv 2861	. . 3 |- ( (inr |` B ) e. _V -> ( (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B ) -> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
9	5, 6, 8	mpisyl 1466	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) )
10		djuex 7147	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )
11		brdomg 6839	. . 3 |- ( ( A ⊔ B ) e. _V -> ( B ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( B ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
13	9, 12	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B ~<_ ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1515   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   <.cop 3636   class class class wbr 4045   |` cres 4678   Fun wfun 5266   -1-1->wf1 5269   1oc1o 6497   ~<_ cdom 6828   ⊔ cdju 7141  inrcinr 7150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-1o 6504  df-dom 6831  df-dju 7142  df-inr 7152

This theorem is referenced by:  sbthom  16002