Theorem djudomr 7540

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudomr	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B ~<_ ( A ⊔ B ) )

Proof of Theorem djudomr

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inr 7352	. . . . 5 |- inr = ( x e. _V |-> <. 1o , x >. )
2	1	funmpt2 5396	. . . 4 |- Fun inr
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B e. W )
4		resfunexg 5910	. . . 4 |- ( ( Fun inr /\ B e. W ) -> (inr |` B ) e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (inr |` B ) e. _V )
6		inrresf1 7366	. . 3 |- (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B )
7		f1eq1 5573	. . . 4 |- ( f = (inr |` B ) -> ( f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) <-> (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
8	7	spcegv 2907	. . 3 |- ( (inr |` B ) e. _V -> ( (inr |` B ) : B -1-1-> ( A ⊔ B ) -> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
9	5, 6, 8	mpisyl 1492	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) )
10		djuex 7347	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A ⊔ B ) e. _V )
11		brdomg 6998	. . 3 |- ( ( A ⊔ B ) e. _V -> ( B ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( B ~<_ ( A ⊔ B ) <-> E. f f : B -1-1-> ( A ⊔ B ) ) )
13	9, 12	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> B ~<_ ( A ⊔ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   <.cop 3697   class class class wbr 4114   |` cres 4756   Fun wfun 5351   -1-1->wf1 5354   1oc1o 6653   ~<_ cdom 6987   ⊔ cdju 7341  inrcinr 7350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-dom 6990  df-dju 7342  df-inr 7352

This theorem is referenced by:  sbthom  16932