Theorem f1setexg 6955

Description: The set of injections between two sets exists. (Contributed by AV, 14-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
f1setexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { f | f : A -1-1-> B } e. _V )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Allowed substitution hints:   V( f)   W( f)

Proof of Theorem f1setexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 5385	. . 3 |- ( f : A -1-1-> B <-> ( f : A --> B /\ Fun `' f ) )
2	1	abbii 2354	. 2 |- { f | f : A -1-1-> B } = { f | ( f : A --> B /\ Fun `' f ) }
3	2	fabexg 5582	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { f | f : A -1-1-> B } e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   `'ccnv 4775   Fun wfun 5374   -->wf 5376   -1-1->wf1 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385

This theorem is used by:  hashf1lem1  11307