Theorem f1ssres 5607

Description: A function that is one-to-one is also one-to-one on any subclass of its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1ssres	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1→𝐵)

Proof of Theorem f1ssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5598	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fssres 5565	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)
4		df-f1 5382	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹))
5	4	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → Fun ◡𝐹)
6		funres11 5453	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝐹 → Fun ◡(𝐹 ↾ 𝐶))
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → Fun ◡(𝐹 ↾ 𝐶))
8	7	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → Fun ◡(𝐹 ↾ 𝐶))
9		df-f1 5382	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1→𝐵 ↔ ((𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵 ∧ Fun ◡(𝐹 ↾ 𝐶)))
10	3, 8, 9	sylanbrc 421	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1→𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ⊆ wss 3220  ^◡ccnv 4773   ↾ cres 4776  Fun wfun 5371  ⟶wf 5373  –1-1→wf1 5374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382

This theorem is used by:  f1resf1  5608  f1ores  5654  hashf1lem2  11286  conjsubgen  14081