ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ssres GIF version

Theorem f1ssres 5385
Description: A function that is one-to-one is also one-to-one on any subclass of its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1ssres ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)

Proof of Theorem f1ssres
StepHypRef Expression
1 f1f 5376 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 fssres 5346 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶𝐵)
31, 2sylan 281 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶𝐵)
4 df-f1 5176 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ Fun 𝐹))
54simprbi 273 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
6 funres11 5243 . . . 4 (Fun 𝐹 → Fun (𝐹𝐶))
75, 6syl 14 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun (𝐹𝐶))
87adantr 274 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → Fun (𝐹𝐶))
9 df-f1 5176 . 2 ((𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵 ↔ ((𝐹𝐶):𝐶𝐵 ∧ Fun (𝐹𝐶)))
103, 8, 9sylanbrc 414 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wss 3102  ccnv 4586  cres 4589  Fun wfun 5165  wf 5167  1-1wf1 5168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3967  df-opab 4027  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176
This theorem is referenced by:  f1resf1  5386  f1ores  5430
  Copyright terms: Public domain W3C validator