Theorem f1ores 5549

Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image. (Contributed by NM, 25-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1ores	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )

Proof of Theorem f1ores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ssres 5502	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )
2		f1f1orn 5545	. . 3 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-> B -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
4		df-ima 4696	. . 3 |- ( F " C ) = ran ( F |` C )
5		f1oeq3 5524	. . 3 |- ( ( F " C ) = ran ( F |` C ) -> ( ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) <-> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) <-> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
7	3, 6	sylibr 134	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   C_ wss 3170   ran crn 4684   |` cres 4685   "cima 4686   -1-1->wf1 5277   -1-1-onto->wf1o 5279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287

This theorem is referenced by:  f1imacnv  5551  f1oresrab  5758  isores3  5897  isoini2  5901  f1imaeng  6897  f1imaen2g  6898  preimaf1ofi  7068  endjusym  7213  dju1p1e2  7321  fisumss  11778  fprodssdc  11976  ssnnctlemct  12892  eqgen  13638  domomsubct  16079