Theorem f1ores 5559

Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image. (Contributed by NM, 25-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1ores	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )

Proof of Theorem f1ores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ssres 5512	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )
2		f1f1orn 5555	. . 3 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-> B -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
4		df-ima 4706	. . 3 |- ( F " C ) = ran ( F |` C )
5		f1oeq3 5534	. . 3 |- ( ( F " C ) = ran ( F |` C ) -> ( ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) <-> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) <-> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
7	3, 6	sylibr 134	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   C_ wss 3174   ran crn 4694   |` cres 4695   "cima 4696   -1-1->wf1 5287   -1-1-onto->wf1o 5289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297

This theorem is referenced by:  f1imacnv  5561  f1oresrab  5768  isores3  5907  isoini2  5911  f1imaeng  6907  f1imaen2g  6908  preimaf1ofi  7079  endjusym  7224  dju1p1e2  7336  fisumss  11818  fprodssdc  12016  ssnnctlemct  12932  eqgen  13678  domomsubct  16140