Theorem f1ores 5599

Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image. (Contributed by NM, 25-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1ores	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )

Proof of Theorem f1ores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ssres 5552	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )
2		f1f1orn 5595	. . 3 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-> B -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
4		df-ima 4738	. . 3 |- ( F " C ) = ran ( F |` C )
5		f1oeq3 5574	. . 3 |- ( ( F " C ) = ran ( F |` C ) -> ( ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) <-> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) <-> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
7	3, 6	sylibr 134	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   C_ wss 3200   ran crn 4726   |` cres 4727   "cima 4728   -1-1->wf1 5323   -1-1-onto->wf1o 5325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333

This theorem is referenced by:  f1imacnv  5601  f1oresrab  5813  isores3  5959  isoini2  5963  f1imaeng  6969  f1imaen2g  6970  preimaf1ofi  7153  endjusym  7298  dju1p1e2  7411  fisumss  11974  fprodssdc  12172  ssnnctlemct  13088  eqgen  13835  ushgredgedg  16104  ushgredgedgloop  16106  trlreslem  16267  domomsubct  16661