Theorem f1ores 5390

Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image. (Contributed by NM, 25-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1ores	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )

Proof of Theorem f1ores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ssres 5345	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )
2		f1f1orn 5386	. . 3 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-> B -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
4		df-ima 4560	. . 3 |- ( F " C ) = ran ( F |` C )
5		f1oeq3 5366	. . 3 |- ( ( F " C ) = ran ( F |` C ) -> ( ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) <-> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) <-> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
7	3, 6	sylibr 133	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   C_ wss 3076   ran crn 4548   |` cres 4549   "cima 4550   -1-1->wf1 5128   -1-1-onto->wf1o 5130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138

This theorem is referenced by:  f1imacnv  5392  f1oresrab  5593  isores3  5724  isoini2  5728  f1imaeng  6694  f1imaen2g  6695  preimaf1ofi  6847  endjusym  6989  dju1p1e2  7070  fisumss  11193