Theorem fsnd 5410

Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsnd.a	|- ( ph -> A e. V )
fsnd.b	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
fsnd	|- ( ph -> { <. A , B >. } : { A } --> W )

Proof of Theorem fsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsnd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		fsnd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. W )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
4		f1sng 5409	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )
5		f1f 5328	. 2 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W -> { <. A , B >. } : { A } --> W )
6	3, 4, 5	3syl 17	1 |- ( ph -> { <. A , B >. } : { A } --> W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   {csn 3527   <.cop 3530   -->wf 5119   -1-1->wf1 5120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130

This theorem is referenced by: (None)