Theorem fsnd 5475

Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsnd.a	|- ( ph -> A e. V )
fsnd.b	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
fsnd	|- ( ph -> { <. A , B >. } : { A } --> W )

Proof of Theorem fsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsnd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		fsnd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. W )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
4		f1sng 5474	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )
5		f1f 5393	. 2 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W -> { <. A , B >. } : { A } --> W )
6	3, 4, 5	3syl 17	1 |- ( ph -> { <. A , B >. } : { A } --> W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   {csn 3576   <.cop 3579   -->wf 5184   -1-1->wf1 5185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195

This theorem is referenced by: (None)