Theorem fsnd 5485

Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsnd.a	|- ( ph -> A e. V )
fsnd.b	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
fsnd	|- ( ph -> { <. A , B >. } : { A } --> W )

Proof of Theorem fsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsnd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		fsnd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. W )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
4		f1sng 5484	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )
5		f1f 5403	. 2 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W -> { <. A , B >. } : { A } --> W )
6	3, 4, 5	3syl 17	1 |- ( ph -> { <. A , B >. } : { A } --> W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   {csn 3583   <.cop 3586   -->wf 5194   -1-1->wf1 5195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205

This theorem is referenced by: (None)