Theorem fsnd 5418

Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsnd.a	|- ( ph -> A e. V )
fsnd.b	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
fsnd	|- ( ph -> { <. A , B >. } : { A } --> W )

Proof of Theorem fsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsnd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		fsnd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. W )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
4		f1sng 5417	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )
5		f1f 5336	. 2 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W -> { <. A , B >. } : { A } --> W )
6	3, 4, 5	3syl 17	1 |- ( ph -> { <. A , B >. } : { A } --> W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   {csn 3532   <.cop 3535   -->wf 5127   -1-1->wf1 5128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138

This theorem is referenced by: (None)