Theorem fsnd 5547

Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsnd.a	|- ( ph -> A e. V )
fsnd.b	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
fsnd	|- ( ph -> { <. A , B >. } : { A } --> W )

Proof of Theorem fsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsnd.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		fsnd.b	. . 3 |- ( ph -> B e. W )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
4		f1sng 5546	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )
5		f1f 5463	. 2 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W -> { <. A , B >. } : { A } --> W )
6	3, 4, 5	3syl 17	1 |- ( ph -> { <. A , B >. } : { A } --> W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   {csn 3622   <.cop 3625   -->wf 5254   -1-1->wf1 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265

This theorem is referenced by:  snopiswrd  10945