ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsnd GIF version

Theorem fsnd 5543
Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsnd.a (𝜑𝐴𝑉)
fsnd.b (𝜑𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
fsnd (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Proof of Theorem fsnd
StepHypRef Expression
1 fsnd.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 fsnd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
31, 2jca 306 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
4 f1sng 5542 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊)
5 f1f 5459 . 2 ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1𝑊 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
63, 4, 53syl 17 1 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2164  {csn 3618  cop 3621  wf 5250  1-1wf1 5251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261
This theorem is referenced by:  snopiswrd  10924
  Copyright terms: Public domain W3C validator