Theorem fsnd 5659

Description: A singleton of an ordered pair is a function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fsnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsnd	⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Proof of Theorem fsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsnd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		fsnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
4		f1sng 5658	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊)
5		f1f 5573	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1→𝑊 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)
6	3, 4, 5	3syl 17	1 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}⟶𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203  {csn 3689  ⟨cop 3692  ⟶wf 5348  –1-1→wf1 5349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359

This theorem is referenced by:  snopiswrd  11234  upgr1edc  16116  umgr1een  16120