Theorem f1sng 5630

Description: A singleton of an ordered pair is a one-to-one function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
f1sng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )

Proof of Theorem f1sng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5629	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
2		f1of1 5585	. . 3 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } )
4		snssi 3818	. . 3 |- ( B e. W -> { B } C_ W )
5	4	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { B } C_ W )
6		f1ss 5551	. 2 |- ( ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } /\ { B } C_ W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2201   C_ wss 3199   {csn 3670   <.cop 3673   -1-1->wf1 5325   -1-1-onto->wf1o 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-br 4090  df-opab 4152  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335

This theorem is referenced by:  fsnd  5631  dom1o  7007  uspgr1edc  16120