Theorem f1sng 5409

Description: A singleton of an ordered pair is a one-to-one function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
f1sng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )

Proof of Theorem f1sng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5408	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
2		f1of1 5366	. . 3 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } )
4		snssi 3664	. . 3 |- ( B e. W -> { B } C_ W )
5	4	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { B } C_ W )
6		f1ss 5334	. 2 |- ( ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } /\ { B } C_ W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )
7	3, 5, 6	syl2anc 408	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   C_ wss 3071   {csn 3527   <.cop 3530   -1-1->wf1 5120   -1-1-onto->wf1o 5122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130

This theorem is referenced by:  fsnd  5410