Theorem f1sng 5657

Description: A singleton of an ordered pair is a one-to-one function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
f1sng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )

Proof of Theorem f1sng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5656	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
2		f1of1 5612	. . 3 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } )
4		snssi 3837	. . 3 |- ( B e. W -> { B } C_ W )
5	4	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { B } C_ W )
6		f1ss 5578	. 2 |- ( ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } /\ { B } C_ W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   C_ wss 3210   {csn 3688   <.cop 3691   -1-1->wf1 5348   -1-1-onto->wf1o 5350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358

This theorem is referenced by:  fsnd  5658  dom1o  7068  uspgr1edc  16222