Theorem f1sng 5542

Description: A singleton of an ordered pair is a one-to-one function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
f1sng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )

Proof of Theorem f1sng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5541	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
2		f1of1 5499	. . 3 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } )
4		snssi 3762	. . 3 |- ( B e. W -> { B } C_ W )
5	4	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { B } C_ W )
6		f1ss 5465	. 2 |- ( ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } /\ { B } C_ W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   C_ wss 3153   {csn 3618   <.cop 3621   -1-1->wf1 5251   -1-1-onto->wf1o 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261

This theorem is referenced by:  fsnd  5543