Theorem f1sng 5627

Description: A singleton of an ordered pair is a one-to-one function. (Contributed by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
f1sng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )

Proof of Theorem f1sng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5626	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
2		f1of1 5582	. . 3 |- ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } )
4		snssi 3817	. . 3 |- ( B e. W -> { B } C_ W )
5	4	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { B } C_ W )
6		f1ss 5548	. 2 |- ( ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-> { B } /\ { B } C_ W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-> W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   C_ wss 3200   {csn 3669   <.cop 3672   -1-1->wf1 5323   -1-1-onto->wf1o 5325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333

This theorem is referenced by:  fsnd  5628  dom1o  7002  uspgr1edc  16093