Theorem f1oprg 5258

Description: An unordered pair of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
f1oprg	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= C /\ B =/= D ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )

Proof of Theorem f1oprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5257	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
2	1	ad2antrr 472	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
3		f1osng 5257	. . . . 5 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } )
4	3	ad2antlr 473	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } )
5		disjsn2 3488	. . . . 5 |- ( A =/= C -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
6	5	ad2antrl 474	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
7		disjsn2 3488	. . . . 5 |- ( B =/= D -> ( { B } i^i { D } ) = (/) )
8	7	ad2antll 475	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { B } i^i { D } ) = (/) )
9		f1oun 5236	. . . 4 |- ( ( ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } /\ { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } ) /\ ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { D } ) = (/) ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) )
10	2, 4, 6, 8, 9	syl22anc 1173	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) )
11		df-pr 3438	. . . . . 6 |- { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
12	11	eqcomi 2089	. . . . 5 |- ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = { <. A , B >. , <. C , D >. }
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = { <. A , B >. , <. C , D >. } )
14		df-pr 3438	. . . . . 6 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
15	14	eqcomi 2089	. . . . 5 |- ( { A } u. { C } ) = { A , C }
16	15	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { A } u. { C } ) = { A , C } )
17		df-pr 3438	. . . . . 6 |- { B , D } = ( { B } u. { D } )
18	17	eqcomi 2089	. . . . 5 |- ( { B } u. { D } ) = { B , D }
19	18	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { B } u. { D } ) = { B , D } )
20	13, 16, 19	f1oeq123d 5213	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) <-> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )
21	10, 20	mpbid 145	. 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } )
22	21	ex 113	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= C /\ B =/= D ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1287   e. wcel 1436   =/= wne 2251   u. cun 2986   i^i cin 2987   (/)c0 3275   {csn 3431   {cpr 3432   <.cop 3434   -1-1-onto->wf1o 4980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988

This theorem is referenced by: (None)