Theorem f1oprg 5484

Description: An unordered pair of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
f1oprg	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= C /\ B =/= D ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )

Proof of Theorem f1oprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5481	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
2	1	ad2antrr 485	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
3		f1osng 5481	. . . . 5 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } )
4	3	ad2antlr 486	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } )
5		disjsn2 3644	. . . . 5 |- ( A =/= C -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
6	5	ad2antrl 487	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
7		disjsn2 3644	. . . . 5 |- ( B =/= D -> ( { B } i^i { D } ) = (/) )
8	7	ad2antll 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { B } i^i { D } ) = (/) )
9		f1oun 5460	. . . 4 |- ( ( ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } /\ { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } ) /\ ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { D } ) = (/) ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) )
10	2, 4, 6, 8, 9	syl22anc 1234	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) )
11		df-pr 3588	. . . . . 6 |- { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
12	11	eqcomi 2174	. . . . 5 |- ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = { <. A , B >. , <. C , D >. }
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = { <. A , B >. , <. C , D >. } )
14		df-pr 3588	. . . . . 6 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
15	14	eqcomi 2174	. . . . 5 |- ( { A } u. { C } ) = { A , C }
16	15	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { A } u. { C } ) = { A , C } )
17		df-pr 3588	. . . . . 6 |- { B , D } = ( { B } u. { D } )
18	17	eqcomi 2174	. . . . 5 |- ( { B } u. { D } ) = { B , D }
19	18	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { B } u. { D } ) = { B , D } )
20	13, 16, 19	f1oeq123d 5435	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) <-> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )
21	10, 20	mpbid 146	. 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } )
22	21	ex 114	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= C /\ B =/= D ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   u. cun 3119   i^i cin 3120   (/)c0 3414   {csn 3581   {cpr 3582   <.cop 3584   -1-1-onto->wf1o 5195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203

This theorem is referenced by: (None)