Theorem f1oprg 5507

Description: An unordered pair of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
f1oprg	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= C /\ B =/= D ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )

Proof of Theorem f1oprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5504	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
3		f1osng 5504	. . . . 5 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } )
4	3	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } )
5		disjsn2 3657	. . . . 5 |- ( A =/= C -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
6	5	ad2antrl 490	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
7		disjsn2 3657	. . . . 5 |- ( B =/= D -> ( { B } i^i { D } ) = (/) )
8	7	ad2antll 491	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { B } i^i { D } ) = (/) )
9		f1oun 5483	. . . 4 |- ( ( ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } /\ { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } ) /\ ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { D } ) = (/) ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) )
10	2, 4, 6, 8, 9	syl22anc 1239	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) )
11		df-pr 3601	. . . . . 6 |- { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
12	11	eqcomi 2181	. . . . 5 |- ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = { <. A , B >. , <. C , D >. }
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = { <. A , B >. , <. C , D >. } )
14		df-pr 3601	. . . . . 6 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
15	14	eqcomi 2181	. . . . 5 |- ( { A } u. { C } ) = { A , C }
16	15	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { A } u. { C } ) = { A , C } )
17		df-pr 3601	. . . . . 6 |- { B , D } = ( { B } u. { D } )
18	17	eqcomi 2181	. . . . 5 |- ( { B } u. { D } ) = { B , D }
19	18	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { B } u. { D } ) = { B , D } )
20	13, 16, 19	f1oeq123d 5457	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) <-> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )
21	10, 20	mpbid 147	. 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } )
22	21	ex 115	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= C /\ B =/= D ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   u. cun 3129   i^i cin 3130   (/)c0 3424   {csn 3594   {cpr 3595   <.cop 3597   -1-1-onto->wf1o 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225

This theorem is referenced by: (None)