Theorem f1oprg 5470

Description: An unordered pair of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
f1oprg	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= C /\ B =/= D ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )

Proof of Theorem f1oprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5467	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
2	1	ad2antrr 480	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
3		f1osng 5467	. . . . 5 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } )
4	3	ad2antlr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } )
5		disjsn2 3633	. . . . 5 |- ( A =/= C -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
6	5	ad2antrl 482	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
7		disjsn2 3633	. . . . 5 |- ( B =/= D -> ( { B } i^i { D } ) = (/) )
8	7	ad2antll 483	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { B } i^i { D } ) = (/) )
9		f1oun 5446	. . . 4 |- ( ( ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } /\ { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } ) /\ ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { D } ) = (/) ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) )
10	2, 4, 6, 8, 9	syl22anc 1228	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) )
11		df-pr 3577	. . . . . 6 |- { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
12	11	eqcomi 2168	. . . . 5 |- ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = { <. A , B >. , <. C , D >. }
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = { <. A , B >. , <. C , D >. } )
14		df-pr 3577	. . . . . 6 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
15	14	eqcomi 2168	. . . . 5 |- ( { A } u. { C } ) = { A , C }
16	15	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { A } u. { C } ) = { A , C } )
17		df-pr 3577	. . . . . 6 |- { B , D } = ( { B } u. { D } )
18	17	eqcomi 2168	. . . . 5 |- ( { B } u. { D } ) = { B , D }
19	18	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { B } u. { D } ) = { B , D } )
20	13, 16, 19	f1oeq123d 5421	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) <-> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )
21	10, 20	mpbid 146	. 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } )
22	21	ex 114	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= C /\ B =/= D ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   =/= wne 2334   u. cun 3109   i^i cin 3110   (/)c0 3404   {csn 3570   {cpr 3571   <.cop 3573   -1-1-onto->wf1o 5181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189

This theorem is referenced by: (None)