Theorem fssres2 5347

Description: Restriction of a restricted function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fssres2	|- ( ( ( F |` A ) : A --> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )

Proof of Theorem fssres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssres 5345	. 2 |- ( ( ( F |` A ) : A --> B /\ C C_ A ) -> ( ( F |` A ) |` C ) : C --> B )
2		resabs1 4895	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( ( F |` A ) |` C ) = ( F |` C ) )
3	2	feq1d 5306	. . 3 |- ( C C_ A -> ( ( ( F |` A ) |` C ) : C --> B <-> ( F |` C ) : C --> B ) )
4	3	adantl 275	. 2 |- ( ( ( F |` A ) : A --> B /\ C C_ A ) -> ( ( ( F |` A ) |` C ) : C --> B <-> ( F |` C ) : C --> B ) )
5	1, 4	mpbid 146	1 |- ( ( ( F |` A ) : A --> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   C_ wss 3102   |` cres 4588   -->wf 5166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174

This theorem is referenced by:  frecsuclem  6353