ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fssres2 GIF version

Theorem fssres2 5223
Description: Restriction of a restricted function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
fssres2 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶𝐵)

Proof of Theorem fssres2
StepHypRef Expression
1 fssres 5221 . 2 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐴) ↾ 𝐶):𝐶𝐵)
2 resabs1 4774 . . . 4 (𝐶𝐴 → ((𝐹𝐴) ↾ 𝐶) = (𝐹𝐶))
32feq1d 5183 . . 3 (𝐶𝐴 → (((𝐹𝐴) ↾ 𝐶):𝐶𝐵 ↔ (𝐹𝐶):𝐶𝐵))
43adantl 272 . 2 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝐶𝐴) → (((𝐹𝐴) ↾ 𝐶):𝐶𝐵 ↔ (𝐹𝐶):𝐶𝐵))
51, 4mpbid 146 1 (((𝐹𝐴):𝐴𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wss 3013  cres 4469  wf 5045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053
This theorem is referenced by:  frecsuclem  6209
  Copyright terms: Public domain W3C validator