Theorem List for Intuitionistic Logic Explorer - 5301-5400 *Has distinct variable
group(s)
Type | Label | Description |
Statement |
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Theorem | ffdm 5301 |
A mapping is a partial function. (Contributed by NM, 25-Nov-2007.)
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![F F](_cf.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | opelf 5302 |
The members of an ordered pair element of a mapping belong to the
mapping's domain and codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
(Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-->
-->](longrightarrow.gif) ![<. <.](langle.gif) ![C C](_cc.gif) ![D D](_cd.gif) ![F F](_cf.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fun 5303 |
The union of two functions with disjoint domains. (Contributed by NM,
22-Sep-2004.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![( (](lp.gif)
![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fun2 5304 |
The union of two functions with disjoint domains. (Contributed by Mario
Carneiro, 12-Mar-2015.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![C C](_cc.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![( (](lp.gif)
![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fnfco 5305 |
Composition of two functions. (Contributed by NM, 22-May-2006.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![A A](_ca.gif)
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fssres 5306 |
Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by
NM, 23-Sep-2004.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-->
-->](longrightarrow.gif) ![A A](_ca.gif)
![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fssresd 5307 |
Restriction of a function with a subclass of its domain, deduction form.
(Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fssres2 5308 |
Restriction of a restricted function with a subclass of its domain.
(Contributed by NM, 21-Jul-2005.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fresin 5309 |
An identity for the mapping relationship under restriction. (Contributed
by Scott Fenton, 4-Sep-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro,
26-May-2016.)
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![X X](_cx.gif) ![) )](rp.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | resasplitss 5310 |
If two functions agree on their common domain, their union contains a
union of three functions with pairwise disjoint domains. If we assumed
the law of the excluded middle, this would be equality rather than subset.
(Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fcoi1 5311 |
Composition of a mapping and restricted identity. (Contributed by NM,
13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif)
![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fcoi2 5312 |
Composition of restricted identity and a mapping. (Contributed by NM,
13-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![F F](_cf.gif)
![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | feu 5313* |
There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed
by NM, 10-Dec-2003.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-->
-->](longrightarrow.gif) ![A A](_ca.gif)
![E! E!](_e1.gif) ![<. <.](langle.gif) ![C C](_cc.gif) ![y y](_y.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fcnvres 5314 |
The converse of a restriction of a function. (Contributed by NM,
26-Mar-1998.)
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif)
![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fimacnvdisj 5315 |
The preimage of a class disjoint with a mapping's codomain is empty.
(Contributed by FL, 24-Jan-2007.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-->
-->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif)
![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![F F](_cf.gif) ![" "](backquote.gif) ![C C](_cc.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fintm 5316* |
Function into an intersection. (Contributed by Jim Kingdon,
28-Dec-2018.)
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![E.
E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![|^| |^|](bigcap.gif) ![A.
A.](forall.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fin 5317 |
Mapping into an intersection. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Proof
shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif)
![C C](_cc.gif) ![(
(](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fabexg 5318* |
Existence of a set of functions. (Contributed by Paul Chapman,
25-Feb-2008.)
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![{ {](lbrace.gif) ![( (](lp.gif) ![x x](_x.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![ph ph](_varphi.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fabex 5319* |
Existence of a set of functions. (Contributed by NM, 3-Dec-2007.)
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![{ {](lbrace.gif)
![( (](lp.gif) ![x x](_x.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![ph ph](_varphi.gif) ![) )](rp.gif) ![_V _V](rmcv.gif) |
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Theorem | dmfex 5320 |
If a mapping is a set, its domain is a set. (Contributed by NM,
27-Aug-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![B B](_cb.gif)
![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f0 5321 |
The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)
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![(/) (/)](varnothing.gif) ![: :](colon.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![A A](_ca.gif) |
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Theorem | f00 5322 |
A class is a function with empty codomain iff it and its domain are empty.
(Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f0bi 5323 |
A function with empty domain is empty. (Contributed by Alexander van der
Vekens, 30-Jun-2018.)
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f0dom0 5324 |
A function is empty iff it has an empty domain. (Contributed by AV,
10-Feb-2019.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![X X](_cx.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![( (](lp.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f0rn0 5325* |
If there is no element in the range of a function, its domain must be
empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![E E](_ce.gif) ![: :](colon.gif) ![X X](_cx.gif) ![-->
-->](longrightarrow.gif) ![E. E.](exists.gif)
![E E](_ce.gif)
![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fconst 5326 |
A cross product with a singleton is a constant function. (Contributed
by NM, 14-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon,
17-Sep-2011.)
|
![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![B B](_cb.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![B B](_cb.gif) ![} }](rbrace.gif) |
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Theorem | fconstg 5327 |
A cross product with a singleton is a constant function. (Contributed
by NM, 19-Oct-2004.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![B B](_cb.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![B B](_cb.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fnconstg 5328 |
A cross product with a singleton is a constant function. (Contributed by
NM, 24-Jul-2014.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![B B](_cb.gif) ![} }](rbrace.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fconst6g 5329 |
Constant function with loose range. (Contributed by Stefan O'Rear,
1-Feb-2015.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![B B](_cb.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fconst6 5330 |
A constant function as a mapping. (Contributed by Jeff Madsen,
30-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
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![( (](lp.gif) ![{ {](lbrace.gif) ![B B](_cb.gif) ![} }](rbrace.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![C C](_cc.gif) |
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Theorem | f1eq1 5331 |
Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM,
10-Feb-1997.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f1eq2 5332 |
Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM,
10-Feb-1997.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f1eq3 5333 |
Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM,
10-Feb-1997.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | nff1 5334 |
Bound-variable hypothesis builder for a one-to-one function.
(Contributed by NM, 16-May-2004.)
|
![F/_ F/_](_finvbar.gif) ![x x](_x.gif) ![F/_ F/_](_finvbar.gif) ![x x](_x.gif) ![F/_ F/_](_finvbar.gif) ![x x](_x.gif) ![F/
F/](finv.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![B B](_cb.gif) |
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Theorem | dff12 5335* |
Alternate definition of a one-to-one function. (Contributed by NM,
31-Dec-1996.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![(
(](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![A. A.](forall.gif) ![y y](_y.gif) ![E* E*](_em1.gif) ![x x](_x.gif) ![F F](_cf.gif) ![y y](_y.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1f 5336 |
A one-to-one mapping is a mapping. (Contributed by NM, 31-Dec-1996.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1rn 5337 |
The range of a one-to-one mapping. (Contributed by BJ, 6-Jul-2022.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1fn 5338 |
A one-to-one mapping is a function on its domain. (Contributed by NM,
8-Mar-2014.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1fun 5339 |
A one-to-one mapping is a function. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1rel 5340 |
A one-to-one onto mapping is a relation. (Contributed by NM,
8-Mar-2014.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1dm 5341 |
The domain of a one-to-one mapping. (Contributed by NM, 8-Mar-2014.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1ss 5342 |
A function that is one-to-one is also one-to-one on some superset of its
range. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif)
![C C](_cc.gif)
![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1ssr 5343 |
Combine a one-to-one function with a restriction on the domain.
(Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif)
![C C](_cc.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1ff1 5344 |
If a function is one-to-one from A to B and is also a function from A to
C, then it is a one-to-one function from A to C. (Contributed by BJ,
4-Jul-2022.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif)
![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-->
-->](longrightarrow.gif) ![C C](_cc.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1ssres 5345 |
A function that is one-to-one is also one-to-one on any subclass of its
domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif)
![A A](_ca.gif)
![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1resf1 5346 |
The restriction of an injective function is injective. (Contributed by
AV, 28-Jun-2022.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif)
![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1cnvcnv 5347 |
Two ways to express that a set (not necessarily a function) is
one-to-one. Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of
[TakeutiZaring] p. 24, who use the
notation "Un2 (A)" for one-to-one.
We
do not introduce a separate notation since we rarely use it. (Contributed
by NM, 13-Aug-2004.)
|
![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![A A](_ca.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif)
![`' `'](_cnv.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1co 5348 |
Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring]
p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif)
![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | foeq1 5349 |
Equality theorem for onto functions. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | foeq2 5350 |
Equality theorem for onto functions. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | foeq3 5351 |
Equality theorem for onto functions. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | nffo 5352 |
Bound-variable hypothesis builder for an onto function. (Contributed by
NM, 16-May-2004.)
|
![F/_ F/_](_finvbar.gif) ![x x](_x.gif) ![F/_ F/_](_finvbar.gif) ![x x](_x.gif) ![F/_ F/_](_finvbar.gif) ![x x](_x.gif) ![F/
F/](finv.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![B B](_cb.gif) |
|
Theorem | fof 5353 |
An onto mapping is a mapping. (Contributed by NM, 3-Aug-1994.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | fofun 5354 |
An onto mapping is a function. (Contributed by NM, 29-Mar-2008.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif)
![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | fofn 5355 |
An onto mapping is a function on its domain. (Contributed by NM,
16-Dec-2008.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | forn 5356 |
The codomain of an onto function is its range. (Contributed by NM,
3-Aug-1994.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif)
![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | dffo2 5357 |
Alternate definition of an onto function. (Contributed by NM,
22-Mar-2006.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif)
![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | foima 5358 |
The image of the domain of an onto function. (Contributed by NM,
29-Nov-2002.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![" "](backquote.gif) ![A A](_ca.gif)
![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | dffn4 5359 |
A function maps onto its range. (Contributed by NM, 10-May-1998.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | funforn 5360 |
A function maps its domain onto its range. (Contributed by NM,
23-Jul-2004.)
|
![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | fodmrnu 5361 |
An onto function has unique domain and range. (Contributed by NM,
5-Nov-2006.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif)
![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif)
![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
|
Theorem | fores 5362 |
Restriction of a function. (Contributed by NM, 4-Mar-1997.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![F F](_cf.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) !["
"](backquote.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | foco 5363 |
Composition of onto functions. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif)
![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1oeq1 5364 |
Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM,
10-Feb-1997.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1oeq2 5365 |
Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM,
10-Feb-1997.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1oeq3 5366 |
Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM,
10-Feb-1997.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1oeq23 5367 |
Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by FL,
14-Jul-2012.)
|
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto->
-1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1eq123d 5368 |
Equality deduction for one-to-one functions. (Contributed by Mario
Carneiro, 27-Jan-2017.)
|
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | foeq123d 5369 |
Equality deduction for onto functions. (Contributed by Mario Carneiro,
27-Jan-2017.)
|
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1oeq123d 5370 |
Equality deduction for one-to-one onto functions. (Contributed by Mario
Carneiro, 27-Jan-2017.)
|
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1oeq2d 5371 |
Equality deduction for one-to-one onto functions. (Contributed by
Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
|
![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1oeq3d 5372 |
Equality deduction for one-to-one onto functions. (Contributed by
Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
|
![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | nff1o 5373 |
Bound-variable hypothesis builder for a one-to-one onto function.
(Contributed by NM, 16-May-2004.)
|
![F/_ F/_](_finvbar.gif) ![x x](_x.gif) ![F/_ F/_](_finvbar.gif) ![x x](_x.gif) ![F/_ F/_](_finvbar.gif) ![x x](_x.gif) ![F/
F/](finv.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto->
-1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![B B](_cb.gif) |
|
Theorem | f1of1 5374 |
A one-to-one onto mapping is a one-to-one mapping. (Contributed by NM,
12-Dec-2003.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1of 5375 |
A one-to-one onto mapping is a mapping. (Contributed by NM,
12-Dec-2003.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![--> -->](longrightarrow.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1ofn 5376 |
A one-to-one onto mapping is function on its domain. (Contributed by NM,
12-Dec-2003.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1ofun 5377 |
A one-to-one onto mapping is a function. (Contributed by NM,
12-Dec-2003.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1orel 5378 |
A one-to-one onto mapping is a relation. (Contributed by NM,
13-Dec-2003.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1odm 5379 |
The domain of a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM,
8-Mar-2014.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | dff1o2 5380 |
Alternate definition of one-to-one onto function. (Contributed by NM,
10-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif)
![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | dff1o3 5381 |
Alternate definition of one-to-one onto function. (Contributed by NM,
25-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1ofo 5382 |
A one-to-one onto function is an onto function. (Contributed by NM,
28-Apr-2004.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | dff1o4 5383 |
Alternate definition of one-to-one onto function. (Contributed by NM,
25-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | dff1o5 5384 |
Alternate definition of one-to-one onto function. (Contributed by NM,
10-Dec-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1orn 5385 |
A one-to-one function maps onto its range. (Contributed by NM,
13-Aug-2004.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![(
(](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1f1orn 5386 |
A one-to-one function maps one-to-one onto its range. (Contributed by NM,
4-Sep-2004.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1oabexg 5387* |
The class of all 1-1-onto functions mapping one set to another is a set.
(Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)
|
![{ {](lbrace.gif) ![( (](lp.gif) ![f f](_f.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![ph ph](_varphi.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![_V _V](rmcv.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | f1ocnv 5388 |
The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto.
(Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon,
22-Oct-2011.)
|
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f1ocnvb 5389 |
A relation is a one-to-one onto function iff its converse is a one-to-one
onto function with domain and range interchanged. (Contributed by NM,
8-Dec-2003.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f1ores 5390 |
The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image.
(Contributed by NM, 25-Mar-1998.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif)
![A A](_ca.gif)
![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![" "](backquote.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f1orescnv 5391 |
The converse of a one-to-one-onto restricted function. (Contributed by
Paul Chapman, 21-Apr-2008.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![( (](lp.gif) ![R R](_cr.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![R R](_cr.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![P P](_cp.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif)
![P P](_cp.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![P P](_cp.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![R R](_cr.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f1imacnv 5392 |
Preimage of an image. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif)
![A A](_ca.gif)
![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![F F](_cf.gif) ![" "](backquote.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) !["
"](backquote.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | foimacnv 5393 |
A reverse version of f1imacnv 5392. (Contributed by Jeff Hankins,
16-Jul-2009.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif)
![B B](_cb.gif)
![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) !["
"](backquote.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![F F](_cf.gif) ![" "](backquote.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | foun 5394 |
The union of two onto functions with disjoint domains is an onto function.
(Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2016.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![( (](lp.gif)
![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f1oun 5395 |
The union of two one-to-one onto functions with disjoint domains and
ranges. (Contributed by NM, 26-Mar-1998.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![C C](_cc.gif) ![-1-1-onto->
-1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![D D](_cd.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif)
![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![(/) (/)](varnothing.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) ![-1-1-onto->
-1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif)
![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | fun11iun 5396* |
The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions
is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2013.)
(Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
|
![( (](lp.gif) ![C C](_cc.gif)
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![: :](colon.gif) ![D D](_cd.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif)
![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif)
![U_ U_](_cupbar.gif) ![B B](_cb.gif) ![: :](colon.gif) ![U_ U_](_cupbar.gif)
![D D](_cd.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![S S](_cs.gif) ![) )](rp.gif) |
|
Theorem | resdif 5397 |
The restriction of a one-to-one onto function to a difference maps onto
the difference of the images. (Contributed by Paul Chapman,
11-Apr-2009.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![( (](lp.gif)
![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-onto-> -onto->](onto.gif) ![D D](_cd.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![( (](lp.gif) ![D D](_cd.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f1oco 5398 |
Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM,
19-Mar-1998.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![B B](_cb.gif) ![-1-1-onto->
-1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![G G](_cg.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | f1cnv 5399 |
The converse of an injective function is bijective. (Contributed by FL,
11-Nov-2011.)
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![( (](lp.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![A A](_ca.gif) ![-1-1-> -1-1->](onetoone.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![F F](_cf.gif) ![: :](colon.gif) ![F F](_cf.gif) ![-1-1-onto-> -1-1-onto->](onetooneonto.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
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Theorem | funcocnv2 5400 |
Composition with the converse. (Contributed by Jeff Madsen,
2-Sep-2009.)
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![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![`' `'](_cnv.gif) ![F F](_cf.gif)
![F F](_cf.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |