Theorem iinexgm 4117

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in B, which should be read B ( x ). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iinexgm	|- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem iinexgm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 3884	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
3		elisset 2726	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. C -> E. y y = B )
4	3	rgenw 2512	. . . . . . . . 9 |- A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B )
5		r19.2m 3481	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) ) -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) )
6	4, 5	mpan2 422	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) )
7		r19.35-1 2607	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) -> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) )
9	8	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. x e. A E. y y = B )
10		rexcom4 2735	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. y y = B <-> E. y E. x e. A y = B )
11	9, 10	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. y E. x e. A y = B )
12		abid 2145	. . . . . 6 |- ( y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. x e. A y = B )
13	12	exbii 1585	. . . . 5 |- ( E. y y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. y E. x e. A y = B )
14	11, 13	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. y y e. { y | E. x e. A y = B } )
15		nfv 1508	. . . . 5 |- F/ z y e. { y | E. x e. A y = B }
16		nfsab1 2147	. . . . 5 |- F/ y z e. { y | E. x e. A y = B }
17		eleq1w 2218	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y e. { y | E. x e. A y = B } <-> z e. { y | E. x e. A y = B } ) )
18	15, 16, 17	cbvex 1736	. . . 4 |- ( E. y y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. z z e. { y | E. x e. A y = B } )
19	14, 18	sylib 121	. . 3 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. z z e. { y | E. x e. A y = B } )
20		inteximm 4112	. . 3 |- ( E. z z e. { y | E. x e. A y = B } -> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V )
22	2, 21	eqeltrd 2234	1 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   {cab 2143   A.wral 2435   E.wrex 2436   _Vcvv 2712   |^|cint 3809   |^|_ciin 3852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-sep 4084

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-in 3108  df-ss 3115  df-int 3810  df-iin 3854

This theorem is referenced by: (None)