Theorem iinexgm 4166

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in B, which should be read B ( x ). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iinexgm	|- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem iinexgm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 3931	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
3		elisset 2763	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. C -> E. y y = B )
4	3	rgenw 2542	. . . . . . . . 9 |- A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B )
5		r19.2m 3521	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) ) -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) )
6	4, 5	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) )
7		r19.35-1 2637	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) -> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) )
9	8	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. x e. A E. y y = B )
10		rexcom4 2772	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. y y = B <-> E. y E. x e. A y = B )
11	9, 10	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. y E. x e. A y = B )
12		abid 2175	. . . . . 6 |- ( y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. x e. A y = B )
13	12	exbii 1615	. . . . 5 |- ( E. y y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. y E. x e. A y = B )
14	11, 13	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. y y e. { y | E. x e. A y = B } )
15		nfv 1538	. . . . 5 |- F/ z y e. { y | E. x e. A y = B }
16		nfsab1 2177	. . . . 5 |- F/ y z e. { y | E. x e. A y = B }
17		eleq1w 2248	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y e. { y | E. x e. A y = B } <-> z e. { y | E. x e. A y = B } ) )
18	15, 16, 17	cbvex 1766	. . . 4 |- ( E. y y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. z z e. { y | E. x e. A y = B } )
19	14, 18	sylib 122	. . 3 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. z z e. { y | E. x e. A y = B } )
20		inteximm 4161	. . 3 |- ( E. z z e. { y | E. x e. A y = B } -> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V )
22	2, 21	eqeltrd 2264	1 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   {cab 2173   A.wral 2465   E.wrex 2466   _Vcvv 2749   |^|cint 3856   |^|_ciin 3899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-sep 4133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-in 3147  df-ss 3154  df-int 3857  df-iin 3901

This theorem is referenced by: (None)