Theorem iinexgm 4074

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in B, which should be read B ( x ). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iinexgm	|- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem iinexgm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 3841	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
3		elisset 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. C -> E. y y = B )
4	3	rgenw 2485	. . . . . . . . 9 |- A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B )
5		r19.2m 3444	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) ) -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) )
6	4, 5	mpan2 421	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) )
7		r19.35-1 2579	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) -> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) )
9	8	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. x e. A E. y y = B )
10		rexcom4 2704	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. y y = B <-> E. y E. x e. A y = B )
11	9, 10	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. y E. x e. A y = B )
12		abid 2125	. . . . . 6 |- ( y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. x e. A y = B )
13	12	exbii 1584	. . . . 5 |- ( E. y y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. y E. x e. A y = B )
14	11, 13	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. y y e. { y | E. x e. A y = B } )
15		nfv 1508	. . . . 5 |- F/ z y e. { y | E. x e. A y = B }
16		nfsab1 2127	. . . . 5 |- F/ y z e. { y | E. x e. A y = B }
17		eleq1w 2198	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y e. { y | E. x e. A y = B } <-> z e. { y | E. x e. A y = B } ) )
18	15, 16, 17	cbvex 1729	. . . 4 |- ( E. y y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. z z e. { y | E. x e. A y = B } )
19	14, 18	sylib 121	. . 3 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. z z e. { y | E. x e. A y = B } )
20		inteximm 4069	. . 3 |- ( E. z z e. { y | E. x e. A y = B } -> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V )
22	2, 21	eqeltrd 2214	1 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2123   A.wral 2414   E.wrex 2415   _Vcvv 2681   |^|cint 3766   |^|_ciin 3809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-in 3072  df-ss 3079  df-int 3767  df-iin 3811

This theorem is referenced by: (None)