Theorem iinexgm 3990

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in B, which should be read B ( x ). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iinexgm	|- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem iinexgm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 3763	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 271	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
3		elisset 2633	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. C -> E. y y = B )
4	3	rgenw 2430	. . . . . . . . 9 |- A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B )
5		r19.2m 3369	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) ) -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) )
6	4, 5	mpan2 416	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) )
7		r19.35-1 2517	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) -> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) )
9	8	imp 122	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. x e. A E. y y = B )
10		rexcom4 2642	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. y y = B <-> E. y E. x e. A y = B )
11	9, 10	sylib 120	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. y E. x e. A y = B )
12		abid 2076	. . . . . 6 |- ( y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. x e. A y = B )
13	12	exbii 1541	. . . . 5 |- ( E. y y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. y E. x e. A y = B )
14	11, 13	sylibr 132	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. y y e. { y | E. x e. A y = B } )
15		nfv 1466	. . . . 5 |- F/ z y e. { y | E. x e. A y = B }
16		nfsab1 2078	. . . . 5 |- F/ y z e. { y | E. x e. A y = B }
17		eleq1 2150	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y e. { y | E. x e. A y = B } <-> z e. { y | E. x e. A y = B } ) )
18	15, 16, 17	cbvex 1686	. . . 4 |- ( E. y y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. z z e. { y | E. x e. A y = B } )
19	14, 18	sylib 120	. . 3 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. z z e. { y | E. x e. A y = B } )
20		inteximm 3985	. . 3 |- ( E. z z e. { y | E. x e. A y = B } -> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V )
22	2, 21	eqeltrd 2164	1 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619   |^|cint 3688   |^|_ciin 3731

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-in 3005  df-ss 3012  df-int 3689  df-iin 3733

This theorem is referenced by: (None)