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Theorem iinexgm 3990
Description: The existence of an indexed union.  x is normally a free-variable parameter in  B, which should be read  B ( x ). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
iinexgm  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem iinexgm
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiin2g 3763 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
21adantl 271 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  |^|_ x  e.  A  B  =  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
3 elisset 2633 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  C  ->  E. y 
y  =  B )
43rgenw 2430 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  A  ( B  e.  C  ->  E. y 
y  =  B )
5 r19.2m 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( B  e.  C  ->  E. y 
y  =  B ) )  ->  E. x  e.  A  ( B  e.  C  ->  E. y 
y  =  B ) )
64, 5mpan2 416 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  E. x  e.  A  ( B  e.  C  ->  E. y  y  =  B ) )
7 r19.35-1 2517 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( B  e.  C  ->  E. y  y  =  B )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  E. x  e.  A  E. y  y  =  B
) )
86, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  E. x  e.  A  E. y  y  =  B ) )
98imp 122 . . . . . 6  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  E. x  e.  A  E. y 
y  =  B )
10 rexcom4 2642 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. y  y  =  B  <->  E. y E. x  e.  A  y  =  B )
119, 10sylib 120 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  E. y E. x  e.  A  y  =  B )
12 abid 2076 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  E. x  e.  A  y  =  B )
1312exbii 1541 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  E. y E. x  e.  A  y  =  B )
1411, 13sylibr 132 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  E. y 
y  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
15 nfv 1466 . . . . 5  |-  F/ z  y  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
16 nfsab1 2078 . . . . 5  |-  F/ y  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
17 eleq1 2150 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  z  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
1815, 16, 17cbvex 1686 . . . 4  |-  ( E. y  y  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  E. z  z  e. 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
1914, 18sylib 120 . . 3  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  E. z 
z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
20 inteximm 3985 . . 3  |-  ( E. z  z  e.  {
y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ->  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
2119, 20syl 14 . 2  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  |^| { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
222, 21eqeltrd 2164 1  |-  ( ( E. x  x  e.  A  /\  A. x  e.  A  B  e.  C )  ->  |^|_ x  e.  A  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   _Vcvv 2619   |^|cint 3688   |^|_ciin 3731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-in 3005  df-ss 3012  df-int 3689  df-iin 3733
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