Theorem iinexgm 4214

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in B, which should be read B ( x ). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iinexgm	|- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem iinexgm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 3974	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
3		elisset 2791	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. C -> E. y y = B )
4	3	rgenw 2563	. . . . . . . . 9 |- A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B )
5		r19.2m 3555	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) ) -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) )
6	4, 5	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( E. x x e. A -> E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) )
7		r19.35-1 2658	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( B e. C -> E. y y = B ) -> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A B e. C -> E. x e. A E. y y = B ) )
9	8	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. x e. A E. y y = B )
10		rexcom4 2800	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. y y = B <-> E. y E. x e. A y = B )
11	9, 10	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. y E. x e. A y = B )
12		abid 2195	. . . . . 6 |- ( y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. x e. A y = B )
13	12	exbii 1629	. . . . 5 |- ( E. y y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. y E. x e. A y = B )
14	11, 13	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. y y e. { y | E. x e. A y = B } )
15		nfv 1552	. . . . 5 |- F/ z y e. { y | E. x e. A y = B }
16		nfsab1 2197	. . . . 5 |- F/ y z e. { y | E. x e. A y = B }
17		eleq1w 2268	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y e. { y | E. x e. A y = B } <-> z e. { y | E. x e. A y = B } ) )
18	15, 16, 17	cbvex 1780	. . . 4 |- ( E. y y e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. z z e. { y | E. x e. A y = B } )
19	14, 18	sylib 122	. . 3 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> E. z z e. { y | E. x e. A y = B } )
20		inteximm 4209	. . 3 |- ( E. z z e. { y | E. x e. A y = B } -> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^| { y | E. x e. A y = B } e. _V )
22	2, 21	eqeltrd 2284	1 |- ( ( E. x x e. A /\ A. x e. A B e. C ) -> |^|_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   |^|cint 3899   |^|_ciin 3942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-sep 4178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187  df-int 3900  df-iin 3944

This theorem is referenced by: (None)