Theorem dfiin2g 3899

Description: Alternate definition of indexed intersection when B is a set. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
dfiin2g	|- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiin2g

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2449	. . . 4 |- ( A. x e. A w e. B <-> A. x ( x e. A -> w e. B ) )
2		df-ral 2449	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. C <-> A. x ( x e. A -> B e. C ) )
3		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( w e. z <-> w e. B ) )
4	3	biimprcd 159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> ( z = B -> w e. z ) )
5	4	alrimiv 1862	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B -> A. z ( z = B -> w e. z ) )
6		eqid 2165	. . . . . . . . . . . 12 |- B = B
7		eqeq1 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = B -> ( z = B <-> B = B ) )
8	7, 3	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( ( z = B -> w e. z ) <-> ( B = B -> w e. B ) ) )
9	8	spcgv 2813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. C -> ( A. z ( z = B -> w e. z ) -> ( B = B -> w e. B ) ) )
10	6, 9	mpii 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. C -> ( A. z ( z = B -> w e. z ) -> w e. B ) )
11	5, 10	impbid2 142	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. C -> ( w e. B <-> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
12	11	imim2i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A -> B e. C ) -> ( x e. A -> ( w e. B <-> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
13	12	pm5.74d 181	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> B e. C ) -> ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
14	13	alimi 1443	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. A -> B e. C ) -> A. x ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
15		albi 1456	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x ( x e. A -> B e. C ) -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
17	2, 16	sylbi 120	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
18		df-ral 2449	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
19	18	albii 1458	. . . . . . 7 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. z A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
20		alcom 1466	. . . . . . 7 |- ( A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. z A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
21	19, 20	bitr4i 186	. . . . . 6 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
22		r19.23v 2575	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> ( E. x e. A z = B -> w e. z ) )
23		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
24		eqeq1 2172	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( y = B <-> z = B ) )
25	24	rexbidv 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( E. x e. A y = B <-> E. x e. A z = B ) )
26	23, 25	elab 2870	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. x e. A z = B )
27	26	imbi1i 237	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) <-> ( E. x e. A z = B -> w e. z ) )
28	22, 27	bitr4i 186	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
29	28	albii 1458	. . . . . 6 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
30		19.21v 1861	. . . . . . 7 |- ( A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
31	30	albii 1458	. . . . . 6 |- ( A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
32	21, 29, 31	3bitr3ri 210	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
33	17, 32	bitrdi 195	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) ) )
34	1, 33	syl5bb 191	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x e. A w e. B <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) ) )
35	34	abbidv 2284	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> { w | A. x e. A w e. B } = { w | A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) } )
36		df-iin 3869	. 2 |- |^|_ x e. A B = { w | A. x e. A w e. B }
37		df-int 3825	. 2 |- |^| { y | E. x e. A y = B } = { w | A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) }
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2224	1 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   E.wrex 2445   |^|cint 3824   |^|_ciin 3867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-int 3825  df-iin 3869

This theorem is referenced by:  dfiin2  3901  iinexgm  4133  dfiin3g  4862  fniinfv  5544