Theorem dfiin2g 4040

Description: Alternate definition of indexed intersection when B is a set. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
dfiin2g	|- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiin2g

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2533	. . . 4 |- ( A. x e. A w e. B <-> A. x ( x e. A -> w e. B ) )
2		df-ral 2533	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. C <-> A. x ( x e. A -> B e. C ) )
3		eleq2 2302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( w e. z <-> w e. B ) )
4	3	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> ( z = B -> w e. z ) )
5	4	alrimiv 1927	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B -> A. z ( z = B -> w e. z ) )
6		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- B = B
7		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = B -> ( z = B <-> B = B ) )
8	7, 3	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( ( z = B -> w e. z ) <-> ( B = B -> w e. B ) ) )
9	8	spcgv 2912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. C -> ( A. z ( z = B -> w e. z ) -> ( B = B -> w e. B ) ) )
10	6, 9	mpii 44	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. C -> ( A. z ( z = B -> w e. z ) -> w e. B ) )
11	5, 10	impbid2 143	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. C -> ( w e. B <-> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
12	11	imim2i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A -> B e. C ) -> ( x e. A -> ( w e. B <-> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
13	12	pm5.74d 182	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> B e. C ) -> ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
14	13	alimi 1508	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. A -> B e. C ) -> A. x ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
15		albi 1521	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x ( x e. A -> B e. C ) -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
17	2, 16	sylbi 121	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
18		df-ral 2533	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
19	18	albii 1523	. . . . . . 7 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. z A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
20		alcom 1531	. . . . . . 7 |- ( A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. z A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
21	19, 20	bitr4i 187	. . . . . 6 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
22		r19.23v 2660	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> ( E. x e. A z = B -> w e. z ) )
23		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
24		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( y = B <-> z = B ) )
25	24	rexbidv 2551	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( E. x e. A y = B <-> E. x e. A z = B ) )
26	23, 25	elab 2970	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. x e. A z = B )
27	26	imbi1i 238	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) <-> ( E. x e. A z = B -> w e. z ) )
28	22, 27	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
29	28	albii 1523	. . . . . 6 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
30		19.21v 1926	. . . . . . 7 |- ( A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
31	30	albii 1523	. . . . . 6 |- ( A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
32	21, 29, 31	3bitr3ri 211	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
33	17, 32	bitrdi 196	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) ) )
34	1, 33	bitrid 192	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x e. A w e. B <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) ) )
35	34	abbidv 2358	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> { w | A. x e. A w e. B } = { w | A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) } )
36		df-iin 4010	. 2 |- |^|_ x e. A B = { w | A. x e. A w e. B }
37		df-int 3966	. 2 |- |^| { y | E. x e. A y = B } = { w | A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) }
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2296	1 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   |^|cint 3965   |^|_ciin 4008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-int 3966  df-iin 4010

This theorem is referenced by:  dfiin2  4042  iinexgm  4285  dfiin3g  5035  fniinfv  5755