Theorem dfiin2g 3758

Description: Alternate definition of indexed intersection when B is a set. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
dfiin2g	|- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiin2g

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2364	. . . 4 |- ( A. x e. A w e. B <-> A. x ( x e. A -> w e. B ) )
2		df-ral 2364	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. C <-> A. x ( x e. A -> B e. C ) )
3		eleq2 2151	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( w e. z <-> w e. B ) )
4	3	biimprcd 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> ( z = B -> w e. z ) )
5	4	alrimiv 1802	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B -> A. z ( z = B -> w e. z ) )
6		eqid 2088	. . . . . . . . . . . 12 |- B = B
7		eqeq1 2094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = B -> ( z = B <-> B = B ) )
8	7, 3	imbi12d 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( ( z = B -> w e. z ) <-> ( B = B -> w e. B ) ) )
9	8	spcgv 2706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. C -> ( A. z ( z = B -> w e. z ) -> ( B = B -> w e. B ) ) )
10	6, 9	mpii 43	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. C -> ( A. z ( z = B -> w e. z ) -> w e. B ) )
11	5, 10	impbid2 141	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. C -> ( w e. B <-> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
12	11	imim2i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A -> B e. C ) -> ( x e. A -> ( w e. B <-> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
13	12	pm5.74d 180	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> B e. C ) -> ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
14	13	alimi 1389	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. A -> B e. C ) -> A. x ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
15		albi 1402	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A -> w e. B ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x ( x e. A -> B e. C ) -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
17	2, 16	sylbi 119	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) ) )
18		df-ral 2364	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
19	18	albii 1404	. . . . . . 7 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. z A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
20		alcom 1412	. . . . . . 7 |- ( A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. z A. x ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
21	19, 20	bitr4i 185	. . . . . 6 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) )
22		r19.23v 2481	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> ( E. x e. A z = B -> w e. z ) )
23		vex 2622	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
24		eqeq1 2094	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( y = B <-> z = B ) )
25	24	rexbidv 2381	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( E. x e. A y = B <-> E. x e. A z = B ) )
26	23, 25	elab 2758	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { y | E. x e. A y = B } <-> E. x e. A z = B )
27	26	imbi1i 236	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) <-> ( E. x e. A z = B -> w e. z ) )
28	22, 27	bitr4i 185	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
29	28	albii 1404	. . . . . 6 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> w e. z ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
30		19.21v 1801	. . . . . . 7 |- ( A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
31	30	albii 1404	. . . . . 6 |- ( A. x A. z ( x e. A -> ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) )
32	21, 29, 31	3bitr3ri 209	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> A. z ( z = B -> w e. z ) ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) )
33	17, 32	syl6bb 194	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x ( x e. A -> w e. B ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) ) )
34	1, 33	syl5bb 190	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> ( A. x e. A w e. B <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) ) )
35	34	abbidv 2205	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> { w | A. x e. A w e. B } = { w | A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) } )
36		df-iin 3728	. 2 |- |^|_ x e. A B = { w | A. x e. A w e. B }
37		df-int 3684	. 2 |- |^| { y | E. x e. A y = B } = { w | A. z ( z e. { y | E. x e. A y = B } -> w e. z ) }
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2145	1 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   A.wal 1287   = wceq 1289   e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   |^|cint 3683   |^|_ciin 3726

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-int 3684  df-iin 3728

This theorem is referenced by:  dfiin2  3760  iinexgm  3982  dfiin3g  4679  fniinfv  5346