Theorem inuni 4286

Description: The intersection of a union U. A with a class B is equal to the union of the intersections of each element of A with B. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
inuni	|- ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem inuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 3934	. . . . 5 |- ( z e. U. A <-> E. y e. A z e. y )
2	1	anbi1i 462	. . . 4 |- ( ( z e. U. A /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
3		elin 3412	. . . 4 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> ( z e. U. A /\ z e. B ) )
4		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
5		r19.41v 2707	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
6	4, 5	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
7	6	exbii 1658	. . . . . 6 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
8		rexcom4 2845	. . . . . 6 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
9	7, 8	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
10		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
11	10	inex1 4262	. . . . . . . . 9 |- ( y i^i B ) e. _V
12		eleq2 2302	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y i^i B ) -> ( z e. x <-> z e. ( y i^i B ) ) )
13	11, 12	ceqsexv 2861	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> z e. ( y i^i B ) )
14		elin 3412	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y i^i B ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
15	13, 14	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
16	15	rexbii 2557	. . . . . 6 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) )
17		r19.41v 2707	. . . . . 6 |- ( E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
18	16, 17	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
19	9, 18	bitri 184	. . . 4 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
20	2, 3, 19	3bitr4i 212	. . 3 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) )
21		eluniab 3942	. . 3 |- ( z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } <-> E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) )
22	20, 21	bitr4i 187	. 2 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } )
23	22	eqriv 2235	1 |- ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   E.wrex 2529   i^i cin 3219   U.cuni 3930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-in 3226  df-uni 3931

This theorem is referenced by: (None)