Theorem inuni 4040

Description: The intersection of a union U. A with a class B is equal to the union of the intersections of each element of A with B. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
inuni	|- ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem inuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 3706	. . . . 5 |- ( z e. U. A <-> E. y e. A z e. y )
2	1	anbi1i 451	. . . 4 |- ( ( z e. U. A /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
3		elin 3225	. . . 4 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> ( z e. U. A /\ z e. B ) )
4		ancom 264	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
5		r19.41v 2561	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
6	4, 5	bitr4i 186	. . . . . . 7 |- ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
7	6	exbii 1567	. . . . . 6 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
8		rexcom4 2680	. . . . . 6 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
9	7, 8	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
10		vex 2660	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
11	10	inex1 4022	. . . . . . . . 9 |- ( y i^i B ) e. _V
12		eleq2 2178	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y i^i B ) -> ( z e. x <-> z e. ( y i^i B ) ) )
13	11, 12	ceqsexv 2696	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> z e. ( y i^i B ) )
14		elin 3225	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y i^i B ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
15	13, 14	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
16	15	rexbii 2416	. . . . . 6 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) )
17		r19.41v 2561	. . . . . 6 |- ( E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
18	16, 17	bitri 183	. . . . 5 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
19	9, 18	bitri 183	. . . 4 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
20	2, 3, 19	3bitr4i 211	. . 3 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) )
21		eluniab 3714	. . 3 |- ( z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } <-> E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) )
22	20, 21	bitr4i 186	. 2 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } )
23	22	eqriv 2112	1 |- ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   {cab 2101   E.wrex 2391   i^i cin 3036   U.cuni 3702

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-rex 2396  df-v 2659  df-in 3043  df-uni 3703

This theorem is referenced by: (None)