Theorem inuni 4198

Description: The intersection of a union U. A with a class B is equal to the union of the intersections of each element of A with B. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
inuni	|- ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem inuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 3853	. . . . 5 |- ( z e. U. A <-> E. y e. A z e. y )
2	1	anbi1i 458	. . . 4 |- ( ( z e. U. A /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
3		elin 3355	. . . 4 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> ( z e. U. A /\ z e. B ) )
4		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
5		r19.41v 2661	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
6	4, 5	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
7	6	exbii 1627	. . . . . 6 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
8		rexcom4 2794	. . . . . 6 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
9	7, 8	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
10		vex 2774	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
11	10	inex1 4177	. . . . . . . . 9 |- ( y i^i B ) e. _V
12		eleq2 2268	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y i^i B ) -> ( z e. x <-> z e. ( y i^i B ) ) )
13	11, 12	ceqsexv 2810	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> z e. ( y i^i B ) )
14		elin 3355	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y i^i B ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
15	13, 14	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
16	15	rexbii 2512	. . . . . 6 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) )
17		r19.41v 2661	. . . . . 6 |- ( E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
18	16, 17	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
19	9, 18	bitri 184	. . . 4 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
20	2, 3, 19	3bitr4i 212	. . 3 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) )
21		eluniab 3861	. . 3 |- ( z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } <-> E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) )
22	20, 21	bitr4i 187	. 2 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } )
23	22	eqriv 2201	1 |- ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   {cab 2190   E.wrex 2484   i^i cin 3164   U.cuni 3849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rex 2489  df-v 2773  df-in 3171  df-uni 3850

This theorem is referenced by: (None)