Theorem intun 3838

Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)

Assertion

Ref	Expression
intun	|- |^| ( A u. B ) = ( |^| A i^i |^| B )

Proof of Theorem intun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.26 1461	. . . 4 |- ( A. y ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) <-> ( A. y ( y e. A -> x e. y ) /\ A. y ( y e. B -> x e. y ) ) )
2		elun 3248	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A u. B ) <-> ( y e. A \/ y e. B ) )
3	2	imbi1i 237	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A \/ y e. B ) -> x e. y ) )
4		jaob 700	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. A \/ y e. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
5	3, 4	bitri 183	. . . . 5 |- ( ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
6	5	albii 1450	. . . 4 |- ( A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> A. y ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
7		vex 2715	. . . . . 6 |- x e. _V
8	7	elint 3813	. . . . 5 |- ( x e. |^| A <-> A. y ( y e. A -> x e. y ) )
9	7	elint 3813	. . . . 5 |- ( x e. |^| B <-> A. y ( y e. B -> x e. y ) )
10	8, 9	anbi12i 456	. . . 4 |- ( ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) <-> ( A. y ( y e. A -> x e. y ) /\ A. y ( y e. B -> x e. y ) ) )
11	1, 6, 10	3bitr4i 211	. . 3 |- ( A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) )
12	7	elint 3813	. . 3 |- ( x e. |^| ( A u. B ) <-> A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) )
13		elin 3290	. . 3 |- ( x e. ( |^| A i^i |^| B ) <-> ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) )
14	11, 12, 13	3bitr4i 211	. 2 |- ( x e. |^| ( A u. B ) <-> x e. ( |^| A i^i |^| B ) )
15	14	eqriv 2154	1 |- |^| ( A u. B ) = ( |^| A i^i |^| B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   A.wal 1333   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   i^i cin 3101   |^|cint 3807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-int 3808

This theorem is referenced by:  intunsn  3845  riinint  4847