Theorem intun 3877

Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)

Assertion

Ref	Expression
intun	|- |^| ( A u. B ) = ( |^| A i^i |^| B )

Proof of Theorem intun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.26 1481	. . . 4 |- ( A. y ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) <-> ( A. y ( y e. A -> x e. y ) /\ A. y ( y e. B -> x e. y ) ) )
2		elun 3278	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A u. B ) <-> ( y e. A \/ y e. B ) )
3	2	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A \/ y e. B ) -> x e. y ) )
4		jaob 710	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. A \/ y e. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
5	3, 4	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
6	5	albii 1470	. . . 4 |- ( A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> A. y ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
7		vex 2742	. . . . . 6 |- x e. _V
8	7	elint 3852	. . . . 5 |- ( x e. |^| A <-> A. y ( y e. A -> x e. y ) )
9	7	elint 3852	. . . . 5 |- ( x e. |^| B <-> A. y ( y e. B -> x e. y ) )
10	8, 9	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) <-> ( A. y ( y e. A -> x e. y ) /\ A. y ( y e. B -> x e. y ) ) )
11	1, 6, 10	3bitr4i 212	. . 3 |- ( A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) )
12	7	elint 3852	. . 3 |- ( x e. |^| ( A u. B ) <-> A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) )
13		elin 3320	. . 3 |- ( x e. ( |^| A i^i |^| B ) <-> ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) )
14	11, 12, 13	3bitr4i 212	. 2 |- ( x e. |^| ( A u. B ) <-> x e. ( |^| A i^i |^| B ) )
15	14	eqriv 2174	1 |- |^| ( A u. B ) = ( |^| A i^i |^| B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3129   i^i cin 3130   |^|cint 3846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-int 3847

This theorem is referenced by:  intunsn  3884  riinint  4890