ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intun Unicode version

Theorem intun 3838
Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)
Assertion
Ref Expression
intun  |-  |^| ( A  u.  B )  =  ( |^| A  i^i  |^| B )

Proof of Theorem intun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.26 1461 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  (
y  e.  B  ->  x  e.  y )
)  <->  ( A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
2 elun 3248 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
32imbi1i 237 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y )  <->  ( ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  ->  x  e.  y ) )
4 jaob 700 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  ( (
y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  ( y  e.  B  ->  x  e.  y ) ) )
53, 4bitri 183 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y )  <->  ( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  ( y  e.  B  ->  x  e.  y ) ) )
65albii 1450 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  A. y
( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  (
y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
7 vex 2715 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
87elint 3813 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| A  <->  A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y ) )
97elint 3813 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| B  <->  A. y
( y  e.  B  ->  x  e.  y ) )
108, 9anbi12i 456 . . . 4  |-  ( ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B
)  <->  ( A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
111, 6, 103bitr4i 211 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B ) )
127elint 3813 . . 3  |-  ( x  e.  |^| ( A  u.  B )  <->  A. y
( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y ) )
13 elin 3290 . . 3  |-  ( x  e.  ( |^| A  i^i  |^| B )  <->  ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B ) )
1411, 12, 133bitr4i 211 . 2  |-  ( x  e.  |^| ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( |^| A  i^i  |^| B ) )
1514eqriv 2154 1  |-  |^| ( A  u.  B )  =  ( |^| A  i^i  |^| B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698   A.wal 1333    = wceq 1335    e. wcel 2128    u. cun 3100    i^i cin 3101   |^|cint 3807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-int 3808
This theorem is referenced by:  intunsn  3845  riinint  4847
  Copyright terms: Public domain W3C validator