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Theorem intun 3727
Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)
Assertion
Ref Expression
intun  |-  |^| ( A  u.  B )  =  ( |^| A  i^i  |^| B )

Proof of Theorem intun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.26 1416 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  (
y  e.  B  ->  x  e.  y )
)  <->  ( A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
2 elun 3144 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
32imbi1i 237 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y )  <->  ( ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  ->  x  e.  y ) )
4 jaob 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  ( (
y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  ( y  e.  B  ->  x  e.  y ) ) )
53, 4bitri 183 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y )  <->  ( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  ( y  e.  B  ->  x  e.  y ) ) )
65albii 1405 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  A. y
( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  (
y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
7 vex 2625 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
87elint 3702 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| A  <->  A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y ) )
97elint 3702 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| B  <->  A. y
( y  e.  B  ->  x  e.  y ) )
108, 9anbi12i 449 . . . 4  |-  ( ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B
)  <->  ( A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
111, 6, 103bitr4i 211 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B ) )
127elint 3702 . . 3  |-  ( x  e.  |^| ( A  u.  B )  <->  A. y
( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y ) )
13 elin 3186 . . 3  |-  ( x  e.  ( |^| A  i^i  |^| B )  <->  ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B ) )
1411, 12, 133bitr4i 211 . 2  |-  ( x  e.  |^| ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( |^| A  i^i  |^| B ) )
1514eqriv 2086 1  |-  |^| ( A  u.  B )  =  ( |^| A  i^i  |^| B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 665   A.wal 1288    = wceq 1290    e. wcel 1439    u. cun 3000    i^i cin 3001   |^|cint 3696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-v 2624  df-un 3006  df-in 3008  df-int 3697
This theorem is referenced by:  intunsn  3734  riinint  4709
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