Theorem invdisj 4081

Description: If there is a function C ( y ) such that C ( y ) = x for all y e. B ( x ), then the sets B ( x ) for distinct x e. A are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
invdisj	|- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> Disj x e. A B )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   y, B   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem invdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra2xy 2574	. . 3 |- F/ y A. x e. A A. y e. B C = x
2		df-ral 2515	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B C = x ) )
3		rsp 2579	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B C = x -> ( y e. B -> C = x ) )
4		eqcom 2233	. . . . . . . . 9 |- ( C = x <-> x = C )
5	3, 4	imbitrdi 161	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B C = x -> ( y e. B -> x = C ) )
6	5	imim2i 12	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> ( x e. A -> ( y e. B -> x = C ) ) )
7	6	impd 254	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
8	7	alimi 1503	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
9	2, 8	sylbi 121	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
10		mo2icl 2985	. . . 4 |- ( A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) -> E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
12	1, 11	alrimi 1570	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> A. y E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
13		dfdisj2 4066	. 2 |- (Disj x e. A B <-> A. y E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	sylibr 134	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> Disj x e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1395   = wceq 1397   E*wmo 2080   e. wcel 2202   A.wral 2510  Disj wdisj 4064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rmo 2518  df-v 2804  df-disj 4065

This theorem is referenced by:  invdisjrab  4082  phisum  12812  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806