Theorem invdisj 4023

Description: If there is a function C ( y ) such that C ( y ) = x for all y e. B ( x ), then the sets B ( x ) for distinct x e. A are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
invdisj	|- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> Disj x e. A B )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   y, B   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem invdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra2xy 2536	. . 3 |- F/ y A. x e. A A. y e. B C = x
2		df-ral 2477	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x <-> A. x ( x e. A -> A. y e. B C = x ) )
3		rsp 2541	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B C = x -> ( y e. B -> C = x ) )
4		eqcom 2195	. . . . . . . . 9 |- ( C = x <-> x = C )
5	3, 4	imbitrdi 161	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B C = x -> ( y e. B -> x = C ) )
6	5	imim2i 12	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> ( x e. A -> ( y e. B -> x = C ) ) )
7	6	impd 254	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
8	7	alimi 1466	. . . . 5 |- ( A. x ( x e. A -> A. y e. B C = x ) -> A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
9	2, 8	sylbi 121	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) )
10		mo2icl 2939	. . . 4 |- ( A. x ( ( x e. A /\ y e. B ) -> x = C ) -> E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
11	9, 10	syl 14	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
12	1, 11	alrimi 1533	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> A. y E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
13		dfdisj2 4008	. 2 |- (Disj x e. A B <-> A. y E* x ( x e. A /\ y e. B ) )
14	12, 13	sylibr 134	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C = x -> Disj x e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   E*wmo 2043   e. wcel 2164   A.wral 2472  Disj wdisj 4006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rmo 2480  df-v 2762  df-disj 4007

This theorem is referenced by:  phisum  12378  lgsquadlem1  15191