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Theorem disjiun 3977
Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjiun |- ( (Disj x e. A B /\ ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) = (/) )
Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D
Allowed substitution hint:   B( x)
Proof of Theorem disjiun
Dummy variables u v w y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 3960 . . . 4 |- (Disj x e. A B <-> A. y E* x e. A y e. B )
2 elin 3305 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) <-> ( y e. U_ x e. C B /\ y e. U_ x e. D B ) )
3 eliun 3870 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. U_ x e. C B <-> E. x e. C y e. B )
4 eliun 3870 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. U_ x e. D B <-> E. x e. D y e. B )
53, 4anbi12i 456 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. U_ x e. C B /\ y e. U_ x e. D B ) <-> ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) )
62, 5bitri 183 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) <-> ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) )
7 nfv 1516 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ w y e. B
87rmo3 3042 . . . . . . . . . . 11 |- ( E* x e. A y e. B <-> A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) )
9 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) -> E. x e. C y e. B )
10 nfv 1516 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ u y e. B
11 nfcsb1v 3078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ u / x ]_ B
1211nfcri 2302 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x y e. [_ u / x ]_ B
13 csbeq1a 3054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = u -> B = [_ u / x ]_ B )
1413eleq2d 2236 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( y e. B <-> y e. [_ u / x ]_ B ) )
1510, 12, 14cbvrex 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. C y e. B <-> E. u e. C y e. [_ u / x ]_ B )
169, 15sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) -> E. u e. C y e. [_ u / x ]_ B )
17 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) -> E. x e. D y e. B )
18 nfv 1516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ v y e. B
19 nfcsb1v 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ v / x ]_ B
2019nfcri 2302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x y e. [_ v / x ]_ B
21 csbeq1a 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = v -> B = [_ v / x ]_ B )
2221eleq2d 2236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = v -> ( y e. B <-> y e. [_ v / x ]_ B ) )
2318, 20, 22cbvrex 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. x e. D y e. B <-> E. v e. D y e. [_ v / x ]_ B )
2417, 23sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) -> E. v e. D y e. [_ v / x ]_ B )
25 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> u e. C )
26 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) -> C C_ A )
2726ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> C C_ A )
2827, 25sseldd 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> u e. A )
29 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) -> D C_ A )
3029ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> D C_ A )
31 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> v e. D )
3230, 31sseldd 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> v e. A )
3328, 32jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> ( u e. A /\ v e. A ) )
34 simp-4l 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) )
35 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> y e. [_ u / x ]_ B )
36 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> y e. [_ v / x ]_ B )
3720, 22sbie 1779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [ v / x ] y e. B <-> y e. [_ v / x ]_ B )
3836, 37sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> [ v / x ] y e. B )
3935, 38jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ v / x ] y e. B ) )
40 nfs1v 1927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x [ w / x ] y e. B
4112, 40nfan 1553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B )
42 nfv 1516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x u = w
4341, 42nfim 1560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B ) -> u = w )
44 nfv 1516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ w ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ v / x ] y e. B ) -> u = v )
4514anbi1d 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = u -> ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) <-> ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B ) ) )
46 equequ1 1700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = u -> ( x = w <-> u = w ) )
4745, 46imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = u -> ( ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) <-> ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B ) -> u = w ) ) )
48 sbequ 1828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = v -> ( [ w / x ] y e. B <-> [ v / x ] y e. B ) )
4948anbi2d 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = v -> ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B ) <-> ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ v / x ] y e. B ) ) )
50 equequ2 1701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = v -> ( u = w <-> u = v ) )
5149, 50imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = v -> ( ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B ) -> u = w ) <-> ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ v / x ] y e. B ) -> u = v ) ) )
5243, 44, 47, 51rspc2 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) -> ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ v / x ] y e. B ) -> u = v ) ) )
5333, 34, 39, 52syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> u = v )
5453, 31eqeltrd 2243 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> u e. D )
55 inelcm 3469 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. C /\ u e. D ) -> ( C i^i D ) =/= (/) )
5625, 54, 55syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> ( C i^i D ) =/= (/) )
5724, 56rexlimddv 2588 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) -> ( C i^i D ) =/= (/) )
5816, 57rexlimddv 2588 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) -> ( C i^i D ) =/= (/) )
5958exp31 362 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) -> ( ( C C_ A /\ D C_ A ) -> ( ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) ) )
608, 59sylbi 120 . . . . . . . . . 10 |- ( E* x e. A y e. B -> ( ( C C_ A /\ D C_ A ) -> ( ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) ) )
6160impcom 124 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ E* x e. A y e. B ) -> ( ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) )
626, 61syl5bi 151 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ E* x e. A y e. B ) -> ( y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) )
6362necon2bd 2394 . . . . . . 7 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ E* x e. A y e. B ) -> ( ( C i^i D ) = (/) -> -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
6463impancom 258 . . . . . 6 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> ( E* x e. A y e. B -> -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
65643impa 1184 . . . . 5 |- ( ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> ( E* x e. A y e. B -> -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
6665alimdv 1867 . . . 4 |- ( ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> ( A. y E* x e. A y e. B -> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
671, 66syl5bi 151 . . 3 |- ( ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> (Disj x e. A B -> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
6867impcom 124 . 2 |- ( (Disj x e. A B /\ ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) )
69 eq0 3427 . 2 |- ( ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) = (/) <-> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) )
7068, 69sylibr 133 1 |- ( (Disj x e. A B /\ ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) = (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   A.wal 1341   = wceq 1343   [wsb 1750   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   E.wrex 2445   E*wrmo 2447   [_csb 3045   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   U_ciun 3866  Disj wdisj 3959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rmo 2452  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-iun 3868  df-disj 3960
This theorem is referenced by:  iunfidisj  6911  fsumiun  11418
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