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Theorem disjiun 3892
Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjiun  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B )  =  (/) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, D
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem disjiun
Dummy variables  u  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 3875 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  A  B  <->  A. y E* x  e.  A  y  e.  B )
2 elin 3227 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
)  <->  ( y  e. 
U_ x  e.  C  B  /\  y  e.  U_ x  e.  D  B
) )
3 eliun 3785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e.  C  B  <->  E. x  e.  C  y  e.  B )
4 eliun 3785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e.  D  B  <->  E. x  e.  D  y  e.  B )
53, 4anbi12i 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  C  B  /\  y  e.  U_ x  e.  D  B )  <->  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )
62, 5bitri 183 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
)  <->  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B
) )
7 nfv 1491 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w  y  e.  B
87rmo3 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E* x  e.  A  y  e.  B  <->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  [ w  /  x ]
y  e.  B )  ->  x  =  w ) )
9 simprl 503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  [
w  /  x ]
y  e.  B )  ->  x  =  w )  /\  ( C 
C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  ->  E. x  e.  C  y  e.  B )
10 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ u  y  e.  B
11 nfcsb1v 3003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ u  /  x ]_ B
1211nfcri 2250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  y  e.  [_ u  /  x ]_ B
13 csbeq1a 2981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  B  =  [_ u  /  x ]_ B )
1413eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
y  e.  B  <->  y  e.  [_ u  /  x ]_ B ) )
1510, 12, 14cbvrex 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  C  y  e.  B  <->  E. u  e.  C  y  e.  [_ u  /  x ]_ B )
169, 15sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  [
w  /  x ]
y  e.  B )  ->  x  =  w )  /\  ( C 
C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  ->  E. u  e.  C  y  e.  [_ u  /  x ]_ B )
17 simplrr 508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  [ w  /  x ]
y  e.  B )  ->  x  =  w )  /\  ( C 
C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  ->  E. x  e.  D  y  e.  B )
18 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ v  y  e.  B
19 nfcsb1v 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ v  /  x ]_ B
2019nfcri 2250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  y  e.  [_ v  /  x ]_ B
21 csbeq1a 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  B  =  [_ v  /  x ]_ B )
2221eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  v  ->  (
y  e.  B  <->  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )
2318, 20, 22cbvrex 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  D  y  e.  B  <->  E. v  e.  D  y  e.  [_ v  /  x ]_ B )
2417, 23sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  [ w  /  x ]
y  e.  B )  ->  x  =  w )  /\  ( C 
C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  ->  E. v  e.  D  y  e.  [_ v  /  x ]_ B )
25 simplrl 507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  u  e.  C )
26 simprl 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B )  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  ->  C  C_  A )
2726ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  C  C_  A
)
2827, 25sseldd 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  u  e.  A )
29 simprr 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B )  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  ->  D  C_  A )
3029ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  D  C_  A
)
31 simprl 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  v  e.  D )
3230, 31sseldd 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  v  e.  A )
3328, 32jca 302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )
34 simp-4l 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  [ w  /  x ]
y  e.  B )  ->  x  =  w ) )
35 simplrr 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  y  e.  [_ u  /  x ]_ B )
36 simprr 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  y  e.  [_ v  /  x ]_ B )
3720, 22sbie 1747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [ v  /  x ]
y  e.  B  <->  y  e.  [_ v  /  x ]_ B )
3836, 37sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  [ v  /  x ] y  e.  B )
3935, 38jca 302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  ( y  e.  [_ u  /  x ]_ B  /\  [ v  /  x ] y  e.  B ) )
40 nfs1v 1890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x [ w  /  x ] y  e.  B
4112, 40nfan 1527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( y  e.  [_ u  /  x ]_ B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)
42 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x  u  =  w
4341, 42nfim 1534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( y  e. 
[_ u  /  x ]_ B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B )  ->  u  =  w )
44 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ w
( ( y  e. 
[_ u  /  x ]_ B  /\  [ v  /  x ] y  e.  B )  ->  u  =  v )
4514anbi1d 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  u  ->  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  <->  ( y  e. 
[_ u  /  x ]_ B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B ) ) )
46 equequ1 1671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  w  <->  u  =  w ) )
4745, 46imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B )  ->  x  =  w )  <->  ( (
y  e.  [_ u  /  x ]_ B  /\  [ w  /  x ]
y  e.  B )  ->  u  =  w ) ) )
48 sbequ 1794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  v  ->  ( [ w  /  x ] y  e.  B  <->  [ v  /  x ]
y  e.  B ) )
4948anbi2d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  v  ->  (
( y  e.  [_ u  /  x ]_ B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  <->  ( y  e. 
[_ u  /  x ]_ B  /\  [ v  /  x ] y  e.  B ) ) )
50 equequ2 1672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  v  ->  (
u  =  w  <->  u  =  v ) )
5149, 50imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  v  ->  (
( ( y  e. 
[_ u  /  x ]_ B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B )  ->  u  =  w )  <->  ( (
y  e.  [_ u  /  x ]_ B  /\  [ v  /  x ]
y  e.  B )  ->  u  =  v ) ) )
5243, 44, 47, 51rspc2 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  [
w  /  x ]
y  e.  B )  ->  x  =  w )  ->  ( (
y  e.  [_ u  /  x ]_ B  /\  [ v  /  x ]
y  e.  B )  ->  u  =  v ) ) )
5333, 34, 39, 52syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  u  =  v )
5453, 31eqeltrd 2192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  u  e.  D )
55 inelcm 3391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  C  /\  u  e.  D )  ->  ( C  i^i  D
)  =/=  (/) )
5625, 54, 55syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  /\  ( v  e.  D  /\  y  e.  [_ v  /  x ]_ B ) )  ->  ( C  i^i  D )  =/=  (/) )
5724, 56rexlimddv 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  [ w  /  x ]
y  e.  B )  ->  x  =  w )  /\  ( C 
C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  /\  ( u  e.  C  /\  y  e. 
[_ u  /  x ]_ B ) )  -> 
( C  i^i  D
)  =/=  (/) )
5816, 57rexlimddv 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  [
w  /  x ]
y  e.  B )  ->  x  =  w )  /\  ( C 
C_  A  /\  D  C_  A ) )  /\  ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B ) )  ->  ( C  i^i  D )  =/=  (/) )
5958exp31 359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
( y  e.  B  /\  [ w  /  x ] y  e.  B
)  ->  x  =  w )  ->  (
( C  C_  A  /\  D  C_  A )  ->  ( ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B )  ->  ( C  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
608, 59sylbi 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( E* x  e.  A  y  e.  B  ->  (
( C  C_  A  /\  D  C_  A )  ->  ( ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B )  ->  ( C  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
6160impcom 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  ( ( E. x  e.  C  y  e.  B  /\  E. x  e.  D  y  e.  B )  -> 
( C  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
626, 61syl5bi 151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  ( y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
)  ->  ( C  i^i  D )  =/=  (/) ) )
6362necon2bd 2341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  E* x  e.  A  y  e.  B
)  ->  ( ( C  i^i  D )  =  (/)  ->  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) ) )
6463impancom 258 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A )  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  -> 
( E* x  e.  A  y  e.  B  ->  -.  y  e.  (
U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) ) )
65643impa 1159 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  ->  ( E* x  e.  A  y  e.  B  ->  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) ) )
6665alimdv 1833 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  ->  ( A. y E* x  e.  A  y  e.  B  ->  A. y  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
) ) )
671, 66syl5bi 151 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) )  ->  (Disj  x  e.  A  B  ->  A. y  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
) ) )
6867impcom 124 . 2  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  ->  A. y  -.  y  e.  ( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B
) )
69 eq0 3349 . 2  |-  ( (
U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B )  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  (
U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B ) )
7068, 69sylibr 133 1  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( C  C_  A  /\  D  C_  A  /\  ( C  i^i  D )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  C  B  i^i  U_ x  e.  D  B )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 945   A.wal 1312    = wceq 1314    e. wcel 1463   [wsb 1718    =/= wne 2283   A.wral 2391   E.wrex 2392   E*wrmo 2394   [_csb 2973    i^i cin 3038    C_ wss 3039   (/)c0 3331   U_ciun 3781  Disj wdisj 3874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rmo 2399  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-iun 3783  df-disj 3875
This theorem is referenced by:  iunfidisj  6800  fsumiun  11197
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