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Theorem disjiun 4120
Description: A disjoint collection yields disjoint indexed unions for disjoint index sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
disjiun |- ( (Disj x e. A B /\ ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) = (/) )
Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D
Allowed substitution hint:   B( x)
Proof of Theorem disjiun
Dummy variables u v w y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-disj 4102 . . . 4 |- (Disj x e. A B <-> A. y E* x e. A y e. B )
2 elin 3412 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) <-> ( y e. U_ x e. C B /\ y e. U_ x e. D B ) )
3 eliun 4011 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. U_ x e. C B <-> E. x e. C y e. B )
4 eliun 4011 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. U_ x e. D B <-> E. x e. D y e. B )
53, 4anbi12i 464 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. U_ x e. C B /\ y e. U_ x e. D B ) <-> ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) )
62, 5bitri 184 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) <-> ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) )
7 nfv 1581 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ w y e. B
87rmo3 3144 . . . . . . . . . . 11 |- ( E* x e. A y e. B <-> A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) )
9 simprl 535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) -> E. x e. C y e. B )
10 nfv 1581 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ u y e. B
11 nfcsb1v 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ u / x ]_ B
1211nfcri 2386 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x y e. [_ u / x ]_ B
13 csbeq1a 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = u -> B = [_ u / x ]_ B )
1413eleq2d 2308 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( y e. B <-> y e. [_ u / x ]_ B ) )
1510, 12, 14cbvrex 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. C y e. B <-> E. u e. C y e. [_ u / x ]_ B )
169, 15sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) -> E. u e. C y e. [_ u / x ]_ B )
17 simplrr 542 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) -> E. x e. D y e. B )
18 nfv 1581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ v y e. B
19 nfcsb1v 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ v / x ]_ B
2019nfcri 2386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x y e. [_ v / x ]_ B
21 csbeq1a 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = v -> B = [_ v / x ]_ B )
2221eleq2d 2308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = v -> ( y e. B <-> y e. [_ v / x ]_ B ) )
2318, 20, 22cbvrex 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. x e. D y e. B <-> E. v e. D y e. [_ v / x ]_ B )
2417, 23sylib 122 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) -> E. v e. D y e. [_ v / x ]_ B )
25 simplrl 541 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> u e. C )
26 simprl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) -> C C_ A )
2726ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> C C_ A )
2827, 25sseldd 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> u e. A )
29 simprr 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) -> D C_ A )
3029ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> D C_ A )
31 simprl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> v e. D )
3230, 31sseldd 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> v e. A )
3328, 32jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> ( u e. A /\ v e. A ) )
34 simp-4l 547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) )
35 simplrr 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> y e. [_ u / x ]_ B )
36 simprr 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> y e. [_ v / x ]_ B )
3720, 22sbie 1844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [ v / x ] y e. B <-> y e. [_ v / x ]_ B )
3836, 37sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> [ v / x ] y e. B )
3935, 38jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ v / x ] y e. B ) )
40 nfs1v 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x [ w / x ] y e. B
4112, 40nfan 1618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B )
42 nfv 1581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x u = w
4341, 42nfim 1625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B ) -> u = w )
44 nfv 1581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ w ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ v / x ] y e. B ) -> u = v )
4514anbi1d 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = u -> ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) <-> ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B ) ) )
46 equequ1 1764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = u -> ( x = w <-> u = w ) )
4745, 46imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = u -> ( ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) <-> ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B ) -> u = w ) ) )
48 sbequ 1893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = v -> ( [ w / x ] y e. B <-> [ v / x ] y e. B ) )
4948anbi2d 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = v -> ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B ) <-> ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ v / x ] y e. B ) ) )
50 equequ2 1765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = v -> ( u = w <-> u = v ) )
5149, 50imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = v -> ( ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ w / x ] y e. B ) -> u = w ) <-> ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ v / x ] y e. B ) -> u = v ) ) )
5243, 44, 47, 51rspc2 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. A /\ v e. A ) -> ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) -> ( ( y e. [_ u / x ]_ B /\ [ v / x ] y e. B ) -> u = v ) ) )
5333, 34, 39, 52syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> u = v )
5453, 31eqeltrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> u e. D )
55 inelcm 3584 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. C /\ u e. D ) -> ( C i^i D ) =/= (/) )
5625, 54, 55syl2anc 415 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) /\ ( v e. D /\ y e. [_ v / x ]_ B ) ) -> ( C i^i D ) =/= (/) )
5724, 56rexlimddv 2673 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) /\ ( u e. C /\ y e. [_ u / x ]_ B ) ) -> ( C i^i D ) =/= (/) )
5816, 57rexlimddv 2673 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) /\ ( C C_ A /\ D C_ A ) ) /\ ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) ) -> ( C i^i D ) =/= (/) )
5958exp31 364 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A A. w e. A ( ( y e. B /\ [ w / x ] y e. B ) -> x = w ) -> ( ( C C_ A /\ D C_ A ) -> ( ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) ) )
608, 59sylbi 121 . . . . . . . . . 10 |- ( E* x e. A y e. B -> ( ( C C_ A /\ D C_ A ) -> ( ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) ) )
6160impcom 125 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ E* x e. A y e. B ) -> ( ( E. x e. C y e. B /\ E. x e. D y e. B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) )
626, 61biimtrid 152 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ E* x e. A y e. B ) -> ( y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) -> ( C i^i D ) =/= (/) ) )
6362necon2bd 2478 . . . . . . 7 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ E* x e. A y e. B ) -> ( ( C i^i D ) = (/) -> -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
6463impancom 260 . . . . . 6 |- ( ( ( C C_ A /\ D C_ A ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> ( E* x e. A y e. B -> -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
65643impa 1225 . . . . 5 |- ( ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> ( E* x e. A y e. B -> -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
6665alimdv 1932 . . . 4 |- ( ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> ( A. y E* x e. A y e. B -> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
671, 66biimtrid 152 . . 3 |- ( ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) -> (Disj x e. A B -> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) ) )
6867impcom 125 . 2 |- ( (Disj x e. A B /\ ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) )
69 eq0 3540 . 2 |- ( ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) = (/) <-> A. y -. y e. ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) )
7068, 69sylibr 134 1 |- ( (Disj x e. A B /\ ( C C_ A /\ D C_ A /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> ( U_ x e. C B i^i U_ x e. D B ) = (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   A.wal 1400   = wceq 1402   [wsb 1815   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   E*wrmo 2531   [_csb 3147   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   U_ciun 4007  Disj wdisj 4101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rmo 2536  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-iun 4009  df-disj 4102
This theorem is referenced by:  iunfidisj  7250  fsumiun  12222
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