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Theorem istopg 12176
Description: Express the predicate " J is a topology". See istopfin 12177 for another characterization using nonempty finite intersections instead of binary intersections.

Note: In the literature, a topology is often represented by a calligraphic letter T, which resembles the letter J. This confusion may have led to J being used by some authors (e.g., K. D. Joshi, Introduction to General Topology (1983), p. 114) and it is convenient for us since we later use  T to represent linear transformations (operators). (Contributed by Stefan Allan, 3-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion
Ref Expression
istopg  |-  ( J  e.  A  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J   
x, A
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem istopg
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 3513 . . . . 5  |-  ( z  =  J  ->  ~P z  =  ~P J
)
2 eleq2 2203 . . . . 5  |-  ( z  =  J  ->  ( U. x  e.  z  <->  U. x  e.  J ) )
31, 2raleqbidv 2638 . . . 4  |-  ( z  =  J  ->  ( A. x  e.  ~P  z U. x  e.  z  <->  A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J
) )
4 eleq2 2203 . . . . . 6  |-  ( z  =  J  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
54raleqbi1dv 2634 . . . . 5  |-  ( z  =  J  ->  ( A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
65raleqbi1dv 2634 . . . 4  |-  ( z  =  J  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
73, 6anbi12d 464 . . 3  |-  ( z  =  J  ->  (
( A. x  e. 
~P  z U. x  e.  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z )  <->  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
8 df-top 12175 . . 3  |-  Top  =  { z  |  ( A. x  e.  ~P  z U. x  e.  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }
97, 8elab2g 2831 . 2  |-  ( J  e.  A  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y
)  e.  J ) ) )
10 df-ral 2421 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  <->  A. x ( x  e. 
~P J  ->  U. x  e.  J ) )
11 elpw2g 4081 . . . . . 6  |-  ( J  e.  A  ->  (
x  e.  ~P J  <->  x 
C_  J ) )
1211imbi1d 230 . . . . 5  |-  ( J  e.  A  ->  (
( x  e.  ~P J  ->  U. x  e.  J
)  <->  ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
) ) )
1312albidv 1796 . . . 4  |-  ( J  e.  A  ->  ( A. x ( x  e. 
~P J  ->  U. x  e.  J )  <->  A. x
( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
) ) )
1410, 13syl5bb 191 . . 3  |-  ( J  e.  A  ->  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  <->  A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
) ) )
1514anbi1d 460 . 2  |-  ( J  e.  A  ->  (
( A. x  e. 
~P  J U. x  e.  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
)  <->  ( A. x
( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
169, 15bitrd 187 1  |-  ( J  e.  A  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1329    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416    i^i cin 3070    C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   Topctop 12174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-top 12175
This theorem is referenced by:  istopfin  12177  uniopn  12178  inopn  12180  tgcl  12243  distop  12264  epttop  12269
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