Theorem istopg 13430

Description: Express the predicate " J is a topology". See istopfin 13431 for another characterization using nonempty finite intersections instead of binary intersections.

Note: In the literature, a topology is often represented by a calligraphic letter T, which resembles the letter J. This confusion may have led to J being used by some authors (e.g., K. D. Joshi, Introduction to General Topology (1983), p. 114) and it is convenient for us since we later use T to represent linear transformations (operators). (Contributed by Stefan Allan, 3-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
istopg	|- ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, A

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem istopg

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 3578	. . . . 5 |- ( z = J -> ~P z = ~P J )
2		eleq2 2241	. . . . 5 |- ( z = J -> ( U. x e. z <-> U. x e. J ) )
3	1, 2	raleqbidv 2684	. . . 4 |- ( z = J -> ( A. x e. ~P z U. x e. z <-> A. x e. ~P J U. x e. J ) )
4		eleq2 2241	. . . . . 6 |- ( z = J -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. J ) )
5	4	raleqbi1dv 2680	. . . . 5 |- ( z = J -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
6	5	raleqbi1dv 2680	. . . 4 |- ( z = J -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
7	3, 6	anbi12d 473	. . 3 |- ( z = J -> ( ( A. x e. ~P z U. x e. z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
8		df-top 13429	. . 3 |- Top = { z | ( A. x e. ~P z U. x e. z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) }
9	7, 8	elab2g 2884	. 2 |- ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
10		df-ral 2460	. . . 4 |- ( A. x e. ~P J U. x e. J <-> A. x ( x e. ~P J -> U. x e. J ) )
11		elpw2g 4156	. . . . . 6 |- ( J e. A -> ( x e. ~P J <-> x C_ J ) )
12	11	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( J e. A -> ( ( x e. ~P J -> U. x e. J ) <-> ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
13	12	albidv 1824	. . . 4 |- ( J e. A -> ( A. x ( x e. ~P J -> U. x e. J ) <-> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
14	10, 13	bitrid 192	. . 3 |- ( J e. A -> ( A. x e. ~P J U. x e. J <-> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
15	14	anbi1d 465	. 2 |- ( J e. A -> ( ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
16	9, 15	bitrd 188	1 |- ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   i^i cin 3128   C_ wss 3129   ~Pcpw 3575   U.cuni 3809   Topctop 13428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-top 13429

This theorem is referenced by:  istopfin  13431  uniopn  13432  inopn  13434  tgcl  13495  distop  13516  epttop  13521