Theorem istopg 14673

Description: Express the predicate " J is a topology". See istopfin 14674 for another characterization using nonempty finite intersections instead of binary intersections.

Note: In the literature, a topology is often represented by a calligraphic letter T, which resembles the letter J. This confusion may have led to J being used by some authors (e.g., K. D. Joshi, Introduction to General Topology (1983), p. 114) and it is convenient for us since we later use T to represent linear transformations (operators). (Contributed by Stefan Allan, 3-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
istopg	|- ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, A

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem istopg

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 3652	. . . . 5 |- ( z = J -> ~P z = ~P J )
2		eleq2 2293	. . . . 5 |- ( z = J -> ( U. x e. z <-> U. x e. J ) )
3	1, 2	raleqbidv 2744	. . . 4 |- ( z = J -> ( A. x e. ~P z U. x e. z <-> A. x e. ~P J U. x e. J ) )
4		eleq2 2293	. . . . . 6 |- ( z = J -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. J ) )
5	4	raleqbi1dv 2740	. . . . 5 |- ( z = J -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
6	5	raleqbi1dv 2740	. . . 4 |- ( z = J -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
7	3, 6	anbi12d 473	. . 3 |- ( z = J -> ( ( A. x e. ~P z U. x e. z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
8		df-top 14672	. . 3 |- Top = { z | ( A. x e. ~P z U. x e. z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) }
9	7, 8	elab2g 2950	. 2 |- ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
10		df-ral 2513	. . . 4 |- ( A. x e. ~P J U. x e. J <-> A. x ( x e. ~P J -> U. x e. J ) )
11		elpw2g 4240	. . . . . 6 |- ( J e. A -> ( x e. ~P J <-> x C_ J ) )
12	11	imbi1d 231	. . . . 5 |- ( J e. A -> ( ( x e. ~P J -> U. x e. J ) <-> ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
13	12	albidv 1870	. . . 4 |- ( J e. A -> ( A. x ( x e. ~P J -> U. x e. J ) <-> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
14	10, 13	bitrid 192	. . 3 |- ( J e. A -> ( A. x e. ~P J U. x e. J <-> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
15	14	anbi1d 465	. 2 |- ( J e. A -> ( ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
16	9, 15	bitrd 188	1 |- ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   i^i cin 3196   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   U.cuni 3888   Topctop 14671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-top 14672

This theorem is referenced by:  istopfin  14674  uniopn  14675  inopn  14677  tgcl  14738  distop  14759  epttop  14764