Theorem istopfin 12638

Description: Express the predicate " J is a topology" using nonempty finite intersections instead of binary intersections as in istopg 12637. It is not clear we can prove the converse without adding additional conditions. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
istopfin	|- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x ( ( x C_ J /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. J ) ) )

Distinct variable group:   x, J

Proof of Theorem istopfin

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopg 12637	. . 3 |- ( J e. Top -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
2	1	ibi 175	. 2 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
3		fiintim 6894	. . 3 |- ( A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J -> A. x ( ( x C_ J /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. J ) )
4	3	anim2i 340	. 2 |- ( ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x ( ( x C_ J /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. J ) ) )
5	2, 4	syl 14	1 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x ( ( x C_ J /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   A.wal 1341   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   U.cuni 3789   |^|cint 3824   Fincfn 6706   Topctop 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-top 12636

This theorem is referenced by:  fiinopn  12642