ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  istopfin Unicode version

Theorem istopfin 12181
Description: Express the predicate " J is a topology" using nonempty finite intersections instead of binary intersections as in istopg 12180. It is not clear we can prove the converse without adding additional conditions. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
istopfin  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x
( ( x  C_  J  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  J ) ) )
Distinct variable group:    x, J

Proof of Theorem istopfin
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istopg 12180 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
21ibi 175 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
3 fiintim 6817 . . 3  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x  i^i  y )  e.  J  ->  A. x
( ( x  C_  J  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  J ) )
43anim2i 339 . 2  |-  ( ( A. x ( x 
C_  J  ->  U. x  e.  J )  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
x  i^i  y )  e.  J )  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x
( ( x  C_  J  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  J ) ) )
52, 4syl 14 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x
( ( x  C_  J  /\  x  =/=  (/)  /\  x  e.  Fin )  ->  |^| x  e.  J ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962   A.wal 1329    e. wcel 1480    =/= wne 2308   A.wral 2416    i^i cin 3070    C_ wss 3071   (/)c0 3363   U.cuni 3736   |^|cint 3771   Fincfn 6634   Topctop 12178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-top 12179
This theorem is referenced by:  fiinopn  12185
  Copyright terms: Public domain W3C validator