Theorem istopfin 14179

Description: Express the predicate " J is a topology" using nonempty finite intersections instead of binary intersections as in istopg 14178. It is not clear we can prove the converse without adding additional conditions. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
istopfin	|- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x ( ( x C_ J /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. J ) ) )

Distinct variable group:   x, J

Proof of Theorem istopfin

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopg 14178	. . 3 |- ( J e. Top -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
2	1	ibi 176	. 2 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
3		fiintim 6987	. . 3 |- ( A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J -> A. x ( ( x C_ J /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. J ) )
4	3	anim2i 342	. 2 |- ( ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x ( ( x C_ J /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. J ) ) )
5	2, 4	syl 14	1 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x ( ( x C_ J /\ x =/= (/) /\ x e. Fin ) -> |^| x e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   A.wal 1362   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   i^i cin 3153   C_ wss 3154   (/)c0 3447   U.cuni 3836   |^|cint 3871   Fincfn 6796   Topctop 14176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799  df-top 14177

This theorem is referenced by:  fiinopn  14183