Theorem epttop 13159

Description: The excluded point topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
epttop	|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. (TopOn ` A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, P

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem epttop

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab 3231	. . . . 5 |- ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) )
2		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> y C_ ~P A )
3		sspwuni 3966	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ~P A <-> U. y C_ A )
4	2, 3	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> U. y C_ A )
5		vuniex 4432	. . . . . . . . 9 |- U. y e. _V
6	5	elpw 3578	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. ~P A <-> U. y C_ A )
7	4, 6	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> U. y e. ~P A )
8		eluni2 3809	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. U. y <-> E. x e. y P e. x )
9		r19.29 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. y ( P e. x -> x = A ) /\ E. x e. y P e. x ) -> E. x e. y ( ( P e. x -> x = A ) /\ P e. x ) )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. y /\ ( P e. x -> x = A ) ) -> ( P e. x -> x = A ) )
11	10	impr 379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. y /\ ( ( P e. x -> x = A ) /\ P e. x ) ) -> x = A )
12		elssuni 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. y -> x C_ U. y )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. y /\ ( ( P e. x -> x = A ) /\ P e. x ) ) -> x C_ U. y )
14	11, 13	eqsstrrd 3190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. y /\ ( ( P e. x -> x = A ) /\ P e. x ) ) -> A C_ U. y )
15	14	rexlimiva 2587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. y ( ( P e. x -> x = A ) /\ P e. x ) -> A C_ U. y )
16	9, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. y ( P e. x -> x = A ) /\ E. x e. y P e. x ) -> A C_ U. y )
17	16	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. y ( P e. x -> x = A ) -> ( E. x e. y P e. x -> A C_ U. y ) )
18	17	ad2antll 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> ( E. x e. y P e. x -> A C_ U. y ) )
19	8, 18	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> ( P e. U. y -> A C_ U. y ) )
20	19, 4	jctild 316	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> ( P e. U. y -> ( U. y C_ A /\ A C_ U. y ) ) )
21		eqss 3168	. . . . . . . 8 |- ( U. y = A <-> ( U. y C_ A /\ A C_ U. y ) )
22	20, 21	syl6ibr 162	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> ( P e. U. y -> U. y = A ) )
23		eleq2 2239	. . . . . . . . 9 |- ( x = U. y -> ( P e. x <-> P e. U. y ) )
24		eqeq1 2182	. . . . . . . . 9 |- ( x = U. y -> ( x = A <-> U. y = A ) )
25	23, 24	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = U. y -> ( ( P e. x -> x = A ) <-> ( P e. U. y -> U. y = A ) ) )
26	25	elrab 2891	. . . . . . 7 |- ( U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( U. y e. ~P A /\ ( P e. U. y -> U. y = A ) ) )
27	7, 22, 26	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
28	27	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) )
29	1, 28	biimtrid 152	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) )
30	29	alrimiv 1872	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) )
31		inss1 3353	. . . . . . . . 9 |- ( y i^i z ) C_ y
32		simprll 537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> y e. ~P A )
33	32	elpwid 3583	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> y C_ A )
34	31, 33	sstrid 3164	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( y i^i z ) C_ A )
35		vex 2738	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
36	35	inex1 4132	. . . . . . . . 9 |- ( y i^i z ) e. _V
37	36	elpw 3578	. . . . . . . 8 |- ( ( y i^i z ) e. ~P A <-> ( y i^i z ) C_ A )
38	34, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( y i^i z ) e. ~P A )
39		elin 3316	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( y i^i z ) <-> ( P e. y /\ P e. z ) )
40		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( P e. y -> y = A ) )
41		simprrr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( P e. z -> z = A ) )
42	40, 41	anim12d 335	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( ( P e. y /\ P e. z ) -> ( y = A /\ z = A ) ) )
43		ineq12 3329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = A /\ z = A ) -> ( y i^i z ) = ( A i^i A ) )
44		inidm 3342	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i A ) = A
45	43, 44	eqtrdi 2224	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = A /\ z = A ) -> ( y i^i z ) = A )
46	42, 45	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( ( P e. y /\ P e. z ) -> ( y i^i z ) = A ) )
47	39, 46	biimtrid 152	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( P e. ( y i^i z ) -> ( y i^i z ) = A ) )
48	38, 47	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( ( y i^i z ) e. ~P A /\ ( P e. ( y i^i z ) -> ( y i^i z ) = A ) ) )
49	48	ex 115	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) -> ( ( y i^i z ) e. ~P A /\ ( P e. ( y i^i z ) -> ( y i^i z ) = A ) ) ) )
50		eleq2 2239	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( P e. x <-> P e. y ) )
51		eqeq1 2182	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x = A <-> y = A ) )
52	50, 51	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( P e. x -> x = A ) <-> ( P e. y -> y = A ) ) )
53	52	elrab 2891	. . . . . 6 |- ( y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) )
54		eleq2 2239	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( P e. x <-> P e. z ) )
55		eqeq1 2182	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x = A <-> z = A ) )
56	54, 55	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( P e. x -> x = A ) <-> ( P e. z -> z = A ) ) )
57	56	elrab 2891	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) )
58	53, 57	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } /\ z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) <-> ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) )
59		eleq2 2239	. . . . . . 7 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( P e. x <-> P e. ( y i^i z ) ) )
60		eqeq1 2182	. . . . . . 7 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( x = A <-> ( y i^i z ) = A ) )
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( ( P e. x -> x = A ) <-> ( P e. ( y i^i z ) -> ( y i^i z ) = A ) ) )
62	61	elrab 2891	. . . . 5 |- ( ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( ( y i^i z ) e. ~P A /\ ( P e. ( y i^i z ) -> ( y i^i z ) = A ) ) )
63	49, 58, 62	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( ( y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } /\ z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) -> ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) )
64	63	ralrimivv 2556	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } A. z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
65		pwexg 4175	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
66	65	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ~P A e. _V )
67		rabexg 4141	. . . . 5 |- ( ~P A e. _V -> { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. _V )
68	66, 67	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. _V )
69		istopg 13066	. . . 4 |- ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. _V -> ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. Top <-> ( A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) /\ A. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } A. z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) ) )
70	68, 69	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. Top <-> ( A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) /\ A. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } A. z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) ) )
71	30, 64, 70	mpbir2and 944	. 2 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. Top )
72		pwidg 3586	. . . . . 6 |- ( A e. V -> A e. ~P A )
73	72	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A e. ~P A )
74		eqidd 2176	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A = A )
75	74	a1d 22	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( P e. A -> A = A ) )
76		eleq2 2239	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( P e. x <-> P e. A ) )
77		eqeq1 2182	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( x = A <-> A = A ) )
78	76, 77	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( P e. x -> x = A ) <-> ( P e. A -> A = A ) ) )
79	78	elrab 2891	. . . . 5 |- ( A e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( A e. ~P A /\ ( P e. A -> A = A ) ) )
80	73, 75, 79	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
81		elssuni 3833	. . . 4 |- ( A e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } -> A C_ U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
82	80, 81	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A C_ U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
83		ssrab2 3238	. . . . 5 |- { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } C_ ~P A
84		sspwuni 3966	. . . . 5 |- ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } C_ ~P A <-> U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } C_ A )
85	83, 84	mpbi 145	. . . 4 |- U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } C_ A
86	85	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } C_ A )
87	82, 86	eqssd 3170	. 2 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A = U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
88		istopon 13080	. 2 |- ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. (TopOn ` A ) <-> ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. Top /\ A = U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) )
89	71, 87, 88	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. (TopOn ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   {crab 2457   _Vcvv 2735   i^i cin 3126   C_ wss 3127   ~Pcpw 3572   U.cuni 3805   ` cfv 5208   Topctop 13064  TopOnctopon 13077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-top 13065  df-topon 13078

This theorem is referenced by: (None)