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Theorem epttop 12269
Description: The excluded point topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
epttop  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, P
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem epttop
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab 3175 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )
2 simprl 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  y  C_  ~P A )
3 sspwuni 3897 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  ~P A  <->  U. y  C_  A )
42, 3sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  C_  A )
5 vuniex 4360 . . . . . . . . 9  |-  U. y  e.  _V
65elpw 3516 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
74, 6sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  e.  ~P A )
8 eluni2 3740 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  U. y  <->  E. x  e.  y  P  e.  x )
9 r19.29 2569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  E. x  e.  y  P  e.  x
)  ->  E. x  e.  y  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x )
)
10 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )  ->  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )
1110impr 376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  x  =  A )
12 elssuni 3764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  y  ->  x  C_ 
U. y )
1312adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  x  C_  U. y )
1411, 13eqsstrrd 3134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  A  C_  U. y )
1514rexlimiva 2544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  y  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x
)  ->  A  C_  U. y
)
169, 15syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  E. x  e.  y  P  e.  x
)  ->  A  C_  U. y
)
1716ex 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  -> 
( E. x  e.  y  P  e.  x  ->  A  C_  U. y
) )
1817ad2antll 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( E. x  e.  y  P  e.  x  ->  A  C_  U. y ) )
198, 18syl5bi 151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  A  C_ 
U. y ) )
2019, 4jctild 314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  ( U. y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) )
21 eqss 3112 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  =  A  <->  ( U. y  C_  A  /\  A  C_ 
U. y ) )
2220, 21syl6ibr 161 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) )
23 eleq2 2203 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( P  e.  x  <->  P  e.  U. y ) )
24 eqeq1 2146 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  A  <->  U. y  =  A
) )
2523, 24imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  <->  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) ) )
2625elrab 2840 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( U. y  e. 
~P A  /\  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) ) )
277, 22, 26sylanbrc 413 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
2827ex 114 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
291, 28syl5bi 151 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
3029alrimiv 1846 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
31 inss1 3296 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  C_  y
32 simprll 526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  y  e.  ~P A )
3332elpwid 3521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  y  C_  A
)
3431, 33sstrid 3108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
35 vex 2689 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3635inex1 4062 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
3736elpw 3516 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
3834, 37sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
39 elin 3259 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( y  i^i  z )  <->  ( P  e.  y  /\  P  e.  z ) )
40 simprlr 527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )
41 simprrr 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) )
4240, 41anim12d 333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( P  e.  y  /\  P  e.  z )  ->  (
y  =  A  /\  z  =  A )
) )
43 ineq12 3272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( y  i^i  z
)  =  ( A  i^i  A ) )
44 inidm 3285 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  A )  =  A
4543, 44syl6eq 2188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( y  i^i  z
)  =  A )
4642, 45syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( P  e.  y  /\  P  e.  z )  ->  (
y  i^i  z )  =  A ) )
4739, 46syl5bi 151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) )
4838, 47jca 304 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  (
y  i^i  z )  =  A ) ) )
4948ex 114 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )  ->  (
( y  i^i  z
)  e.  ~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) ) )
50 eleq2 2203 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  y ) )
51 eqeq1 2146 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  <->  y  =  A ) )
5250, 51imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  y  ->  y  =  A ) ) )
5352elrab 2840 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) ) )
54 eleq2 2203 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  z ) )
55 eqeq1 2146 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  A  <->  z  =  A ) )
5654, 55imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )
5756elrab 2840 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )
5853, 57anbi12i 455 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  <-> 
( ( y  e. 
~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  ( z  e. 
~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )
59 eleq2 2203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( y  i^i  z
) ) )
60 eqeq1 2146 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  A  <->  ( y  i^i  z )  =  A ) )
6159, 60imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) )
6261elrab 2840 . . . . 5  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) )
6349, 58, 623imtr4g 204 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  ->  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
6463ralrimivv 2513 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
65 pwexg 4104 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
6665adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ~P A  e.  _V )
67 rabexg 4071 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V )
6866, 67syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V )
69 istopg 12176 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V  ->  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) ) )
7068, 69syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) ) )
7130, 64, 70mpbir2and 928 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top )
72 pwidg 3524 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
7372adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  ~P A
)
74 eqidd 2140 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  =  A )
7574a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( P  e.  A  ->  A  =  A ) )
76 eleq2 2203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  A ) )
77 eqeq1 2146 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  A  <->  A  =  A ) )
7876, 77imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  A  ->  A  =  A ) ) )
7978elrab 2840 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( A  e.  ~P A  /\  ( P  e.  A  ->  A  =  A ) ) )
8073, 75, 79sylanbrc 413 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
81 elssuni 3764 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  A  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
8280, 81syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  C_  U. { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
83 ssrab2 3182 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  ~P A
84 sspwuni 3897 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  ~P A  <->  U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A )
8583, 84mpbi 144 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A
8685a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A )
8782, 86eqssd 3114 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
88 istopon 12190 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  /\  A  =  U. { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
8971, 87, 88sylanbrc 413 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1329    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420   _Vcvv 2686    i^i cin 3070    C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   ` cfv 5123   Topctop 12174  TopOnctopon 12187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-top 12175  df-topon 12188
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