Theorem epttop 12298

Description: The excluded point topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
epttop	|- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. (TopOn ` A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, P

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem epttop

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab 3180	. . . . 5 |- ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) )
2		simprl 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> y C_ ~P A )
3		sspwuni 3905	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ ~P A <-> U. y C_ A )
4	2, 3	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> U. y C_ A )
5		vuniex 4368	. . . . . . . . 9 |- U. y e. _V
6	5	elpw 3521	. . . . . . . 8 |- ( U. y e. ~P A <-> U. y C_ A )
7	4, 6	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> U. y e. ~P A )
8		eluni2 3748	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. U. y <-> E. x e. y P e. x )
9		r19.29 2572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. y ( P e. x -> x = A ) /\ E. x e. y P e. x ) -> E. x e. y ( ( P e. x -> x = A ) /\ P e. x ) )
10		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. y /\ ( P e. x -> x = A ) ) -> ( P e. x -> x = A ) )
11	10	impr 377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. y /\ ( ( P e. x -> x = A ) /\ P e. x ) ) -> x = A )
12		elssuni 3772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. y -> x C_ U. y )
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. y /\ ( ( P e. x -> x = A ) /\ P e. x ) ) -> x C_ U. y )
14	11, 13	eqsstrrd 3139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. y /\ ( ( P e. x -> x = A ) /\ P e. x ) ) -> A C_ U. y )
15	14	rexlimiva 2547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. y ( ( P e. x -> x = A ) /\ P e. x ) -> A C_ U. y )
16	9, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. y ( P e. x -> x = A ) /\ E. x e. y P e. x ) -> A C_ U. y )
17	16	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. y ( P e. x -> x = A ) -> ( E. x e. y P e. x -> A C_ U. y ) )
18	17	ad2antll 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> ( E. x e. y P e. x -> A C_ U. y ) )
19	8, 18	syl5bi 151	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> ( P e. U. y -> A C_ U. y ) )
20	19, 4	jctild 314	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> ( P e. U. y -> ( U. y C_ A /\ A C_ U. y ) ) )
21		eqss 3117	. . . . . . . 8 |- ( U. y = A <-> ( U. y C_ A /\ A C_ U. y ) )
22	20, 21	syl6ibr 161	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> ( P e. U. y -> U. y = A ) )
23		eleq2 2204	. . . . . . . . 9 |- ( x = U. y -> ( P e. x <-> P e. U. y ) )
24		eqeq1 2147	. . . . . . . . 9 |- ( x = U. y -> ( x = A <-> U. y = A ) )
25	23, 24	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( x = U. y -> ( ( P e. x -> x = A ) <-> ( P e. U. y -> U. y = A ) ) )
26	25	elrab 2844	. . . . . . 7 |- ( U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( U. y e. ~P A /\ ( P e. U. y -> U. y = A ) ) )
27	7, 22, 26	sylanbrc 414	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) ) -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
28	27	ex 114	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( ( y C_ ~P A /\ A. x e. y ( P e. x -> x = A ) ) -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) )
29	1, 28	syl5bi 151	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) )
30	29	alrimiv 1847	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) )
31		inss1 3301	. . . . . . . . 9 |- ( y i^i z ) C_ y
32		simprll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> y e. ~P A )
33	32	elpwid 3526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> y C_ A )
34	31, 33	sstrid 3113	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( y i^i z ) C_ A )
35		vex 2692	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
36	35	inex1 4070	. . . . . . . . 9 |- ( y i^i z ) e. _V
37	36	elpw 3521	. . . . . . . 8 |- ( ( y i^i z ) e. ~P A <-> ( y i^i z ) C_ A )
38	34, 37	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( y i^i z ) e. ~P A )
39		elin 3264	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( y i^i z ) <-> ( P e. y /\ P e. z ) )
40		simprlr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( P e. y -> y = A ) )
41		simprrr 530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( P e. z -> z = A ) )
42	40, 41	anim12d 333	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( ( P e. y /\ P e. z ) -> ( y = A /\ z = A ) ) )
43		ineq12 3277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = A /\ z = A ) -> ( y i^i z ) = ( A i^i A ) )
44		inidm 3290	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i A ) = A
45	43, 44	eqtrdi 2189	. . . . . . . . 9 |- ( ( y = A /\ z = A ) -> ( y i^i z ) = A )
46	42, 45	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( ( P e. y /\ P e. z ) -> ( y i^i z ) = A ) )
47	39, 46	syl5bi 151	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( P e. ( y i^i z ) -> ( y i^i z ) = A ) )
48	38, 47	jca 304	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ P e. A ) /\ ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) ) -> ( ( y i^i z ) e. ~P A /\ ( P e. ( y i^i z ) -> ( y i^i z ) = A ) ) )
49	48	ex 114	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) -> ( ( y i^i z ) e. ~P A /\ ( P e. ( y i^i z ) -> ( y i^i z ) = A ) ) ) )
50		eleq2 2204	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( P e. x <-> P e. y ) )
51		eqeq1 2147	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x = A <-> y = A ) )
52	50, 51	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( P e. x -> x = A ) <-> ( P e. y -> y = A ) ) )
53	52	elrab 2844	. . . . . 6 |- ( y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) )
54		eleq2 2204	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( P e. x <-> P e. z ) )
55		eqeq1 2147	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x = A <-> z = A ) )
56	54, 55	imbi12d 233	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( P e. x -> x = A ) <-> ( P e. z -> z = A ) ) )
57	56	elrab 2844	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) )
58	53, 57	anbi12i 456	. . . . 5 |- ( ( y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } /\ z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) <-> ( ( y e. ~P A /\ ( P e. y -> y = A ) ) /\ ( z e. ~P A /\ ( P e. z -> z = A ) ) ) )
59		eleq2 2204	. . . . . . 7 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( P e. x <-> P e. ( y i^i z ) ) )
60		eqeq1 2147	. . . . . . 7 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( x = A <-> ( y i^i z ) = A ) )
61	59, 60	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( x = ( y i^i z ) -> ( ( P e. x -> x = A ) <-> ( P e. ( y i^i z ) -> ( y i^i z ) = A ) ) )
62	61	elrab 2844	. . . . 5 |- ( ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( ( y i^i z ) e. ~P A /\ ( P e. ( y i^i z ) -> ( y i^i z ) = A ) ) )
63	49, 58, 62	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( ( y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } /\ z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) -> ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) )
64	63	ralrimivv 2516	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } A. z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
65		pwexg 4112	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
66	65	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ~P A e. _V )
67		rabexg 4079	. . . . 5 |- ( ~P A e. _V -> { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. _V )
68	66, 67	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. _V )
69		istopg 12205	. . . 4 |- ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. _V -> ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. Top <-> ( A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) /\ A. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } A. z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) ) )
70	68, 69	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. Top <-> ( A. y ( y C_ { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } -> U. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) /\ A. y e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } A. z e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ( y i^i z ) e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) ) )
71	30, 64, 70	mpbir2and 929	. 2 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. Top )
72		pwidg 3529	. . . . . 6 |- ( A e. V -> A e. ~P A )
73	72	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A e. ~P A )
74		eqidd 2141	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A = A )
75	74	a1d 22	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> ( P e. A -> A = A ) )
76		eleq2 2204	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( P e. x <-> P e. A ) )
77		eqeq1 2147	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( x = A <-> A = A ) )
78	76, 77	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( P e. x -> x = A ) <-> ( P e. A -> A = A ) ) )
79	78	elrab 2844	. . . . 5 |- ( A e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } <-> ( A e. ~P A /\ ( P e. A -> A = A ) ) )
80	73, 75, 79	sylanbrc 414	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
81		elssuni 3772	. . . 4 |- ( A e. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } -> A C_ U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
82	80, 81	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A C_ U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
83		ssrab2 3187	. . . . 5 |- { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } C_ ~P A
84		sspwuni 3905	. . . . 5 |- ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } C_ ~P A <-> U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } C_ A )
85	83, 84	mpbi 144	. . . 4 |- U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } C_ A
86	85	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } C_ A )
87	82, 86	eqssd 3119	. 2 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> A = U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } )
88		istopon 12219	. 2 |- ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. (TopOn ` A ) <-> ( { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. Top /\ A = U. { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } ) )
89	71, 87, 88	sylanbrc 414	1 |- ( ( A e. V /\ P e. A ) -> { x e. ~P A | ( P e. x -> x = A ) } e. (TopOn ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   _Vcvv 2689   i^i cin 3075   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   U.cuni 3744   ` cfv 5131   Topctop 12203  TopOnctopon 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-top 12204  df-topon 12217

This theorem is referenced by: (None)