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Theorem epttop 13159
Description: The excluded point topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
epttop  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, P
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem epttop
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab 3231 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )
2 simprl 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  y  C_  ~P A )
3 sspwuni 3966 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  ~P A  <->  U. y  C_  A )
42, 3sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  C_  A )
5 vuniex 4432 . . . . . . . . 9  |-  U. y  e.  _V
65elpw 3578 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
74, 6sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  e.  ~P A )
8 eluni2 3809 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  U. y  <->  E. x  e.  y  P  e.  x )
9 r19.29 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  E. x  e.  y  P  e.  x
)  ->  E. x  e.  y  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x )
)
10 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )  ->  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )
1110impr 379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  x  =  A )
12 elssuni 3833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  y  ->  x  C_ 
U. y )
1312adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  x  C_  U. y )
1411, 13eqsstrrd 3190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x ) )  ->  A  C_  U. y )
1514rexlimiva 2587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  y  ( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  P  e.  x
)  ->  A  C_  U. y
)
169, 15syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  /\  E. x  e.  y  P  e.  x
)  ->  A  C_  U. y
)
1716ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A )  -> 
( E. x  e.  y  P  e.  x  ->  A  C_  U. y
) )
1817ad2antll 491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( E. x  e.  y  P  e.  x  ->  A  C_  U. y ) )
198, 18biimtrid 152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  A  C_ 
U. y ) )
2019, 4jctild 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  ( U. y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) )
21 eqss 3168 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  =  A  <->  ( U. y  C_  A  /\  A  C_ 
U. y ) )
2220, 21syl6ibr 162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) )
23 eleq2 2239 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( P  e.  x  <->  P  e.  U. y ) )
24 eqeq1 2182 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  A  <->  U. y  =  A
) )
2523, 24imbi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( P  e.  x  ->  x  =  A )  <->  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) ) )
2625elrab 2891 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( U. y  e. 
~P A  /\  ( P  e.  U. y  ->  U. y  =  A ) ) )
277, 22, 26sylanbrc 417 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
2827ex 115 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
291, 28biimtrid 152 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
3029alrimiv 1872 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
31 inss1 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  C_  y
32 simprll 537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  y  e.  ~P A )
3332elpwid 3583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  y  C_  A
)
3431, 33sstrid 3164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
35 vex 2738 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3635inex1 4132 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
3736elpw 3578 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
3834, 37sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
39 elin 3316 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( y  i^i  z )  <->  ( P  e.  y  /\  P  e.  z ) )
40 simprlr 538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )
41 simprrr 540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) )
4240, 41anim12d 335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( P  e.  y  /\  P  e.  z )  ->  (
y  =  A  /\  z  =  A )
) )
43 ineq12 3329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( y  i^i  z
)  =  ( A  i^i  A ) )
44 inidm 3342 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  A )  =  A
4543, 44eqtrdi 2224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  A )  ->  ( y  i^i  z
)  =  A )
4642, 45syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( P  e.  y  /\  P  e.  z )  ->  (
y  i^i  z )  =  A ) )
4739, 46biimtrid 152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) )
4838, 47jca 306 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )  ->  ( ( y  i^i  z )  e. 
~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  (
y  i^i  z )  =  A ) ) )
4948ex 115 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )  ->  (
( y  i^i  z
)  e.  ~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) ) )
50 eleq2 2239 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  y ) )
51 eqeq1 2182 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  A  <->  y  =  A ) )
5250, 51imbi12d 234 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  y  ->  y  =  A ) ) )
5352elrab 2891 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) ) )
54 eleq2 2239 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  z ) )
55 eqeq1 2182 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  A  <->  z  =  A ) )
5654, 55imbi12d 234 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )
5756elrab 2891 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) )
5853, 57anbi12i 460 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  <-> 
( ( y  e. 
~P A  /\  ( P  e.  y  ->  y  =  A ) )  /\  ( z  e. 
~P A  /\  ( P  e.  z  ->  z  =  A ) ) ) )
59 eleq2 2239 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( y  i^i  z
) ) )
60 eqeq1 2182 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  A  <->  ( y  i^i  z )  =  A ) )
6159, 60imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  ( y  i^i  z )  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) )
6261elrab 2891 . . . . 5  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  i^i  z )  =  A ) ) )
6349, 58, 623imtr4g 205 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  ->  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
6463ralrimivv 2556 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
65 pwexg 4175 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
6665adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ~P A  e.  _V )
67 rabexg 4141 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V )
6866, 67syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V )
69 istopg 13066 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  _V  ->  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) ) )
7068, 69syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) ) )
7130, 64, 70mpbir2and 944 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top )
72 pwidg 3586 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
7372adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  ~P A
)
74 eqidd 2176 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  =  A )
7574a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( P  e.  A  ->  A  =  A ) )
76 eleq2 2239 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  A ) )
77 eqeq1 2182 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  A  <->  A  =  A ) )
7876, 77imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( P  e.  x  ->  x  =  A )  <-> 
( P  e.  A  ->  A  =  A ) ) )
7978elrab 2891 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } 
<->  ( A  e.  ~P A  /\  ( P  e.  A  ->  A  =  A ) ) )
8073, 75, 79sylanbrc 417 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
81 elssuni 3833 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  ->  A  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
8280, 81syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  C_  U. { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
83 ssrab2 3238 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  ~P A
84 sspwuni 3966 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  ~P A  <->  U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A )
8583, 84mpbi 145 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A
8685a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  C_  A )
8782, 86eqssd 3170 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } )
88 istopon 13080 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  Top  /\  A  =  U. { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) } ) )
8971, 87, 88sylanbrc 417 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  ->  x  =  A ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   {crab 2457   _Vcvv 2735    i^i cin 3126    C_ wss 3127   ~Pcpw 3572   U.cuni 3805   ` cfv 5208   Topctop 13064  TopOnctopon 13077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-top 13065  df-topon 13078
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