Theorem tgcl 12704

Description: Show that a basis generates a topology. Remark in [Munkres] p. 79. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgcl	|- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )

Proof of Theorem tgcl

Dummy variables x y z u t v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss 3810	. . . . . . . 8 |- ( u C_ ( topGen ` B ) -> U. u C_ U. ( topGen ` B ) )
2	1	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ u C_ ( topGen ` B ) ) -> U. u C_ U. ( topGen ` B ) )
3		unitg 12702	. . . . . . . 8 |- ( B e. TopBases -> U. ( topGen ` B ) = U. B )
4	3	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ u C_ ( topGen ` B ) ) -> U. ( topGen ` B ) = U. B )
5	2, 4	sseqtrd 3180	. . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ u C_ ( topGen ` B ) ) -> U. u C_ U. B )
6		eluni2 3793	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. u <-> E. t e. u x e. t )
7		ssel2 3137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u C_ ( topGen ` B ) /\ t e. u ) -> t e. ( topGen ` B ) )
8		eltg2b 12694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. TopBases -> ( t e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. t E. y e. B ( x e. y /\ y C_ t ) ) )
9		rsp 2513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. t E. y e. B ( x e. y /\ y C_ t ) -> ( x e. t -> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ t ) ) )
10	8, 9	syl6bi 162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. TopBases -> ( t e. ( topGen ` B ) -> ( x e. t -> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ t ) ) ) )
11	10	imp31 254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. TopBases /\ t e. ( topGen ` B ) ) /\ x e. t ) -> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ t ) )
12	11	an32s 558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. TopBases /\ x e. t ) /\ t e. ( topGen ` B ) ) -> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ t ) )
13	7, 12	sylan2 284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. TopBases /\ x e. t ) /\ ( u C_ ( topGen ` B ) /\ t e. u ) ) -> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ t ) )
14	13	an42s 579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. TopBases /\ u C_ ( topGen ` B ) ) /\ ( t e. u /\ x e. t ) ) -> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ t ) )
15		elssuni 3817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t e. u -> t C_ U. u )
16		sstr2 3149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y C_ t -> ( t C_ U. u -> y C_ U. u ) )
17	15, 16	syl5com 29	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. u -> ( y C_ t -> y C_ U. u ) )
18	17	anim2d 335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. u -> ( ( x e. y /\ y C_ t ) -> ( x e. y /\ y C_ U. u ) ) )
19	18	reximdv 2567	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. u -> ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ t ) -> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ U. u ) ) )
20	19	ad2antrl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. TopBases /\ u C_ ( topGen ` B ) ) /\ ( t e. u /\ x e. t ) ) -> ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ t ) -> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ U. u ) ) )
21	14, 20	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. TopBases /\ u C_ ( topGen ` B ) ) /\ ( t e. u /\ x e. t ) ) -> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ U. u ) )
22	21	rexlimdvaa 2584	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. TopBases /\ u C_ ( topGen ` B ) ) -> ( E. t e. u x e. t -> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ U. u ) ) )
23	6, 22	syl5bi 151	. . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ u C_ ( topGen ` B ) ) -> ( x e. U. u -> E. y e. B ( x e. y /\ y C_ U. u ) ) )
24	23	ralrimiv 2538	. . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ u C_ ( topGen ` B ) ) -> A. x e. U. u E. y e. B ( x e. y /\ y C_ U. u ) )
25	5, 24	jca 304	. . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ u C_ ( topGen ` B ) ) -> ( U. u C_ U. B /\ A. x e. U. u E. y e. B ( x e. y /\ y C_ U. u ) ) )
26	25	ex 114	. . . 4 |- ( B e. TopBases -> ( u C_ ( topGen ` B ) -> ( U. u C_ U. B /\ A. x e. U. u E. y e. B ( x e. y /\ y C_ U. u ) ) ) )
27		eltg2 12693	. . . 4 |- ( B e. TopBases -> ( U. u e. ( topGen ` B ) <-> ( U. u C_ U. B /\ A. x e. U. u E. y e. B ( x e. y /\ y C_ U. u ) ) ) )
28	26, 27	sylibrd 168	. . 3 |- ( B e. TopBases -> ( u C_ ( topGen ` B ) -> U. u e. ( topGen ` B ) ) )
29	28	alrimiv 1862	. 2 |- ( B e. TopBases -> A. u ( u C_ ( topGen ` B ) -> U. u e. ( topGen ` B ) ) )
30		inss1 3342	. . . . . . . 8 |- ( u i^i v ) C_ u
31		tg1 12699	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( topGen ` B ) -> u C_ U. B )
32	30, 31	sstrid 3153	. . . . . . 7 |- ( u e. ( topGen ` B ) -> ( u i^i v ) C_ U. B )
33	32	ad2antrl 482	. . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ ( u e. ( topGen ` B ) /\ v e. ( topGen ` B ) ) ) -> ( u i^i v ) C_ U. B )
34		eltg2 12693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. TopBases -> ( u e. ( topGen ` B ) <-> ( u C_ U. B /\ A. x e. u E. z e. B ( x e. z /\ z C_ u ) ) ) )
35	34	simplbda 382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. TopBases /\ u e. ( topGen ` B ) ) -> A. x e. u E. z e. B ( x e. z /\ z C_ u ) )
36		rsp 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. u E. z e. B ( x e. z /\ z C_ u ) -> ( x e. u -> E. z e. B ( x e. z /\ z C_ u ) ) )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. TopBases /\ u e. ( topGen ` B ) ) -> ( x e. u -> E. z e. B ( x e. z /\ z C_ u ) ) )
38		eltg2 12693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. TopBases -> ( v e. ( topGen ` B ) <-> ( v C_ U. B /\ A. x e. v E. w e. B ( x e. w /\ w C_ v ) ) ) )
39	38	simplbda 382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. TopBases /\ v e. ( topGen ` B ) ) -> A. x e. v E. w e. B ( x e. w /\ w C_ v ) )
40		rsp 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. v E. w e. B ( x e. w /\ w C_ v ) -> ( x e. v -> E. w e. B ( x e. w /\ w C_ v ) ) )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. TopBases /\ v e. ( topGen ` B ) ) -> ( x e. v -> E. w e. B ( x e. w /\ w C_ v ) ) )
42	37, 41	im2anan9 588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. TopBases /\ u e. ( topGen ` B ) ) /\ ( B e. TopBases /\ v e. ( topGen ` B ) ) ) -> ( ( x e. u /\ x e. v ) -> ( E. z e. B ( x e. z /\ z C_ u ) /\ E. w e. B ( x e. w /\ w C_ v ) ) ) )
43		elin 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( u i^i v ) <-> ( x e. u /\ x e. v ) )
44		reeanv 2635	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. B E. w e. B ( ( x e. z /\ z C_ u ) /\ ( x e. w /\ w C_ v ) ) <-> ( E. z e. B ( x e. z /\ z C_ u ) /\ E. w e. B ( x e. w /\ w C_ v ) ) )
45	42, 43, 44	3imtr4g 204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. TopBases /\ u e. ( topGen ` B ) ) /\ ( B e. TopBases /\ v e. ( topGen ` B ) ) ) -> ( x e. ( u i^i v ) -> E. z e. B E. w e. B ( ( x e. z /\ z C_ u ) /\ ( x e. w /\ w C_ v ) ) ) )
46	45	anandis 582	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. TopBases /\ ( u e. ( topGen ` B ) /\ v e. ( topGen ` B ) ) ) -> ( x e. ( u i^i v ) -> E. z e. B E. w e. B ( ( x e. z /\ z C_ u ) /\ ( x e. w /\ w C_ v ) ) ) )
47		elin 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( z i^i w ) <-> ( x e. z /\ x e. w ) )
48	47	biimpri 132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. z /\ x e. w ) -> x e. ( z i^i w ) )
49		ss2in 3350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z C_ u /\ w C_ v ) -> ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) )
50	48, 49	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. z /\ x e. w ) /\ ( z C_ u /\ w C_ v ) ) -> ( x e. ( z i^i w ) /\ ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) ) )
51	50	an4s 578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. z /\ z C_ u ) /\ ( x e. w /\ w C_ v ) ) -> ( x e. ( z i^i w ) /\ ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) ) )
52		basis2 12686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. TopBases /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. ( z i^i w ) ) ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( z i^i w ) ) )
53	52	adantllr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ x e. ( u i^i v ) ) /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ x e. ( z i^i w ) ) ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( z i^i w ) ) )
54	53	adantrrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ x e. ( u i^i v ) ) /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ ( x e. ( z i^i w ) /\ ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( z i^i w ) ) )
55		sstr2 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t C_ ( z i^i w ) -> ( ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) -> t C_ ( u i^i v ) ) )
56	55	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) -> ( t C_ ( z i^i w ) -> t C_ ( u i^i v ) ) )
57	56	anim2d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) -> ( ( x e. t /\ t C_ ( z i^i w ) ) -> ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) )
58	57	reximdv 2567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) -> ( E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( z i^i w ) ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) )
59	58	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( z i^i w ) /\ ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) ) -> ( E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( z i^i w ) ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) )
60	59	ad2antll 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ x e. ( u i^i v ) ) /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ ( x e. ( z i^i w ) /\ ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> ( E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( z i^i w ) ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) )
61	54, 60	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ x e. ( u i^i v ) ) /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ ( x e. ( z i^i w ) /\ ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) ) ) ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) )
62	51, 61	sylanr2 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( B e. TopBases /\ x e. ( u i^i v ) ) /\ z e. B ) /\ ( w e. B /\ ( ( x e. z /\ z C_ u ) /\ ( x e. w /\ w C_ v ) ) ) ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) )
63	62	rexlimdvaa 2584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. TopBases /\ x e. ( u i^i v ) ) /\ z e. B ) -> ( E. w e. B ( ( x e. z /\ z C_ u ) /\ ( x e. w /\ w C_ v ) ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) )
64	63	rexlimdva 2583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. TopBases /\ x e. ( u i^i v ) ) -> ( E. z e. B E. w e. B ( ( x e. z /\ z C_ u ) /\ ( x e. w /\ w C_ v ) ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) )
65	64	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. TopBases -> ( x e. ( u i^i v ) -> ( E. z e. B E. w e. B ( ( x e. z /\ z C_ u ) /\ ( x e. w /\ w C_ v ) ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) ) )
66	65	a2d 26	. . . . . . . . 9 |- ( B e. TopBases -> ( ( x e. ( u i^i v ) -> E. z e. B E. w e. B ( ( x e. z /\ z C_ u ) /\ ( x e. w /\ w C_ v ) ) ) -> ( x e. ( u i^i v ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) ) )
67	66	imp 123	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. TopBases /\ ( x e. ( u i^i v ) -> E. z e. B E. w e. B ( ( x e. z /\ z C_ u ) /\ ( x e. w /\ w C_ v ) ) ) ) -> ( x e. ( u i^i v ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) )
68	46, 67	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( B e. TopBases /\ ( u e. ( topGen ` B ) /\ v e. ( topGen ` B ) ) ) -> ( x e. ( u i^i v ) -> E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) )
69	68	ralrimiv 2538	. . . . . 6 |- ( ( B e. TopBases /\ ( u e. ( topGen ` B ) /\ v e. ( topGen ` B ) ) ) -> A. x e. ( u i^i v ) E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) )
70	33, 69	jca 304	. . . . 5 |- ( ( B e. TopBases /\ ( u e. ( topGen ` B ) /\ v e. ( topGen ` B ) ) ) -> ( ( u i^i v ) C_ U. B /\ A. x e. ( u i^i v ) E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) )
71	70	ex 114	. . . 4 |- ( B e. TopBases -> ( ( u e. ( topGen ` B ) /\ v e. ( topGen ` B ) ) -> ( ( u i^i v ) C_ U. B /\ A. x e. ( u i^i v ) E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) ) )
72		eltg2 12693	. . . 4 |- ( B e. TopBases -> ( ( u i^i v ) e. ( topGen ` B ) <-> ( ( u i^i v ) C_ U. B /\ A. x e. ( u i^i v ) E. t e. B ( x e. t /\ t C_ ( u i^i v ) ) ) ) )
73	71, 72	sylibrd 168	. . 3 |- ( B e. TopBases -> ( ( u e. ( topGen ` B ) /\ v e. ( topGen ` B ) ) -> ( u i^i v ) e. ( topGen ` B ) ) )
74	73	ralrimivv 2547	. 2 |- ( B e. TopBases -> A. u e. ( topGen ` B ) A. v e. ( topGen ` B ) ( u i^i v ) e. ( topGen ` B ) )
75		tgvalex 12690	. . 3 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. _V )
76		istopg 12637	. . 3 |- ( ( topGen ` B ) e. _V -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> ( A. u ( u C_ ( topGen ` B ) -> U. u e. ( topGen ` B ) ) /\ A. u e. ( topGen ` B ) A. v e. ( topGen ` B ) ( u i^i v ) e. ( topGen ` B ) ) ) )
77	75, 76	syl 14	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> ( A. u ( u C_ ( topGen ` B ) -> U. u e. ( topGen ` B ) ) /\ A. u e. ( topGen ` B ) A. v e. ( topGen ` B ) ( u i^i v ) e. ( topGen ` B ) ) ) )
78	29, 74, 77	mpbir2and 934	1 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   U.cuni 3789   ` cfv 5188   topGenctg 12571   Topctop 12635   TopBasesctb 12680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577  df-top 12636  df-bases 12681

This theorem is referenced by:  tgclb  12705  tgtopon  12706  bastop  12715  resttop  12810  txtop  12900  mopnval  13082  retop  13164